कक्षा 12वीं गणित मॉडल पेपर सेट C 2026 | MP Board Maths Model Paper
कक्षा 12वीं बोर्ड परीक्षा 2026 की तैयारी कर रहे विद्यार्थियों के लिए गणित (Mathematics) मॉडल पेपर सेट C एक महत्वपूर्ण अभ्यास सामग्री है।
यह प्रश्नपत्र नवीनतम परीक्षा पैटर्न एवं ब्लूप्रिंट के अनुसार तैयार किया गया है, जिससे विद्यार्थी वास्तविक परीक्षा का अनुभव प्राप्त कर सकें और अपनी तैयारी का मूल्यांकन कर सकें।
सेट C की विशेषताएँ
✅ नवीनतम सिलेबस पर आधारित
✅ अलग प्रश्न संयोजन (New Question Variation)
✅ अवधारणात्मक एवं अनुप्रयोग आधारित प्रश्न
✅ समय प्रबंधन के लिए उपयुक्त
✅ बोर्ड परीक्षा स्तर के अनुरूप
सेट C हल करने से विद्यार्थियों को प्रश्नों की गहराई और विविधता समझने में मदद मिलती है।
⏱️ समय: 3 घंटे
📈 पूर्णांक: 80 अंक
📌 सेट C में उच्च स्तरीय (Higher Order Thinking Skills) प्रश्न भी शामिल हो सकते हैं, इसलिए गहन अभ्यास आवश्यक है।
📝 तैयारी के लिए सुझाव
✔️ पहले सेट A और B का अभ्यास करें, फिर सेट C हल करें
✔️ निर्धारित समय सीमा में पूरा पेपर हल करें
✔️ गलत प्रश्नों की पुनरावृत्ति अवश्य करें
✔️ सूत्रों की सूची बनाकर नियमित अभ्यास करें
मॉडल पेपर डाउनलोड कैसे देखें?
मॉडल पेपर हिन्दी एवं English दोनों माध्यम में है, आप जिस माध्यम में देखना चाहें हैं, उस पर क्लिक कीजिए. प्रत्येक प्रश्न के नीचे उत्तर देखने के लिए बटन दिया गया है. बटन पर क्लिक करके आप आंसर देख सकते हैं. प्रश्न एवं उत्तर केवल प्रैक्टिस के लिए है.
माध्यम (Medium):
कक्षा 12वीं - गणित Class 12th - Mathematics
(मॉडल पेपर 2025-26 सेट-C)
(Model Paper 2025-26 Set-C)
Created by: D Septa | पूर्णांक: 80 | समय: 3 घंटे Created by: D Septa | Max Marks: 80 | Time: 3 Hours
खण्ड अ: वस्तुनिष्ठ प्रश्न (32 अंक)
Section A: Objective Type Questions (32 Marks)
प्र.1. सही विकल्प चुनकर लिखिए: (1×6 = 6 अंक)
Q.1. Choose the correct option: (1×6 = 6 Marks)
(i) यदि समुच्चय A = {1, 2, 3} में R = {(1, 2), (2, 1)} एक संबंध है, तो R है:
(i) Let R be a relation in the set A = {1, 2, 3} given by R = {(1, 2), (2, 1)}. Then R is:
👉 (ब) सममित
विवरण: चूँकि (1, 2) ∈ R और (2, 1) ∈ R है, लेकिन (1, 1) और (2, 2) R में नहीं हैं, इसलिए यह केवल सममित है।
👉 (b) Symmetric
Description: Since (1, 2) ∈ R and (2, 1) ∈ R, but (1, 1) and (2, 2) are not in R, it is only symmetric.
(ii) sin(π/3 - sin-1(-1/2)) का मान है:
(ii) The value of sin(π/3 - sin-1(-1/2)) is:
👉 (द) 1
हल: sin(π/3 - (-π/6)) = sin(π/3 + π/6) = sin(π/2) = 1
👉 (d) 1
Solution: sin(π/3 - (-π/6)) = sin(π/3 + π/6) = sin(π/2) = 1
(iii) यदि A एक वर्ग आव्यूह है और |A| = 0, तो A कहलाता है:
(iii) If A is a square matrix and |A| = 0, then A is called:
👉 (ब) अव्युत्क्रमणीय (Singular)
👉 (b) Singular (Non-invertible)
(iv) ex का x=0 पर अवकलज (Derivative) है:
(iv) Derivative of ex at x=0 is:
👉 (ब) 1
विवरण: d/dx(ex) = ex, x=0 रखने पर e0 = 1.
👉 (b) 1
Description: d/dx(ex) = ex, at x=0, e0 = 1.
(v) ∫01 x2 dx का मान है:
(v) The value of ∫01 x2 dx is:
👉 (स) 1/3
विवरण: [x3/3]01 = 1/3 - 0 = 1/3.
👉 (c) 1/3
Description: [x3/3]01 = 1/3 - 0 = 1/3.
(vi) सदिश a का सदिश b पर प्रक्षेप (Projection) है:
(vi) The projection of vector a on vector b is:
👉 (अ) aċb / |b|
👉 (a) aċb / |b|
प्र.2. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए: (1×6 = 6 अंक)
Q.2. Fill in the blanks: (1×6 = 6 Marks)
(i) cos-1x का मुख्य मान शाखा परिसर ________ है।
(i) The principal value branch of cos-1x is ________.
[0, π]
[0, π]
(ii) यदि A = [aij]m×n एक वर्ग आव्यूह है, तो m ________ n होगा।
(ii) If A = [aij]m×n is a square matrix, then m ________ n.
= (बराबर)
= (equal to)
(iii) d/dx [log(sin x)] = ________.
(iii) d/dx [log(sin x)] = ________.
cot x
cot x
(iv) अनिश्चित समाकलन में स्वेच्छ अचर को प्रायः ________ से दर्शाते हैं।
(iv) In indefinite integration, the arbitrary constant is generally denoted by ________.
C
C
(v) यदि दो रेखाओं के दिक्-अनुपात a1, b1, c1 और a2, b2, c2 हैं, तो उनके लंबवत होने की शर्त ________ है।
(v) If direction ratios of two lines are a1, b1, c1 and a2, b2, c2, the condition for them to be perpendicular is ________.
a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0
a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0
(vi) यदि A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं, तो P(A ∩ B) = P(A) × ________।
(vi) If A and B are independent events, then P(A ∩ B) = P(A) × ________.
P(B)
P(B)
प्र.3. सत्य/असत्य लिखिए: (1×6 = 6 अंक)
Q.3. State True or False: (1×6 = 6 Marks)
(i) रिक्त संबंध (Empty Relation) एक तुल्यता संबंध होता है।
(i) Empty relation is an equivalence relation.
असत्य
विवरण: क्योंकि यह स्वतुल्य (Reflexive) नहीं होता।
False
Description: Because it is not reflexive.
(ii) आव्यूह गुणन साहचर्य (Associative) होता है।
(ii) Matrix multiplication is associative.
सत्य
विवरण: यदि गुणन संभव हो, तो (AB)C = A(BC) होता है।
True
Description: If multiplication is defined, then (AB)C = A(BC).
(iii) फलन f(x) = |x| बिंदु x=0 पर अवकलनीय है।
(iii) The function f(x) = |x| is differentiable at x=0.
असत्य
विवरण: यह x=0 पर सतत है, परंतु अवकलनीय नहीं (कोणीय बिंदु है)।
False
Description: It is continuous at x=0, but not differentiable (sharp corner).
(iv) दो सदिशों का अदिश गुणनफल (Dot Product) क्रमविनिमेय होता है।
(iv) The scalar (dot) product of two vectors is commutative.
सत्य
विवरण: aċb = bċa
True
Description: aċb = bċa
(v) रैखिक प्रोग्रामन समस्या का सुसंगत क्षेत्र हमेशा परिबद्ध (Bounded) होता है।
(v) The feasible region of a linear programming problem is always bounded.
असत्य
विवरण: यह अपरिबद्ध (Unbounded) भी हो सकता है।
False
Description: It can also be unbounded.
(vi) सप्रतिबंध प्रायिकता P(E|F) = P(E ∩ F) / P(F) होती है, जहाँ P(F) ≠ 0।
(vi) Conditional probability P(E|F) = P(E ∩ F) / P(F), where P(F) ≠ 0.
