कक्षा 12वीं गणित मॉडल पेपर सेट A 2026 | MP Board Class 12th Maths Model Paper (Hindi & English)

कक्षा 12वीं गणित मॉडल पेपर सेट A 2026 | MP Board Class 12th Maths Model Paper (Hindi & English)

माध्यमिक शिक्षा मण्डल, भोपाल (MP Board) की वार्षिक परीक्षा 2026 की तैयारी कर रहे विद्यार्थियों के लिए कक्षा 12वीं गणित (Mathematics) मॉडल पेपर सेट A अत्यंत महत्वपूर्ण है।

यह मॉडल पेपर नवीनतम परीक्षा पैटर्न एवं ब्लूप्रिंट के अनुसार तैयार किया गया है, जिससे विद्यार्थी वास्तविक परीक्षा का अनुभव प्राप्त कर सकें।

मॉडल पेपर की विशेषताएँ

✅ नवीनतम सिलेबस पर आधारित

✅ ब्लूप्रिंट के अनुसार प्रश्न वितरण

✅ वस्तुनिष्ठ, लघुउत्तर एवं दीर्घउत्तर प्रश्न शामिल

✅ परीक्षा के स्तर के अनुरूप प्रश्न

✅ स्व-मूल्यांकन हेतु उपयोगी

प्रश्न पत्र की संरचना (Exam Pattern)

खंड A – वस्तुनिष्ठ प्रश्न (MCQ)

खंड B – अति लघु उत्तरीय प्रश्न

खंड C – लघु उत्तरीय प्रश्न

खंड D – दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

⏱️ समय: 3 घंटे

📊 पूर्णांक: 80 अंक

मॉडल पेपर डाउनलोड कैसे देखें?

मॉडल पेपर हिन्दी एवं English दोनों माध्यम में है, आप जिस माध्यम में देखना चाहें हैं, उस पर क्लिक कीजिए. प्रत्येक प्रश्न के नीचे उत्तर देखने के लिए बटन दिया गया है. बटन पर क्लिक करके आप आंसर देख सकते हैं. प्रश्न एवं उत्तर केवल प्रैक्टिस के लिए है.

📌 नोट: नियमित अभ्यास से ही गणित विषय में अच्छे अंक प्राप्त किए जा सकते हैं।

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कक्षा 12वीं - गणित Class 12th - Mathematics

(मॉडल पेपर 2025-26 सेट-A) (Model Paper 2025-26 Set-A)

Created by: D Septa | पूर्णांक: 80 | समय: 3 घंटे Created by: D Septa | Max Marks: 80 | Time: 3 Hours

खण्ड अ: वस्तुनिष्ठ प्रश्न (32 अंक)

Section A: Objective Type Questions (32 Marks)

प्र.1. सही विकल्प चुनकर लिखिए: (1×6 = 6 अंक)

Q.1. Choose the correct option: (1×6 = 6 Marks)

(i) यदि समुच्चय A = {1, 2, 3} में R = {(1, 2), (2, 1)} एक संबंध है, तो R है:

(i) Let R be a relation in the set A = {1, 2, 3} given by R = {(1, 2), (2, 1)}. Then R is:

(अ) स्वतुल्य / (a) Reflexive (ब) सममित / (b) Symmetric (स) संक्रामक / (c) Transitive (द) तुल्यता / (d) Equivalence

👉 (ब) सममित

विवरण: चूँकि (1, 2) ∈ R और (2, 1) ∈ R है, लेकिन (1, 1) और (2, 2) R में नहीं हैं, इसलिए यह केवल सममित (Symmetric) है।

👉 (b) Symmetric

Description: Since (1, 2) ∈ R and (2, 1) ∈ R, but (1, 1) and (2, 2) are not in R, it is only symmetric.

---

(ii) tan^-1(√3) - sec^-1(-2) का मान है:

(ii) The value of tan^-1(√3) - sec^-1(-2) is:

(अ) π / (a) π (ब) -π/3 / (b) -π/3 (स) π/3 / (c) π/3 (द) 2π/3 / (d) 2π/3

👉 (ब) -π/3

हल: (π/3) - (π - π/3) = π/3 - 2π/3 = -π/3

👉 (b) -π/3

Solution: (π/3) - (π - π/3) = π/3 - 2π/3 = -π/3

---

(iii) 3×3 कोटि के ऐसे आव्यूहों की कुल संख्या कितनी होगी जिनकी प्रत्येक प्रविष्टि 0 या 1 है?