सत्य
True
प्र.4. सही जोड़ी बनाइए: (1×7 = 7 अंक)
Q.4. Match the following: (1×7 = 7 Marks)
(i) ∫ dx/(x2 - a2) -> (क) sin-1(x/a)
(ii) ∫ dx/√(x2 - a2) -> (ख) log|x + √(x2 + a2)|
(iii) ∫ dx/√(a2 - x2) -> (ग) 1/a tan-1(x/a)
(iv) ∫ dx/(x2 + a2) -> (घ) 1/2a log|(x-a)/(x+a)|
(v) ∫ dx/√(x2 + a2) -> (ङ) log|x + √(x2 - a2)|
(vi) ∫ cot x dx -> (च) log|sec x + tan x|
(vii) ∫ sec x dx -> (छ) log|sin x|
(ii) ∫ dx/√(x2 - a2) -> (ख) log|x + √(x2 + a2)|
(iii) ∫ dx/√(a2 - x2) -> (ग) 1/a tan-1(x/a)
(iv) ∫ dx/(x2 + a2) -> (घ) 1/2a log|(x-a)/(x+a)|
(v) ∫ dx/√(x2 + a2) -> (ङ) log|x + √(x2 - a2)|
(vi) ∫ cot x dx -> (च) log|sec x + tan x|
(vii) ∫ sec x dx -> (छ) log|sin x|
(i) ∫ dx/(x2 - a2) -> (a) sin-1(x/a)
(ii) ∫ dx/√(x2 - a2) -> (b) log|x + √(x2 + a2)|
(iii) ∫ dx/√(a2 - x2) -> (c) 1/a tan-1(x/a)
(iv) ∫ dx/(x2 + a2) -> (d) 1/2a log|(x-a)/(x+a)|
(v) ∫ dx/√(x2 + a2) -> (e) log|x + √(x2 - a2)|
(vi) ∫ cot x dx -> (f) log|sec x + tan x|
(vii) ∫ sec x dx -> (g) log|sin x|
(ii) ∫ dx/√(x2 - a2) -> (b) log|x + √(x2 + a2)|
(iii) ∫ dx/√(a2 - x2) -> (c) 1/a tan-1(x/a)
(iv) ∫ dx/(x2 + a2) -> (d) 1/2a log|(x-a)/(x+a)|
(v) ∫ dx/√(x2 + a2) -> (e) log|x + √(x2 - a2)|
(vi) ∫ cot x dx -> (f) log|sec x + tan x|
(vii) ∫ sec x dx -> (g) log|sin x|
सही मिलान:
(i) → (घ) 1/2a log|(x-a)/(x+a)|
(ii) → (ङ) log|x + √(x2 - a2)|
(iii) → (क) sin-1(x/a)
(iv) → (ग) 1/a tan-1(x/a)
(v) → (ख) log|x + √(x2 + a2)|
(vi) → (छ) log|sin x|
(vii) → (च) log|sec x + tan x|
(i) → (घ) 1/2a log|(x-a)/(x+a)|
(ii) → (ङ) log|x + √(x2 - a2)|
(iii) → (क) sin-1(x/a)
(iv) → (ग) 1/a tan-1(x/a)
(v) → (ख) log|x + √(x2 + a2)|
(vi) → (छ) log|sin x|
(vii) → (च) log|sec x + tan x|
Correct Match:
(i) → (d) 1/2a log|(x-a)/(x+a)|
(ii) → (e) log|x + √(x2 - a2)|
(iii) → (a) sin-1(x/a)
(iv) → (c) 1/a tan-1(x/a)
(v) → (b) log|x + √(x2 + a2)|
(vi) → (g) log|sin x|
(vii) → (f) log|sec x + tan x|
(i) → (d) 1/2a log|(x-a)/(x+a)|
(ii) → (e) log|x + √(x2 - a2)|
(iii) → (a) sin-1(x/a)
(iv) → (c) 1/a tan-1(x/a)
(v) → (b) log|x + √(x2 + a2)|
(vi) → (g) log|sin x|
(vii) → (f) log|sec x + tan x|
प्र.5. एक शब्द/वाक्य में उत्तर दीजिए: (1×7 = 7 अंक)
Q.5. Answer in one word/sentence: (1×7 = 7 Marks)
(i) तुल्यता संबंध किसे कहते हैं?
(i) What is an equivalence relation?
वह संबंध जो स्वतुल्य (Reflexive), सममित (Symmetric) और संक्रामक (Transitive) तीनों हो।
A relation which is reflexive, symmetric and transitive.
(ii) वक्र y = 2x2 के बिंदु x = 1 पर अभिलंब (Normal) की प्रवणता क्या होगी?
(ii) What is the slope of the normal to the curve y = 2x2 at x = 1?
-1/4
विवरण: dy/dx = 4x. x=1 पर स्पर्श रेखा की प्रवणता = 4. अतः अभिलंब की प्रवणता = -1/4.
-1/4
Description: dy/dx = 4x. At x=1, slope of tangent = 4. Therefore, slope of normal = -1/4.
(iii) अवकल समीकरण की कोटि (Order) किसे कहते हैं?
(iii) What is the order of a differential equation?
समीकरण में विद्यमान उच्चतम अवकलज (Highest order derivative) की कोटि को।
The order of the highest order derivative present in the equation.
(iv) तीन समतलीय सदिशों (Coplanar vectors) के लिए आवश्यक शर्त क्या है?
(iv) What is the required condition for three vectors to be coplanar?
उनका अदिश त्रिक गुणनफल (Scalar triple product) शून्य होना चाहिए। [a b c] = 0
Their scalar triple product should be zero. [a b c] = 0
(v) बिंदु (x1, y1, z1) से समतल Ax + By + Cz + D = 0 की दूरी का सूत्र लिखिए।
(v) Write the formula for the distance of a point (x1, y1, z1) from the plane Ax + By + Cz + D = 0.
|Ax1 + By1 + Cz1 + D| / √(A2 + B2 + C2)
|Ax1 + By1 + Cz1 + D| / √(A2 + B2 + C2)
(vi) रैखिक प्रोग्रामन समस्या में 'इष्टतम मान' (Optimal Value) का क्या अर्थ है?
(vi) What is the meaning of 'Optimal Value' in a linear programming problem?
उद्देश्य फलन का अधिकतम या न्यूनतम मान।
The maximum or minimum value of the objective function.
(vii) P(A | B) का सूत्र लिखिए।
(vii) Write the formula for P(A | B).
P(A ∩ B) / P(B)
P(A ∩ B) / P(B)
खण्ड ब: अति लघु उत्तरीय प्रश्न (2 अंक)
Section B: Very Short Answer Type Questions (2 Marks)
प्र.6. tan-1(1) + cos-1(-1/2) का मान ज्ञात कीजिए।
Q.6. Find the value of tan-1(1) + cos-1(-1/2).
अथवा / OR
cot(tan-1a + cot-1a) का मान ज्ञात कीजिए।
Find the value of cot(tan-1a + cot-1a).
हल:
tan-1(1) = π/4
cos-1(-1/2) = π - cos-1(1/2) = π - π/3 = 2π/3
योग = π/4 + 2π/3 = (3π + 8π) / 12 = 11π/12.
tan-1(1) = π/4
cos-1(-1/2) = π - cos-1(1/2) = π - π/3 = 2π/3
योग = π/4 + 2π/3 = (3π + 8π) / 12 = 11π/12.
Solution:
tan-1(1) = π/4
cos-1(-1/2) = π - cos-1(1/2) = π - π/3 = 2π/3
Sum = π/4 + 2π/3 = (3π + 8π) / 12 = 11π/12.
tan-1(1) = π/4
cos-1(-1/2) = π - cos-1(1/2) = π - π/3 = 2π/3
Sum = π/4 + 2π/3 = (3π + 8π) / 12 = 11π/12.
हल:
हम जानते हैं tan-1a + cot-1a = π/2
अतः cot(π/2) = 0.
हम जानते हैं tan-1a + cot-1a = π/2
अतः cot(π/2) = 0.
Solution:
We know tan-1a + cot-1a = π/2
Therefore, cot(π/2) = 0.
We know tan-1a + cot-1a = π/2
Therefore, cot(π/2) = 0.
प्र.7. एक 2×2 आव्यूह A = [aij] की रचना कीजिए जिसके अवयव aij = (i+j)2/2 द्वारा प्रदत्त हैं।
Q.7. Construct a 2×2 matrix A = [aij] whose elements are given by aij = (i+j)2/2.
अथवा / OR
यदि 2A + B =
हो और B =
दिया हो तो A ज्ञात कीजिए।
| 1 | 0 |
| -3 | 2 |
| 3 | 2 |
| 1 | 4 |
If 2A + B =
and B =
, find A.
| 1 | 0 |
| -3 | 2 |
| 3 | 2 |
| 1 | 4 |
हल:
a11 = (1+1)2/2 = 2, a12 = (1+2)2/2 = 9/2
a21 = (2+1)2/2 = 9/2, a22 = (2+2)2/2 = 8
अतः A =
a11 = (1+1)2/2 = 2, a12 = (1+2)2/2 = 9/2
a21 = (2+1)2/2 = 9/2, a22 = (2+2)2/2 = 8
अतः A =
| 2 | 9/2 |
| 9/2 | 8 |
Solution:
a11 = (1+1)2/2 = 2, a12 = (1+2)2/2 = 9/2
a21 = (2+1)2/2 = 9/2, a22 = (2+2)2/2 = 8
Hence, A =
a11 = (1+1)2/2 = 2, a12 = (1+2)2/2 = 9/2
a21 = (2+1)2/2 = 9/2, a22 = (2+2)2/2 = 8
Hence, A =
| 2 | 9/2 |
| 9/2 | 8 |
हल:
2A =
-
2A =
A =
2A =
| 1 | 0 |
| -3 | 2 |
| 3 | 2 |
| 1 | 4 |
2A =
| -2 | -2 |
| -4 | -2 |
A =
| -1 | -1 |
| -2 | -1 |
Solution:
2A =
-
2A =
A =
2A =
| 1 | 0 |
| -3 | 2 |
| 3 | 2 |
| 1 | 4 |
2A =
| -2 | -2 |
| -4 | -2 |
A =
| -1 | -1 |
| -2 | -1 |
प्र.8. k के किस मान के लिए फलन f(x) = kx + 1 (यदि x ≤ 5) और 3x - 5 (यदि x > 5), बिंदु x = 5 पर सतत है?