(iii) The number of all possible matrices of order 3×3 with each entry 0 or 1 is:

(अ) 27 / (a) 27 (ब) 18 / (b) 18 (स) 81 / (c) 81 (द) 512 / (d) 512

👉 (द) 512

हल: कुल अवयव = 9। प्रत्येक स्थान के लिए 2 विकल्प (0 या 1)। अतः 2⁹ = 512.

👉 (d) 512

Solution: Total elements = 9. 2 choices (0 or 1) for each element. Therefore, 2⁹ = 512.

---

(iv) यदि A एक वर्ग आव्यूह है तो A + A' एक ________ आव्यूह होगा।

(iv) If A is a square matrix, then A + A' will be a ________ matrix.

(अ) सममित / (a) Symmetric (ब) विषम सममित / (b) Skew-symmetric (स) इकाई / (c) Identity (द) शून्य / (d) Zero

👉 (अ) सममित (Symmetric)

हल: (A + A')' = A' + (A')' = A' + A = A + A'

👉 (a) Symmetric

Solution: (A + A')' = A' + (A')' = A' + A = A + A'

---

(v) ∫ e^x (1/x - 1/x²) dx का मान है:

(v) The value of ∫ e^x (1/x - 1/x²) dx is:

(अ) e^x/x + C / (a) e^x/x + C (ब) e^x/x² + C / (b) e^x/x² + C (स) -e^x/x + C / (c) -e^x/x + C (द) e^x log x + C / (d) e^x log x + C

👉 (अ) e^x/x + C

हल: यह ∫ e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) का रूप है। यहाँ f(x) = 1/x है।

👉 (a) e^x/x + C

Solution: This is of the form ∫ e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x). Here f(x) = 1/x.

---

(vi) अवकल समीकरण 2x²(d²y/dx²) - 3(dy/dx) + y = 0 की कोटि है:

(vi) The order of the differential equation 2x²(d²y/dx²) - 3(dy/dx) + y = 0 is:

(अ) 2 / (a) 2 (ब) 1 / (b) 1 (स) 0 / (c) 0 (द) परिभाषित नहीं / (d) Not defined

👉 (अ) 2

विवरण: उच्चतम अवकलज d²y/dx² है, अतः कोटि 2 है।

👉 (a) 2

Description: The highest order derivative is d²y/dx², so the order is 2.

प्र.2. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए: (1×6 = 6 अंक)

Q.2. Fill in the blanks: (1×6 = 6 Marks)

(i) फलन f(x) = |x|, x = 0 पर ________ है।

(i) The function f(x) = |x| is ________ at x = 0.

संतत (Continuous)

मापांक फलन हर जगह संतत होता है, लेकिन x=0 पर अवकलनीय नहीं होता।

Continuous

The modulus function is continuous everywhere but not differentiable at x=0.

---

(ii) वृत्त के क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर इसकी त्रिज्या r के सापेक्ष ________ होगी, जब r = 5 cm है।

(ii) The rate of change of the area of a circle with respect to its radius r when r = 5 cm is ________.

10π

dA/dr = d(πr²)/dr = 2πr. r=5 रखने पर 10π.

10π

dA/dr = d(πr²)/dr = 2πr. Putting r=5 gives 10π.

---

(iii) सदिश 3î - 4ĵ + 12k̂ की दिक्-कोसाइन (Direction Cosine) z-अक्ष के साथ ________ है।

(iii) The direction cosine of the vector 3î - 4ĵ + 12k̂ along the z-axis is ________.

12/13

परिमाण = √(9+16+144) = √169 = 13. z-अक्ष की दिक्-कोसाइन = 12/13.

12/13

Magnitude = √(9+16+144) = √169 = 13. Direction cosine along z-axis = 12/13.

---

(iv) यदि A और B स्वतंत्र घटनाएं हैं, तो P(A ∩ B) = ________।

(iv) If A and B are independent events, then P(A ∩ B) = ________.

P(A) · P(B)

स्वतंत्र घटनाओं के लिए प्रायिकता का गुणन नियम।

P(A) · P(B)

Multiplication rule of probability for independent events.