Q.8. For what value of k is the function f(x) = kx + 1 (if x ≤ 5) and 3x - 5 (if x > 5) continuous at x = 5?
अथवा / OR
x के सापेक्ष log(sin x) का अवकलन कीजिए।
Differentiate log(sin x) with respect to x.
हल:
LHL (x=5 पर) = 5k + 1
RHL (x=5 पर) = 3(5) - 5 = 10
सतत होने के लिए: LHL = RHL ⇒ 5k + 1 = 10 ⇒ 5k = 9 ⇒ k = 9/5.
LHL (x=5 पर) = 5k + 1
RHL (x=5 पर) = 3(5) - 5 = 10
सतत होने के लिए: LHL = RHL ⇒ 5k + 1 = 10 ⇒ 5k = 9 ⇒ k = 9/5.
Solution:
LHL (at x=5) = 5k + 1
RHL (at x=5) = 3(5) - 5 = 10
For continuity: LHL = RHL ⇒ 5k + 1 = 10 ⇒ 5k = 9 ⇒ k = 9/5.
LHL (at x=5) = 5k + 1
RHL (at x=5) = 3(5) - 5 = 10
For continuity: LHL = RHL ⇒ 5k + 1 = 10 ⇒ 5k = 9 ⇒ k = 9/5.
हल:
माना y = log(sin x)
शृंखला नियम (Chain rule) से: dy/dx = (1/sin x) ċ d/dx(sin x)
= (1/sin x) ċ cos x = cot x.
माना y = log(sin x)
शृंखला नियम (Chain rule) से: dy/dx = (1/sin x) ċ d/dx(sin x)
= (1/sin x) ċ cos x = cot x.
Solution:
Let y = log(sin x)
By chain rule: dy/dx = (1/sin x) ċ d/dx(sin x)
= (1/sin x) ċ cos x = cot x.
Let y = log(sin x)
By chain rule: dy/dx = (1/sin x) ċ d/dx(sin x)
= (1/sin x) ċ cos x = cot x.
प्र.9. यदि 2x + 3y = sin x हो, तो dy/dx ज्ञात कीजिए।
Q.9. If 2x + 3y = sin x, find dy/dx.
अथवा / OR
एक गुब्बारे की त्रिज्या 10 सेमी/से की दर से बढ़ रही है। गुब्बारे के पृष्ठीय क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए जब त्रिज्या 15 सेमी है।
The radius of a balloon is increasing at the rate of 10 cm/s. Find the rate of change of its surface area when the radius is 15 cm.
हल:
x के सापेक्ष अवकलन करने पर: 2 + 3(dy/dx) = cos x
3(dy/dx) = cos x - 2
dy/dx = (cos x - 2) / 3.
x के सापेक्ष अवकलन करने पर: 2 + 3(dy/dx) = cos x
3(dy/dx) = cos x - 2
dy/dx = (cos x - 2) / 3.
Solution:
Differentiating w.r.t x: 2 + 3(dy/dx) = cos x
3(dy/dx) = cos x - 2
dy/dx = (cos x - 2) / 3.
Differentiating w.r.t x: 2 + 3(dy/dx) = cos x
3(dy/dx) = cos x - 2
dy/dx = (cos x - 2) / 3.
हल:
dr/dt = 10 cm/s, गुब्बारे का पृष्ठीय क्षेत्रफल S = 4πr2
dS/dt = 8πr (dr/dt)
r = 15 रखने पर: dS/dt = 8π(15)(10) = 1200π सेमी²/से.
dr/dt = 10 cm/s, गुब्बारे का पृष्ठीय क्षेत्रफल S = 4πr2
dS/dt = 8πr (dr/dt)
r = 15 रखने पर: dS/dt = 8π(15)(10) = 1200π सेमी²/से.
Solution:
dr/dt = 10 cm/s, Surface area S = 4πr2
dS/dt = 8πr (dr/dt)
Putting r = 15: dS/dt = 8π(15)(10) = 1200π cm2/s.
dr/dt = 10 cm/s, Surface area S = 4πr2
dS/dt = 8πr (dr/dt)
Putting r = 15: dS/dt = 8π(15)(10) = 1200π cm2/s.
प्र.10. सदिश a = i + j + 2k के अनुदिश एक मात्रक सदिश (Unit vector) ज्ञात कीजिए।
Q.10. Find a unit vector in the direction of vector a = i + j + 2k.
अथवा / OR
दो बिंदुओं P(2, 3, 4) और Q(4, 1, -2) को मिलाने वाले सदिश का मध्य बिंदु ज्ञात कीजिए।
Find the midpoint of the vector joining the points P(2, 3, 4) and Q(4, 1, -2).
हल:
परिमाण |a| = √(12+12+22) = √6
मात्रक सदिश â = a / |a| = (i + j + 2k) / √6.
परिमाण |a| = √(12+12+22) = √6
मात्रक सदिश â = a / |a| = (i + j + 2k) / √6.
Solution:
Magnitude |a| = √(12+12+22) = √6
Unit vector â = a / |a| = (i + j + 2k) / √6.
Magnitude |a| = √(12+12+22) = √6
Unit vector â = a / |a| = (i + j + 2k) / √6.
हल:
मध्य बिंदु के निर्देशांक: ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2, (z1+z2)/2)
= ((2+4)/2, (3+1)/2, (4-2)/2) = (3, 2, 1).
मध्य बिंदु के निर्देशांक: ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2, (z1+z2)/2)
= ((2+4)/2, (3+1)/2, (4-2)/2) = (3, 2, 1).
Solution:
Midpoint coordinates: ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2, (z1+z2)/2)
= ((2+4)/2, (3+1)/2, (4-2)/2) = (3, 2, 1).
Midpoint coordinates: ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2, (z1+z2)/2)
= ((2+4)/2, (3+1)/2, (4-2)/2) = (3, 2, 1).
प्र.11. बिंदुओं (-1, 0, 2) और (3, 4, 6) से होकर जाने वाली रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
Q.11. Find the vector equation for the line passing through the points (-1, 0, 2) and (3, 4, 6).
अथवा / OR
उस रेखा का कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदु (1, 2, 3) से जाती है और 2x - 1 = y + 2 = 3z के समांतर है।
Find the Cartesian equation of the line which passes through the point (1, 2, 3) and is parallel to 2x - 1 = y + 2 = 3z.
हल:
बिंदु a = -i + 2k, दूसरा बिंदु b = 3i + 4j + 6k
दिशा b - a = 4i + 4j + 4k
समीकरण: r = a + λ(b - a) ⇒ r = (-i + 2k) + λ(4i + 4j + 4k).
बिंदु a = -i + 2k, दूसरा बिंदु b = 3i + 4j + 6k
दिशा b - a = 4i + 4j + 4k
समीकरण: r = a + λ(b - a) ⇒ r = (-i + 2k) + λ(4i + 4j + 4k).
Solution:
Point a = -i + 2k, Second point b = 3i + 4j + 6k
Direction b - a = 4i + 4j + 4k
Equation: r = a + λ(b - a) ⇒ r = (-i + 2k) + λ(4i + 4j + 4k).
Point a = -i + 2k, Second point b = 3i + 4j + 6k
Direction b - a = 4i + 4j + 4k
Equation: r = a + λ(b - a) ⇒ r = (-i + 2k) + λ(4i + 4j + 4k).
हल:
दी गई रेखा को मानक रूप में बदलें: (x - 1/2)/(1/2) = (y + 2)/1 = z/(1/3)
दिक्-अनुपात (6 से गुणा करने पर): 3, 6, 2.
नई रेखा बिंदु (1,2,3) से जाती है, अतः समीकरण: (x-1)/3 = (y-2)/6 = (z-3)/2.
दी गई रेखा को मानक रूप में बदलें: (x - 1/2)/(1/2) = (y + 2)/1 = z/(1/3)
दिक्-अनुपात (6 से गुणा करने पर): 3, 6, 2.
नई रेखा बिंदु (1,2,3) से जाती है, अतः समीकरण: (x-1)/3 = (y-2)/6 = (z-3)/2.
Solution:
Convert given line to standard form: (x - 1/2)/(1/2) = (y + 2)/1 = z/(1/3)
Direction ratios (multiplying by 6): 3, 6, 2.
New line passes through (1,2,3), so equation: (x-1)/3 = (y-2)/6 = (z-3)/2.
Convert given line to standard form: (x - 1/2)/(1/2) = (y + 2)/1 = z/(1/3)
Direction ratios (multiplying by 6): 3, 6, 2.
New line passes through (1,2,3), so equation: (x-1)/3 = (y-2)/6 = (z-3)/2.
प्र.12. यदि P(A) = 0.8, P(B) = 0.5 और P(B|A) = 0.4 हो, तो P(A ∪ B) ज्ञात कीजिए।
Q.12. If P(A) = 0.8, P(B) = 0.5 and P(B|A) = 0.4, find P(A ∪ B).
अथवा / OR
एक परिवार में दो बच्चे हैं। यदि यह ज्ञात है कि कम से कम एक बच्चा लड़का है, तो दोनों बच्चों के लड़का होने की प्रायिकता क्या है?
A family has two children. If it is known that at least one of the children is a boy, what is the probability that both children are boys?
हल:
P(A ∩ B) = P(B|A) × P(A) = 0.4 × 0.8 = 0.32
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
= 0.8 + 0.5 - 0.32 = 1.3 - 0.32 = 0.98.
P(A ∩ B) = P(B|A) × P(A) = 0.4 × 0.8 = 0.32
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
= 0.8 + 0.5 - 0.32 = 1.3 - 0.32 = 0.98.
Solution:
P(A ∩ B) = P(B|A) × P(A) = 0.4 × 0.8 = 0.32
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
= 0.8 + 0.5 - 0.32 = 1.3 - 0.32 = 0.98.
P(A ∩ B) = P(B|A) × P(A) = 0.4 × 0.8 = 0.32
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
= 0.8 + 0.5 - 0.32 = 1.3 - 0.32 = 0.98.
हल:
प्रतिदर्श समष्टि (S) = {BB, BG, GB, GG}.
माना A: दोनों बच्चे लड़के हैं = {BB}.
B: कम से कम एक लड़का है = {BB, BG, GB}.
A ∩ B = {BB}.
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = (1/4) / (3/4) = 1/3.
प्रतिदर्श समष्टि (S) = {BB, BG, GB, GG}.
माना A: दोनों बच्चे लड़के हैं = {BB}.
B: कम से कम एक लड़का है = {BB, BG, GB}.
A ∩ B = {BB}.
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = (1/4) / (3/4) = 1/3.
Solution:
Sample space (S) = {BB, BG, GB, GG}.
Let A: Both are boys = {BB}.
B: At least one is a boy = {BB, BG, GB}.
A ∩ B = {BB}.
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = (1/4) / (3/4) = 1/3.
Sample space (S) = {BB, BG, GB, GG}.
Let A: Both are boys = {BB}.
B: At least one is a boy = {BB, BG, GB}.
A ∩ B = {BB}.
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = (1/4) / (3/4) = 1/3.
प्र.13. समाकलन ज्ञात कीजिए: ∫ (1 - x) √x dx.
Q.13. Evaluate: ∫ (1 - x) √x dx.
अथवा / OR
मान ज्ञात कीजिए: ∫01 dx / (1 + x2).
Evaluate: ∫01 dx / (1 + x2).
हल:
∫ (x1/2 - x3/2) dx
= (x3/2)/(3/2) - (x5/2)/(5/2) + C
= (2/3)x3/2 - (2/5)x5/2 + C.
∫ (x1/2 - x3/2) dx
= (x3/2)/(3/2) - (x5/2)/(5/2) + C
= (2/3)x3/2 - (2/5)x5/2 + C.
Solution:
∫ (x1/2 - x3/2) dx
= (x3/2)/(3/2) - (x5/2)/(5/2) + C
= (2/3)x3/2 - (2/5)x5/2 + C.
∫ (x1/2 - x3/2) dx
= (x3/2)/(3/2) - (x5/2)/(5/2) + C
= (2/3)x3/2 - (2/5)x5/2 + C.
हल:
हम जानते हैं कि ∫ 1/(1+x2) dx = tan-1x
[tan-1x]01
= tan-1(1) - tan-1(0) = π/4 - 0 = π/4.
हम जानते हैं कि ∫ 1/(1+x2) dx = tan-1x
[tan-1x]01
= tan-1(1) - tan-1(0) = π/4 - 0 = π/4.
Solution:
We know ∫ 1/(1+x2) dx = tan-1x
[tan-1x]01
= tan-1(1) - tan-1(0) = π/4 - 0 = π/4.
We know ∫ 1/(1+x2) dx = tan-1x
[tan-1x]01
= tan-1(1) - tan-1(0) = π/4 - 0 = π/4.
प्र.14. यदि A =
और B =
, तो दिखाइए कि AB एक शून्य आव्यूह है।
| 1 | -1 |
| -1 | 1 |
| 1 | 1 |
| 1 | 1 |
Q.14. If A =
and B =
, show that AB is a zero matrix.
| 1 | -1 |
| -1 | 1 |
| 1 | 1 |
| 1 | 1 |
हल:
AB =
=
=
. अतः सिद्ध हुआ।
AB =
| 1(1) + (-1)(1) | 1(1) + (-1)(1) |
| (-1)(1) + 1(1) | (-1)(1) + 1(1) |
=
| 1 - 1 | 1 - 1 |
| -1 + 1 | -1 + 1 |
| 0 | 0 |
| 0 | 0 |
Solution:
AB =
=
=
. Hence proved.
AB =
| 1(1) + (-1)(1) | 1(1) + (-1)(1) |
| (-1)(1) + 1(1) | (-1)(1) + 1(1) |
=
| 1 - 1 | 1 - 1 |
| -1 + 1 | -1 + 1 |
| 0 | 0 |
| 0 | 0 |
खण्ड स: लघु उत्तरीय प्रश्न (3 अंक)
Section C: Short Answer Type Questions (3 Marks)
प्र.16. वृत्त x2 + y2 = 4 के प्रथम चतुर्थांश में स्थित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Q.16. Find the area of the region in the first quadrant enclosed by the circle x2 + y2 = 4.
अथवा / OR
दीर्घवृत्त x2/4 + y2/9 = 1 का कुल क्षेत्रफल समाकलन विधि से ज्ञात कीजिए।
Find the total area of the ellipse x2/4 + y2/9 = 1 using integration.
हल:
1. वृत्त की त्रिज्या r = 2 है। प्रथम चतुर्थांश में सीमाएँ x=0 से x=2 हैं。
2. क्षेत्र A = ∫02 y dx = ∫02 √(4 - x2) dx.
3. सूत्र: ∫ √(a2-x2) = x/2 √(a2-x2) + a2/2 sin-1(x/a).
4. मान रखने पर: [ x/2 √(4-x2) + 4/2 sin-1(x/2) ]02.
5. [ 0 + 2 sin-1(1) ] - [ 0 ] = 2(π/2) = π वर्ग इकाई।
1. वृत्त की त्रिज्या r = 2 है। प्रथम चतुर्थांश में सीमाएँ x=0 से x=2 हैं。
2. क्षेत्र A = ∫02 y dx = ∫02 √(4 - x2) dx.
3. सूत्र: ∫ √(a2-x2) = x/2 √(a2-x2) + a2/2 sin-1(x/a).
4. मान रखने पर: [ x/2 √(4-x2) + 4/2 sin-1(x/2) ]02.
5. [ 0 + 2 sin-1(1) ] - [ 0 ] = 2(π/2) = π वर्ग इकाई।
Solution:
1. Radius of circle r = 2. Limits in first quadrant are x=0 to x=2.
2. Area A = ∫02 y dx = ∫02 √(4 - x2) dx.
3. Formula: ∫ √(a2-x2) = x/2 √(a2-x2) + a2/2 sin-1(x/a).
4. Substituting limits: [ x/2 √(4-x2) + 2 sin-1(x/2) ]02.
5. [ 0 + 2 sin-1(1) ] - [ 0 ] = 2(π/2) = π sq. units.
1. Radius of circle r = 2. Limits in first quadrant are x=0 to x=2.
2. Area A = ∫02 y dx = ∫02 √(4 - x2) dx.
3. Formula: ∫ √(a2-x2) = x/2 √(a2-x2) + a2/2 sin-1(x/a).
4. Substituting limits: [ x/2 √(4-x2) + 2 sin-1(x/2) ]02.
5. [ 0 + 2 sin-1(1) ] - [ 0 ] = 2(π/2) = π sq. units.