---

(v) सुसंगत क्षेत्र (Feasible Region) के कोणीय बिंदुओं पर उद्देश्य फलन का मान ________ होता है।

(v) The objective function takes ________ value at the corner points of the feasible region.

इष्टतम (Optimal) / अधिकतम या न्यूनतम

Optimal (Maximum or Minimum)

---

(vi) मूल बिंदु से समतल 2x - 3y + 4z - 6 = 0 की दूरी ________ है।

(vi) The distance of the plane 2x - 3y + 4z - 6 = 0 from the origin is ________.

6/√29

सूत्र: |d|/√(a²+b²+c²) = |-6|/√(4+9+16) = 6/√29

6/√29

Formula: |d|/√(a²+b²+c²) = |-6|/√(4+9+16) = 6/√29

प्र.3. सत्य/असत्य का चयन कीजिए: (1×6 = 6 अंक)

Q.3. State True or False: (1×6 = 6 Marks)

(i) सारणिक |A| = 0 हो तो आव्यूह A व्युत्क्रमणीय (Invertible) होता है।

(i) If determinant |A| = 0, then matrix A is invertible.

असत्य

यदि |A| = 0 है, तो आव्यूह अव्युत्क्रमणीय (Singular) होता है।

False

If |A| = 0, the matrix is singular and not invertible.

---

(ii) फलन f(x) = sin x, (0, π/2) में निरंतर वर्धमान है।

(ii) The function f(x) = sin x is strictly increasing in (0, π/2).

सत्य

प्रथम चतुर्थांश में f'(x) = cos x > 0 होता है।

True

In the first quadrant, f'(x) = cos x > 0.

---

(iii) ∫ (1/x) dx = log|x| + C.

(iii) ∫ (1/x) dx = log|x| + C.

सत्य

True

---

(iv) दो सदिशों का अदिश गुणनफल (Scalar product) एक सदिश राशि होती है।

(iv) The scalar product of two vectors is a vector quantity.

असत्य

अदिश गुणनफल (Dot Product) से अदिश (Scalar) राशि प्राप्त होती है।

False

Dot product results in a scalar quantity.

---

(v) यदि रेखा की दिक्-कोसाइन l, m, n हैं तो l² + m² + n² = 1 होता है।

(v) If l, m, n are direction cosines of a line, then l² + m² + n² = 1.

सत्य

True

---

(vi) P(E|F) = P(E ∩ F) / P(E) होता है।

(vi) P(E|F) = P(E ∩ F) / P(E).

असत्य

सही सूत्र P(E|F) = P(E ∩ F) / P(F) है।

False

The correct formula is P(E|F) = P(E ∩ F) / P(F).

प्र.4. सही जोड़ी मिलाइए: (1×7 = 7 अंक)

Q.4. Match the following: (1×7 = 7 Marks)

(i) ∫ dx / (x² - a²)       -> (a) sin^-1(x/a)
(ii) ∫ dx / (a² - x²)      -> (b) log|x + √(x²-a²)|
(iii) ∫ dx / (x² + a²)      -> (c) (1/2a) log|(a+x)/(a-x)|
(iv) ∫ dx / √(a² - x²)     -> (d) (1/2a) log|(x-a)/(x+a)|
(v) ∫ dx / √(x² - a²)     -> (e) tan x - x
(vi) ∫ dx / √(x² + a²)     -> (f) (1/a) tan^-1(x/a)
(vii) ∫ tan²x dx            -> (g) log|x + √(x²+a²)|

Correct Match:
(i) ∫ dx / (x² - a²) → (d) (1/2a) log|(x-a)/(x+a)|
(ii) ∫ dx / (a² - x²) → (c) (1/2a) log|(a+x)/(a-x)|
(iii) ∫ dx / (x² + a²) → (f) (1/a) tan^-1(x/a)
(iv) ∫ dx / √(a² - x²) → (a) sin^-1(x/a)
(v) ∫ dx / √(x² - a²) → (b) log|x + √(x²-a²)|
(vi) ∫ dx / √(x² + a²) → (g) log|x + √(x²+a²)|
(vii) ∫ tan²x dx → (e) tan x - x

प्र.5. एक शब्द/वाक्य में उत्तर दीजिए: (1×7 = 7 अंक)

Q.5. Answer in one word/sentence: (1×7 = 7 Marks)

(i) यदि A = [a_ij] एक m×n आव्यूह है, तो A' (परिवर्त) की कोटि क्या होगी?

(i) If A = [a_ij] is an m×n matrix, what will be the order of its transpose A'?

n × m

---

(ii) x के किस मान के लिए सारणिक |2   4; 5   1| = |2x   4; 6   x| बराबर होंगे?

(ii) For what value of x, the determinants |2   4; 5   1| = |2x   4; 6   x| are equal?

x = ±√3

LHS = 2 - 20 = -18. RHS = 2x² - 24. अतः 2x² - 24 = -18 ⇒ 2x² = 6 ⇒ x² = 3.

x = ±√3

LHS = 2 - 20 = -18. RHS = 2x² - 24. So, 2x² - 24 = -18 ⇒ 2x² = 6 ⇒ x² = 3.

---

(iii) y = cos(√x) का अवकलज क्या है?

(iii) What is the derivative of y = cos(√x)?

-sin(√x) / 2√x

---

(iv) वक्र y = x³ - x की x = 2 पर स्पर्श रेखा की प्रवणता (Slope) ज्ञात कीजिए।

(iv) Find the slope of the tangent to the curve y = x³ - x at x = 2.

11

dy/dx = 3x² - 1. x=2 पर, 3(4) - 1 = 11.

11

dy/dx = 3x² - 1. At x=2, 3(4) - 1 = 11.

---

(v) सदिश â की दिशा में एकांक सदिश (Unit Vector) का सूत्र लिखिए।

(v) Write the formula for the unit vector in the direction of vector â.

â / |â|

---

(vi) यदि दो रेखाएं परस्पर लंबवत हों, तो उनकी दिक्-कोसाइन में क्या संबंध होता है?

(vi) If two lines are mutually perpendicular, what is the relation between their direction cosines?

l₁l₂ + m₁m₂ + n₁n₂ = 0

---

(vii) एक पासे को फेंकने पर सम संख्या आने की प्रायिकता क्या है?

(vii) What is the probability of getting an even number when a die is thrown?

1/2 (या 3/6)

खण्ड ब: अति लघु उत्तरीय प्रश्न (2 अंक)

Section B: Very Short Answer Type Questions (2 Marks)

प्र.6. sin^-1(sin 2π/3) का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।

Q.6. Find the principal value of sin^-1(sin 2π/3).

अथवा / OR

cot(tan^-1a + cot^-1a) का मान ज्ञात कीजिए।

Find the value of cot(tan^-1a + cot^-1a).

उत्तर:
sin 2π/3 = sin(π - π/3) = sin π/3.
चूंकि मुख्य मान शाखा [-π/2, π/2] है, अतः sin^-1(sin π/3) = π/3.

Answer:
sin 2π/3 = sin(π - π/3) = sin π/3.
Since the principal value branch is [-π/2, π/2], sin^-1(sin π/3) = π/3.

उत्तर:
tan^-1a + cot^-1a = π/2 (सूत्र से)
अतः cot(π/2) = 0.

Answer:
tan^-1a + cot^-1a = π/2 (By formula)
Hence, cot(π/2) = 0.

प्र.7. यदि X + Y = [7   0; 2   5] और X - Y = [3   0; 0   3] हो तो X ज्ञात कीजिए।

Q.7. If X + Y = [7   0; 2   5] and X - Y = [3   0; 0   3], find X.

अथवा / OR

आव्यूह A = [1   2; 3   4] का परिवर्त (Transpose) ज्ञात कीजिए।

Find the transpose of the matrix A = [1   2; 3   4].

उत्तर:
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: 2X = [10   0; 2   8]
X = [5   0; 1   4]

Answer:
Adding both equations: 2X = [10   0; 2   8]
X = [5   0; 1   4]

उत्तर:
A' = [1   3; 2   4] (पंक्तियों को स्तंभों में बदलने पर)

Answer:
A' = [1   3; 2   4] (By changing rows into columns)

प्र.8. क्या फलन f(x) = x², x = 0 पर संतत है? जाँच कीजिए।

Q.8. Is the function f(x) = x² continuous at x = 0? Check.

अथवा / OR

x के सापेक्ष log(sin x) का अवकलन कीजिए।

Differentiate log(sin x) with respect to x.