हल:
1. a=2, b=3. कुल क्षेत्रफल = 4 × (प्रथम चतुर्थांश का क्षेत्रफल)।
2. A = 4 ∫02 y dx = 4 ∫02 (3/2)√(4-x2) dx.
3. A = 6 [ x/2 √(4-x2) + 4/2 sin-1(x/2) ]02.
4. A = 6 [ 0 + 2 sin-1(1) - 0 ] = 6(2 \times π/2) = 6π वर्ग इकाई। (सूत्र πab = π(2)(3) = 6π से भी)।
1. a=2, b=3. कुल क्षेत्रफल = 4 × (प्रथम चतुर्थांश का क्षेत्रफल)।
2. A = 4 ∫02 y dx = 4 ∫02 (3/2)√(4-x2) dx.
3. A = 6 [ x/2 √(4-x2) + 4/2 sin-1(x/2) ]02.
4. A = 6 [ 0 + 2 sin-1(1) - 0 ] = 6(2 \times π/2) = 6π वर्ग इकाई। (सूत्र πab = π(2)(3) = 6π से भी)।
Solution:
1. a=2, b=3. Total area = 4 × (Area of 1st quadrant).
2. A = 4 ∫02 y dx = 4 ∫02 (3/2)√(4-x2) dx.
3. A = 6 [ x/2 √(4-x2) + 4/2 sin-1(x/2) ]02.
4. A = 6 [ 0 + 2 sin-1(1) - 0 ] = 6(2 \times π/2) = 6π sq. units.
1. a=2, b=3. Total area = 4 × (Area of 1st quadrant).
2. A = 4 ∫02 y dx = 4 ∫02 (3/2)√(4-x2) dx.
3. A = 6 [ x/2 √(4-x2) + 4/2 sin-1(x/2) ]02.
4. A = 6 [ 0 + 2 sin-1(1) - 0 ] = 6(2 \times π/2) = 6π sq. units.
प्र.17. अवकल समीकरण dy/dx + y cot x = 2x + x2 cot x का विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए, दिया है y=0 यदि x=π/2.
Q.17. Find the particular solution of dy/dx + y cot x = 2x + x2 cot x, given that y=0 when x=π/2.
अथवा / OR
अवकल समीकरण (x2 - y2) dx + 2xy dy = 0 को हल कीजिए।
Solve the differential equation (x2 - y2) dx + 2xy dy = 0.
हल (रैखिक समीकरण):
1. यह dy/dx + Py = Q के रूप में है, जहाँ P = cot x, Q = 2x + x2 cot x.
2. I.F. = e∫cot x dx = elog(sin x) = sin x.
3. हल: y \cdot (sin x) = ∫ (2x + x2 cot x) sin x dx + C.
4. y sin x = ∫ 2x sin x dx + ∫ x2 cos x dx + C.
5. दूसरे भाग का खंडशः समाकलन (By parts) करने पर: x2 sin x - ∫ 2x sin x dx. यह पहले भाग से कट जाएगा。
6. y sin x = x2 sin x + C. चूँकि x=π/2, y=0, तो 0 = (π2/4)(1) + C ⇒ C = -π2/4.
7. विशिष्ट हल: y sin x = x2 sin x - π2/4.
1. यह dy/dx + Py = Q के रूप में है, जहाँ P = cot x, Q = 2x + x2 cot x.
2. I.F. = e∫cot x dx = elog(sin x) = sin x.
3. हल: y \cdot (sin x) = ∫ (2x + x2 cot x) sin x dx + C.
4. y sin x = ∫ 2x sin x dx + ∫ x2 cos x dx + C.
5. दूसरे भाग का खंडशः समाकलन (By parts) करने पर: x2 sin x - ∫ 2x sin x dx. यह पहले भाग से कट जाएगा。
6. y sin x = x2 sin x + C. चूँकि x=π/2, y=0, तो 0 = (π2/4)(1) + C ⇒ C = -π2/4.
7. विशिष्ट हल: y sin x = x2 sin x - π2/4.
Solution (Linear Eq):
1. It is of the form dy/dx + Py = Q. P = cot x, Q = 2x + x2 cot x.
2. I.F. = e∫cot x dx = elog(sin x) = sin x.
3. Solution: y \cdot (sin x) = ∫ (2x + x2 cot x) sin x dx + C.
4. y sin x = ∫ 2x sin x dx + ∫ x2 cos x dx + C.
5. Integrating second part by parts: x2 sin x - ∫ 2x sin x dx. This cancels the first integral.
6. y sin x = x2 sin x + C. Given x=π/2, y=0, we get 0 = (π2/4)(1) + C ⇒ C = -π2/4.
7. Particular solution: y sin x = x2 sin x - π2/4.
1. It is of the form dy/dx + Py = Q. P = cot x, Q = 2x + x2 cot x.
2. I.F. = e∫cot x dx = elog(sin x) = sin x.
3. Solution: y \cdot (sin x) = ∫ (2x + x2 cot x) sin x dx + C.
4. y sin x = ∫ 2x sin x dx + ∫ x2 cos x dx + C.
5. Integrating second part by parts: x2 sin x - ∫ 2x sin x dx. This cancels the first integral.
6. y sin x = x2 sin x + C. Given x=π/2, y=0, we get 0 = (π2/4)(1) + C ⇒ C = -π2/4.
7. Particular solution: y sin x = x2 sin x - π2/4.
हल (समघातीय):
1. dy/dx = (y2 - x2) / 2xy. माना y = vx ⇒ dy/dx = v + x(dv/dx).
2. v + x(dv/dx) = (v2x2 - x2) / 2x(vx) = (v2-1)/2v.
3. x(dv/dx) = (v2-1)/2v - v = -(1+v2)/2v.
4. चरों को अलग कर समाकलन: ∫ 2v/(1+v2) dv = - ∫ dx/x.
5. log(1+v2) = -log x + log C ⇒ log((1+v2)x) = log C.
6. x(1+y2/x2) = C ⇒ (x2 + y2)/x = C ⇒ x2 + y2 = Cx.
1. dy/dx = (y2 - x2) / 2xy. माना y = vx ⇒ dy/dx = v + x(dv/dx).
2. v + x(dv/dx) = (v2x2 - x2) / 2x(vx) = (v2-1)/2v.
3. x(dv/dx) = (v2-1)/2v - v = -(1+v2)/2v.
4. चरों को अलग कर समाकलन: ∫ 2v/(1+v2) dv = - ∫ dx/x.
5. log(1+v2) = -log x + log C ⇒ log((1+v2)x) = log C.
6. x(1+y2/x2) = C ⇒ (x2 + y2)/x = C ⇒ x2 + y2 = Cx.
Solution (Homogeneous):
1. dy/dx = (y2 - x2) / 2xy. Let y = vx ⇒ dy/dx = v + x(dv/dx).
2. v + x(dv/dx) = (v2-1)/2v.
3. x(dv/dx) = (v2-1)/2v - v = -(1+v2)/2v.
4. Separating variables and integrating: ∫ 2v/(1+v2) dv = - ∫ dx/x.
5. log(1+v2) = -log x + log C ⇒ (1+v2)x = C.
6. Substituting v = y/x gives x2 + y2 = Cx.
1. dy/dx = (y2 - x2) / 2xy. Let y = vx ⇒ dy/dx = v + x(dv/dx).
2. v + x(dv/dx) = (v2-1)/2v.
3. x(dv/dx) = (v2-1)/2v - v = -(1+v2)/2v.
4. Separating variables and integrating: ∫ 2v/(1+v2) dv = - ∫ dx/x.
5. log(1+v2) = -log x + log C ⇒ (1+v2)x = C.
6. Substituting v = y/x gives x2 + y2 = Cx.
प्र.18. एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष A(1,1,1), B(1,2,3) और C(2,3,1) हैं।
Q.18. Find the area of a triangle having the vertices A(1,1,1), B(1,2,3) and C(2,3,1).
अथवा / OR
सिद्ध कीजिए: [a+b, b+c, c+a] = 2[a b c].
Prove that: [a+b, b+c, c+a] = 2[a b c].
हल:
1. सदिश AB = (1-1)i + (2-1)j + (3-1)k = j + 2k.
2. सदिश AC = (2-1)i + (3-1)j + (1-1)k = i + 2j.
3. AB × AC =
= i(0-4) - j(0-2) + k(0-1) = -4i + 2j - k.
4. क्षेत्रफल = 1/2 |AB × AC| = 1/2 √((-4)2+22+(-1)2) = 1/2 √(16+4+1) = √21/2 वर्ग इकाई।
1. सदिश AB = (1-1)i + (2-1)j + (3-1)k = j + 2k.
2. सदिश AC = (2-1)i + (3-1)j + (1-1)k = i + 2j.
3. AB × AC =
| i | j | k |
| 0 | 1 | 2 |
| 1 | 2 | 0 |
= i(0-4) - j(0-2) + k(0-1) = -4i + 2j - k.
4. क्षेत्रफल = 1/2 |AB × AC| = 1/2 √((-4)2+22+(-1)2) = 1/2 √(16+4+1) = √21/2 वर्ग इकाई।
Solution:
1. Vector AB = j + 2k.
2. Vector AC = i + 2j.
3. AB × AC =
= -4i + 2j - k.
4. Area = 1/2 |AB × AC| = 1/2 √(16+4+1) = √21/2 sq. units.
1. Vector AB = j + 2k.
2. Vector AC = i + 2j.
3. AB × AC =
| i | j | k |
| 0 | 1 | 2 |
| 1 | 2 | 0 |
= -4i + 2j - k.
4. Area = 1/2 |AB × AC| = 1/2 √(16+4+1) = √21/2 sq. units.
हल:
LHS = (a+b) ċ ((b+c) × (c+a))
= (a+b) ċ (b×c + b×a + c×c + c×a). (चूँकि c×c = 0)
= aċ(b×c) + aċ(b×a) + aċ(c×a) + bċ(b×c) + bċ(b×a) + bċ(c×a).
अदिश त्रिक गुणनफल के गुणधर्म से यदि दो सदिश समान हों तो मान शून्य होता है।
= [a b c] + 0 + 0 + 0 + 0 + [b c a].
चूँकि [b c a] = [a b c] चक्रीय क्रम में, अतः [a b c] + [a b c] = 2[a b c] = RHS.
LHS = (a+b) ċ ((b+c) × (c+a))
= (a+b) ċ (b×c + b×a + c×c + c×a). (चूँकि c×c = 0)
= aċ(b×c) + aċ(b×a) + aċ(c×a) + bċ(b×c) + bċ(b×a) + bċ(c×a).
अदिश त्रिक गुणनफल के गुणधर्म से यदि दो सदिश समान हों तो मान शून्य होता है।
= [a b c] + 0 + 0 + 0 + 0 + [b c a].
चूँकि [b c a] = [a b c] चक्रीय क्रम में, अतः [a b c] + [a b c] = 2[a b c] = RHS.
Solution:
LHS = (a+b) ċ ((b+c) × (c+a))
= (a+b) ċ (b×c + b×a + c×a). (Since c×c = 0)
= [a b c] + [a b a] + [a c a] + [b b c] + [b b a] + [b c a].
Scalar triple product with two identical vectors is zero.
= [a b c] + 0 + 0 + 0 + 0 + [b c a].
Since [b c a] = [a b c], it equals 2[a b c] = RHS.
LHS = (a+b) ċ ((b+c) × (c+a))
= (a+b) ċ (b×c + b×a + c×a). (Since c×c = 0)
= [a b c] + [a b a] + [a c a] + [b b c] + [b b a] + [b c a].
Scalar triple product with two identical vectors is zero.
= [a b c] + 0 + 0 + 0 + 0 + [b c a].
Since [b c a] = [a b c], it equals 2[a b c] = RHS.
प्र.19. आलेखीय विधि से निम्न रैखिक प्रोग्रामन समस्या को हल कीजिए:
अधिकतम Z = 5x + 3y
व्यवरोध: 3x + 5y ≤ 15, 5x + 2y ≤ 10, x, y ≥ 0.
अधिकतम Z = 5x + 3y
व्यवरोध: 3x + 5y ≤ 15, 5x + 2y ≤ 10, x, y ≥ 0.
Q.19. Solve the following LPP graphically:
Maximize Z = 5x + 3y
Subject to: 3x + 5y ≤ 15, 5x + 2y ≤ 10, x, y ≥ 0.
Maximize Z = 5x + 3y
Subject to: 3x + 5y ≤ 15, 5x + 2y ≤ 10, x, y ≥ 0.
हल:
1. रेखाओं 3x+5y=15 और 5x+2y=10 के आलेख खींचें।
2. सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु: O(0,0), A(2,0) [रेखा 2 का x-अंतःखंड], C(0,3) [रेखा 1 का y-अंतःखंड] और B(प्रतिच्छेद बिंदु)।
3. B के लिए हल: समीकरणों को हल करने पर x=20/19, y=45/19.
4. Z के मान: Z(O)=0, Z(A)=10, Z(C)=9.
5. B पर Z = 5(20/19) + 3(45/19) = 100/19 + 135/19 = 235/19 ≈ 12.37.
6. अतः अधिकतम मान **235/19** है, जो बिंदु (20/19, 45/19) पर है।
1. रेखाओं 3x+5y=15 और 5x+2y=10 के आलेख खींचें।
2. सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु: O(0,0), A(2,0) [रेखा 2 का x-अंतःखंड], C(0,3) [रेखा 1 का y-अंतःखंड] और B(प्रतिच्छेद बिंदु)।
3. B के लिए हल: समीकरणों को हल करने पर x=20/19, y=45/19.
4. Z के मान: Z(O)=0, Z(A)=10, Z(C)=9.
5. B पर Z = 5(20/19) + 3(45/19) = 100/19 + 135/19 = 235/19 ≈ 12.37.
6. अतः अधिकतम मान **235/19** है, जो बिंदु (20/19, 45/19) पर है।
Solution:
1. Draw graphs for 3x+5y=15 and 5x+2y=10.
2. Corner points of feasible region: O(0,0), A(2,0), C(0,3) and B(intersection).
3. Solving for B: x=20/19, y=45/19.
4. Values of Z: Z(O)=0, Z(A)=10, Z(C)=9.
5. At B, Z = 5(20/19) + 3(45/19) = 235/19 ≈ 12.37.
6. Maximum value is **235/19** at (20/19, 45/19).
1. Draw graphs for 3x+5y=15 and 5x+2y=10.
2. Corner points of feasible region: O(0,0), A(2,0), C(0,3) and B(intersection).
3. Solving for B: x=20/19, y=45/19.
4. Values of Z: Z(O)=0, Z(A)=10, Z(C)=9.
5. At B, Z = 5(20/19) + 3(45/19) = 235/19 ≈ 12.37.
6. Maximum value is **235/19** at (20/19, 45/19).
खण्ड द: दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (4 अंक)
Section D: Long Answer Type Questions (4 Marks)
प्र.20. आव्यूह विधि से निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल कीजिए:
3x - 2y + 3z = 8
2x + y - z = 1
4x - 3y + 2z = 4
3x - 2y + 3z = 8
2x + y - z = 1
4x - 3y + 2z = 4
Q.20. Solve the following system of equations by matrix method:
3x - 2y + 3z = 8
2x + y - z = 1
4x - 3y + 2z = 4
3x - 2y + 3z = 8
2x + y - z = 1
4x - 3y + 2z = 4
अथवा / OR
सिद्ध कीजिए कि सारणिक
|
| = 2(x+y+z)3.
|
| x+y+2z | x | y |
| z | y+z+2x | y |
| z | x | z+x+2y |
Prove that the determinant
|
| = 2(x+y+z)3.
|
| x+y+2z | x | y |
| z | y+z+2x | y |
| z | x | z+x+2y |
हल:
1. निकाय को AX = B के रूप में लिखें।
2. |A| = 3(2-3) - (-2)(4+4) + 3(-6-4) = -3 + 16 - 30 = -17 ≠ 0.
3. सहखंडज (Adjoint A) निकालें: A11 = -1, A12 = -8, A13 = -10
A21 = -5, A22 = -6, A23 = 1
A31 = -1, A32 = 9, A33 = 7
4. A-1 = (1/-17)
5. X = A-1B गुणा करने पर:
x = (-1/17)(-8 - 5 - 4) = (-1/17)(-17) = 1
y = (-1/17)(-64 - 6 + 36) = (-1/17)(-34) = 2
z = (-1/17)(-80 + 1 + 28) = (-1/17)(-51) = 3
अतः x=1, y=2, z=3.
1. निकाय को AX = B के रूप में लिखें।
2. |A| = 3(2-3) - (-2)(4+4) + 3(-6-4) = -3 + 16 - 30 = -17 ≠ 0.
3. सहखंडज (Adjoint A) निकालें: A11 = -1, A12 = -8, A13 = -10
A21 = -5, A22 = -6, A23 = 1
A31 = -1, A32 = 9, A33 = 7
4. A-1 = (1/-17)
| -1 | -5 | -1 |
| -8 | -6 | 9 |
| -10 | 1 | 7 |
5. X = A-1B गुणा करने पर:
x = (-1/17)(-8 - 5 - 4) = (-1/17)(-17) = 1
y = (-1/17)(-64 - 6 + 36) = (-1/17)(-34) = 2
z = (-1/17)(-80 + 1 + 28) = (-1/17)(-51) = 3
अतः x=1, y=2, z=3.
Solution:
1. Write as AX = B.
2. |A| = -17 ≠ 0.
3. Find Adjoint A.
4. A-1 = (1/|A|) adj A.
5. X = A-1B gives x=1, y=2, z=3.
1. Write as AX = B.
2. |A| = -17 ≠ 0.
3. Find Adjoint A.
4. A-1 = (1/|A|) adj A.
5. X = A-1B gives x=1, y=2, z=3.
हल:
1. संक्रिया C1 → C1 + C2 + C3 लगाएँ।
2. C1 का प्रत्येक अवयव 2(x+y+z) बन जाएगा। इसे उभयनिष्ठ (common) लें।
3. अब C1 में 1, 1, 1 बचेगा।
4. संक्रिया R2 → R2 - R1 और R3 → R3 - R1 लगाएँ। इससे C1 में दो शून्य बन जाएँगे।
5. प्रथम स्तंभ के अनुदिश प्रसार करने पर सारणिक का मान (x+y+z)2 आएगा।
6. अतः कुल मान 2(x+y+z) \cdot (x+y+z)2 = 2(x+y+z)3. सिद्ध हुआ।
1. संक्रिया C1 → C1 + C2 + C3 लगाएँ।
2. C1 का प्रत्येक अवयव 2(x+y+z) बन जाएगा। इसे उभयनिष्ठ (common) लें।
3. अब C1 में 1, 1, 1 बचेगा।
4. संक्रिया R2 → R2 - R1 और R3 → R3 - R1 लगाएँ। इससे C1 में दो शून्य बन जाएँगे।
5. प्रथम स्तंभ के अनुदिश प्रसार करने पर सारणिक का मान (x+y+z)2 आएगा।
6. अतः कुल मान 2(x+y+z) \cdot (x+y+z)2 = 2(x+y+z)3. सिद्ध हुआ।
Solution:
1. Apply C1 → C1 + C2 + C3.
2. Take out 2(x+y+z) common from C1.
3. Apply R2 → R2 - R1 and R3 → R3 - R1 to make zeros in C1.
4. Expand along C1 to get (x+y+z)2.
5. Final result is 2(x+y+z)3. Proved.
1. Apply C1 → C1 + C2 + C3.
2. Take out 2(x+y+z) common from C1.
3. Apply R2 → R2 - R1 and R3 → R3 - R1 to make zeros in C1.
4. Expand along C1 to get (x+y+z)2.
5. Final result is 2(x+y+z)3. Proved.
प्र.21. यदि x = a(θ + sinθ) और y = a(1 - cosθ) है, तो θ = π/2 पर d2y/dx2 ज्ञात कीजिए।
Q.21. If x = a(θ + sinθ) and y = a(1 - cosθ), find d2y/dx2 at θ = π/2.
अथवा / OR
फलन f(x) = 3x4 - 4x3 - 12x2 + 5 के स्थानीय उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
Find the local maximum and local minimum values of the function f(x) = 3x4 - 4x3 - 12x2 + 5.
हल:
1. dx/dθ = a(1+cosθ), dy/dθ = asinθ.
2. dy/dx = (asinθ) / (a(1+cosθ)) = (2sin(θ/2)cos(θ/2)) / (2cos2(θ/2)) = tan(θ/2).
3. d2y/dx2 = d/dx(tan(θ/2)) = (1/2)sec2(θ/2) · (dθ/dx).
4. d2y/dx2 = (1/2)sec2(θ/2) · [1 / a(1+cosθ)].
5. θ=π/2 पर मान: sec(π/4) = √2, cos(π/2) = 0.
= (1/2)(√2)2 · [1 / a(1+0)] = (1/2)(2)(1/a) = 1/a.
1. dx/dθ = a(1+cosθ), dy/dθ = asinθ.
2. dy/dx = (asinθ) / (a(1+cosθ)) = (2sin(θ/2)cos(θ/2)) / (2cos2(θ/2)) = tan(θ/2).
3. d2y/dx2 = d/dx(tan(θ/2)) = (1/2)sec2(θ/2) · (dθ/dx).
4. d2y/dx2 = (1/2)sec2(θ/2) · [1 / a(1+cosθ)].
5. θ=π/2 पर मान: sec(π/4) = √2, cos(π/2) = 0.
= (1/2)(√2)2 · [1 / a(1+0)] = (1/2)(2)(1/a) = 1/a.
Solution:
1. dx/dθ = a(1+cosθ), dy/dθ = asinθ.
2. dy/dx = tan(θ/2).
3. d2y/dx2 = (1/2)sec2(θ/2) · (dθ/dx) = (1/2)sec2(θ/2) / a(1+cosθ).
4. At θ=π/2: (1/2)(√2)2 / a(1+0) = 1/a.
1. dx/dθ = a(1+cosθ), dy/dθ = asinθ.
2. dy/dx = tan(θ/2).
3. d2y/dx2 = (1/2)sec2(θ/2) · (dθ/dx) = (1/2)sec2(θ/2) / a(1+cosθ).
4. At θ=π/2: (1/2)(√2)2 / a(1+0) = 1/a.
हल:
1. f'(x) = 12x3 - 12x2 - 24x = 12x(x2 - x - 2) = 12x(x-2)(x+1).
2. क्रांतिक बिंदु: f'(x) = 0 ⇒ x = 0, 2, -1.
3. f''(x) = 36x2 - 24x - 24.
4. x = 0 पर: f''(0) = -24 < 0 (स्थानीय उच्चतम)। मान: f(0) = 5.
5. x = -1 पर: f''(-1) = 36 + 24 - 24 = 36 > 0 (स्थानीय निम्नतम)। मान: 3+4-12+5 = 0.
6. x = 2 पर: f''(2) = 144 - 48 - 24 = 72 > 0 (स्थानीय निम्नतम)। मान: 48 - 32 - 48 + 5 = -27.
1. f'(x) = 12x3 - 12x2 - 24x = 12x(x2 - x - 2) = 12x(x-2)(x+1).
2. क्रांतिक बिंदु: f'(x) = 0 ⇒ x = 0, 2, -1.
3. f''(x) = 36x2 - 24x - 24.
4. x = 0 पर: f''(0) = -24 < 0 (स्थानीय उच्चतम)। मान: f(0) = 5.
5. x = -1 पर: f''(-1) = 36 + 24 - 24 = 36 > 0 (स्थानीय निम्नतम)। मान: 3+4-12+5 = 0.
6. x = 2 पर: f''(2) = 144 - 48 - 24 = 72 > 0 (स्थानीय निम्नतम)। मान: 48 - 32 - 48 + 5 = -27.
Solution:
1. f'(x) = 12x(x-2)(x+1). Critical points: x = 0, 2, -1.
2. f''(x) = 36x2 - 24x - 24.
3. At x=0, f'' < 0 (Local Max). Max value = 5.
4. At x=-1, f'' > 0 (Local Min). Min value = 0.
5. At x=2, f'' > 0 (Local Min). Min value = -27.
1. f'(x) = 12x(x-2)(x+1). Critical points: x = 0, 2, -1.
2. f''(x) = 36x2 - 24x - 24.
3. At x=0, f'' < 0 (Local Max). Max value = 5.
4. At x=-1, f'' > 0 (Local Min). Min value = 0.
5. At x=2, f'' > 0 (Local Min). Min value = -27.
प्र.22. सिद्ध कीजिए कि ∫0π/2 log(sin x) dx = -(π/2) log 2.
Q.22. Prove that: ∫0π/2 log(sin x) dx = -(π/2) log 2.
अथवा / OR
मान ज्ञात कीजिए: ∫0π (x tan x) / (sec x + tan x) dx.
Evaluate: ∫0π (x tan x) / (sec x + tan x) dx.
हल:
1. माना I = ∫0π/2 log(sin x) dx ... (1)
2. P4 गुणधर्म (∫0a f(x)dx = ∫0a f(a-x)dx) से: I = ∫0π/2 log(cos x) dx ... (2)
3. (1) और (2) को जोड़ने पर: 2I = ∫0π/2 [log(sin x) + log(cos x)] dx = ∫0π/2 log(sin x cos x) dx.
4. 2 से गुणा और भाग करने पर: 2I = ∫0π/2 log(sin 2x / 2) dx = ∫0π/2 log(sin 2x) dx - ∫0π/2 log 2 dx.
5. पहले भाग में 2x = t रखने पर वह I के बराबर हो जाता है।
6. अतः 2I = I - (π/2) log 2 ⇒ I = -(π/2) log 2.
1. माना I = ∫0π/2 log(sin x) dx ... (1)
2. P4 गुणधर्म (∫0a f(x)dx = ∫0a f(a-x)dx) से: I = ∫0π/2 log(cos x) dx ... (2)
3. (1) और (2) को जोड़ने पर: 2I = ∫0π/2 [log(sin x) + log(cos x)] dx = ∫0π/2 log(sin x cos x) dx.
4. 2 से गुणा और भाग करने पर: 2I = ∫0π/2 log(sin 2x / 2) dx = ∫0π/2 log(sin 2x) dx - ∫0π/2 log 2 dx.
5. पहले भाग में 2x = t रखने पर वह I के बराबर हो जाता है।
6. अतः 2I = I - (π/2) log 2 ⇒ I = -(π/2) log 2.
Solution:
1. Let I = ∫0π/2 log(sin x) dx ... (1)
2. Using property P4: I = ∫0π/2 log(cos x) dx ... (2)
3. Adding (1) and (2): 2I = ∫0π/2 log(sin x cos x) dx = ∫0π/2 log(sin 2x / 2) dx.
4. 2I = ∫0π/2 log(sin 2x) dx - ∫0π/2 log 2 dx.
5. Substituting 2x = t in first integral gives I. Thus 2I = I - (π/2) log 2.
6. I = -(π/2) log 2.
1. Let I = ∫0π/2 log(sin x) dx ... (1)
2. Using property P4: I = ∫0π/2 log(cos x) dx ... (2)
3. Adding (1) and (2): 2I = ∫0π/2 log(sin x cos x) dx = ∫0π/2 log(sin 2x / 2) dx.
4. 2I = ∫0π/2 log(sin 2x) dx - ∫0π/2 log 2 dx.
5. Substituting 2x = t in first integral gives I. Thus 2I = I - (π/2) log 2.
6. I = -(π/2) log 2.
हल:
1. I = ∫0π (x tan x) / (sec x + tan x) dx
2. P4 का प्रयोग: I = ∫0π ((π-x) tan(π-x)) / (sec(π-x) + tan(π-x)) dx
3. I = ∫0π ((π-x) (-tan x)) / (-sec x - tan x) dx = ∫0π ((π-x) tan x) / (sec x + tan x) dx.
4. जोड़ने पर: 2I = π ∫0π tan x / (sec x + tan x) dx.
5. इसे sin, cos में बदलें: 2I = π ∫0π (sin x / (1+sin x)) dx.
6. परिमेयकरण (Rationalization) करके हल करने पर: I = π(π/2 - 1).
1. I = ∫0π (x tan x) / (sec x + tan x) dx
2. P4 का प्रयोग: I = ∫0π ((π-x) tan(π-x)) / (sec(π-x) + tan(π-x)) dx
3. I = ∫0π ((π-x) (-tan x)) / (-sec x - tan x) dx = ∫0π ((π-x) tan x) / (sec x + tan x) dx.
4. जोड़ने पर: 2I = π ∫0π tan x / (sec x + tan x) dx.
5. इसे sin, cos में बदलें: 2I = π ∫0π (sin x / (1+sin x)) dx.
6. परिमेयकरण (Rationalization) करके हल करने पर: I = π(π/2 - 1).
Solution:
1. Apply P4 property: replace x with π-x.
2. Add both equations: 2I = π ∫0π tan x / (sec x + tan x) dx.
3. Convert to sin, cos: 2I = π ∫0π (sin x / (1+sin x)) dx.
4. Multiply numerator and denominator by (1-sin x) and integrate to get I = π(π/2 - 1).
1. Apply P4 property: replace x with π-x.
2. Add both equations: 2I = π ∫0π tan x / (sec x + tan x) dx.
3. Convert to sin, cos: 2I = π ∫0π (sin x / (1+sin x)) dx.
4. Multiply numerator and denominator by (1-sin x) and integrate to get I = π(π/2 - 1).
प्र.23. रेखाओं r = (i + 2j + 3k) + λ(i - 3j + 2k) और r = (4i + 5j + 6k) + μ(2i + 3j + k) के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
Q.23. Find the shortest distance between the lines r = (i + 2j + 3k) + λ(i - 3j + 2k) and r = (4i + 5j + 6k) + μ(2i + 3j + k).
अथवा / OR
एक थैले में 4 लाल और 4 काली गेंदें हैं, एक अन्य थैले में 2 लाल और 6 काली गेंदें हैं। दोनों में से एक थैले को यादृच्छया चुना जाता है और उसमें से एक गेंद निकाली जाती है जो लाल रंग की है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यह गेंद पहले थैले से निकाली गई है। (बेज प्रमेय)
Bag I contains 4 red and 4 black balls, another Bag II contains 2 red and 6 black balls. One of the two bags is selected at random and a ball is drawn from the bag which is found to be red. Find the probability that the ball is drawn from the first bag. (Bayes' Theorem)
हल (न्यूनतम दूरी):
1. a1 = i+2j+3k, b1 = i-3j+2k
a2 = 4i+5j+6k, b2 = 2i+3j+k.
2. a2 - a1 = 3i + 3j + 3k.
3. b1 × b2 =
= i(-3-6) - j(1-4) + k(3-(-6)) = -9i + 3j + 9k.
4. सूत्र d = |(a2-a1) ċ (b1×b2)| / |b1×b2|
5. अंश = 3(-9) + 3(3) + 3(9) = -27 + 9 + 27 = 9.
6. हर = √((-9)2 + 32 + 92) = √(81+9+81) = √171 = 3√19.
7. d = 9 / 3√19 = 3 / √19 इकाई।
1. a1 = i+2j+3k, b1 = i-3j+2k
a2 = 4i+5j+6k, b2 = 2i+3j+k.
2. a2 - a1 = 3i + 3j + 3k.
3. b1 × b2 =
| i | j | k |
| 1 | -3 | 2 |
| 2 | 3 | 1 |
= i(-3-6) - j(1-4) + k(3-(-6)) = -9i + 3j + 9k.
4. सूत्र d = |(a2-a1) ċ (b1×b2)| / |b1×b2|
5. अंश = 3(-9) + 3(3) + 3(9) = -27 + 9 + 27 = 9.
6. हर = √((-9)2 + 32 + 92) = √(81+9+81) = √171 = 3√19.
7. d = 9 / 3√19 = 3 / √19 इकाई।
Solution (Shortest Distance):
1. a2 - a1 = 3i + 3j + 3k.
2. b1 × b2 = -9i + 3j + 9k.
3. Formula d = |(a2-a1) ċ (b1×b2)| / |b1×b2|
4. Numerator = |3(-9) + 3(3) + 3(9)| = 9.
5. Denominator = √(81+9+81) = √171 = 3√19.
6. d = 9 / 3√19 = 3 / √19 units.
1. a2 - a1 = 3i + 3j + 3k.
2. b1 × b2 = -9i + 3j + 9k.
3. Formula d = |(a2-a1) ċ (b1×b2)| / |b1×b2|
4. Numerator = |3(-9) + 3(3) + 3(9)| = 9.
5. Denominator = √(81+9+81) = √171 = 3√19.
6. d = 9 / 3√19 = 3 / √19 units.
हल (बेज प्रमेय):
E1 = पहला थैला चुनना, E2 = दूसरा थैला चुनना। A = लाल गेंद निकलना।
P(E1) = 1/2, P(E2) = 1/2.
P(A|E1) = 4/8 = 1/2 (पहले थैले से लाल गेंद)।
P(A|E2) = 2/8 = 1/4 (दूसरे थैले से लाल गेंद)।
बेज प्रमेय से:
P(E1|A) = [P(E1) × P(A|E1)] / [P(E1)P(A|E1) + P(E2)P(A|E2)]
= (1/2 × 1/2) / [(1/2 × 1/2) + (1/2 × 1/4)]
= (1/4) / [1/4 + 1/8] = (1/4) / (3/8) = (1/4) × (8/3) = 2/3.
E1 = पहला थैला चुनना, E2 = दूसरा थैला चुनना। A = लाल गेंद निकलना।
P(E1) = 1/2, P(E2) = 1/2.
P(A|E1) = 4/8 = 1/2 (पहले थैले से लाल गेंद)।
P(A|E2) = 2/8 = 1/4 (दूसरे थैले से लाल गेंद)।
बेज प्रमेय से:
P(E1|A) = [P(E1) × P(A|E1)] / [P(E1)P(A|E1) + P(E2)P(A|E2)]
= (1/2 × 1/2) / [(1/2 × 1/2) + (1/2 × 1/4)]
= (1/4) / [1/4 + 1/8] = (1/4) / (3/8) = (1/4) × (8/3) = 2/3.
Solution (Bayes' Theorem):
E1 = Bag I chosen, E2 = Bag II chosen. A = Drawing a red ball.
P(E1) = 1/2, P(E2) = 1/2.
P(A|E1) = 4/8 = 1/2.
P(A|E2) = 2/8 = 1/4.
By Bayes' Theorem:
P(E1|A) = [P(E1) × P(A|E1)] / [P(E1)P(A|E1) + P(E2)P(A|E2)]
= (1/4) / [1/4 + 1/8] = 2/3.
E1 = Bag I chosen, E2 = Bag II chosen. A = Drawing a red ball.
P(E1) = 1/2, P(E2) = 1/2.
P(A|E1) = 4/8 = 1/2.
P(A|E2) = 2/8 = 1/4.
By Bayes' Theorem:
P(E1|A) = [P(E1) × P(A|E1)] / [P(E1)P(A|E1) + P(E2)P(A|E2)]
= (1/4) / [1/4 + 1/8] = 2/3.
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