उत्तर:
LHL = lim(x→0) x² = 0, RHL = 0, f(0) = 0.
LHL = RHL = f(0), अतः फलन x=0 पर संतत है।

Answer:
LHL = lim(x→0) x² = 0, RHL = 0, f(0) = 0.
LHL = RHL = f(0), hence the function is continuous at x=0.

उत्तर:
d/dx [log(sin x)] = (1/sin x) · d/dx(sin x)
= (1/sin x) · cos x = cot x

Answer:
d/dx [log(sin x)] = (1/sin x) · d/dx(sin x)
= (1/sin x) · cos x = cot x

प्र.9. एक घन का आयतन 8 cm³/s की दर से बढ़ रहा है। पृष्ठ क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है जब किनारे की लंबाई 12 cm है?

Q.9. The volume of a cube is increasing at a rate of 8 cm³/s. How fast is the surface area increasing when the length of an edge is 12 cm?

अथवा / OR

वृत्त के क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर त्रिज्या r=3 cm पर ज्ञात कीजिए।

Find the rate of change of the area of a circle with respect to its radius r when r = 3 cm.

उत्तर:
dV/dt = 8. V = x³. dV/dt = 3x²(dx/dt) ⇒ 8 = 3(144)(dx/dt) ⇒ dx/dt = 8/432 = 1/54.
S = 6x². dS/dt = 12x(dx/dt) = 12(12)(1/54) = 144/54 = 8/3 cm²/s.

Answer:
dV/dt = 8. V = x³. dV/dt = 3x²(dx/dt) ⇒ 8 = 3(144)(dx/dt) ⇒ dx/dt = 8/432 = 1/54.
S = 6x². dS/dt = 12x(dx/dt) = 12(12)(1/54) = 144/54 = 8/3 cm²/s.

उत्तर:
A = πr² ⇒ dA/dr = 2πr = 2π(3) = 6π cm²/cm.

Answer:
A = πr² ⇒ dA/dr = 2πr = 2π(3) = 6π cm²/cm.

प्र.10. मान ज्ञात कीजिए: ∫ (sin x + cos x) dx

Q.10. Evaluate: ∫ (sin x + cos x) dx

अथवा / OR

मान ज्ञात कीजिए: ∫₀¹ dx / (1 + x²)

Evaluate: ∫₀¹ dx / (1 + x²)

उत्तर:
= -cos x + sin x + C

Answer:
= -cos x + sin x + C

उत्तर:
[tan^-1x]₀¹ = tan^-1(1) - tan^-1(0)
= π/4 - 0 = π/4

Answer:
[tan^-1x]₀¹ = tan^-1(1) - tan^-1(0)
= π/4 - 0 = π/4

प्र.11. सदिश â = î + ĵ + 2k̂ का परिमाण ज्ञात कीजिए।

Q.11. Find the magnitude of vector â = î + ĵ + 2k̂.

अथवा / OR

बिंदुओं P(2, 3, 4) और Q(4, 1, -2) को मिलाने वाले सदिश को ज्ञात कीजिए।

Find the vector joining the points P(2, 3, 4) and Q(4, 1, -2).

उत्तर:
|â| = √(1² + 1² + 2²) = √(1+1+4) = √6

Answer:
|â| = √(1² + 1² + 2²) = √(1+1+4) = √6

उत्तर:
PQ⃗ = (4-2)î + (1-3)ĵ + (-2-4)k̂ = 2î - 2ĵ - 6k̂

Answer:
PQ⃗ = (4-2)î + (1-3)ĵ + (-2-4)k̂ = 2î - 2ĵ - 6k̂

प्र.12. उस रेखा के दिक्-कोसाइन ज्ञात कीजिए जो अक्षों से समान कोण बनाती है।

Q.12. Find the direction cosines of a line which makes equal angles with the coordinate axes.

अथवा / OR

समतल 2x + 3y - z = 5 के अभिलंब के दिक्-अनुपात लिखिए।

Write the direction ratios of the normal to the plane 2x + 3y - z = 5.

उत्तर:
l = m = n. l² + m² + n² = 1 ⇒ 3l² = 1 ⇒ l = ±1/√3.
दिक्-कोसाइन: (±1/√3, ±1/√3, ±1/√3)

Answer:
l = m = n. l² + m² + n² = 1 ⇒ 3l² = 1 ⇒ l = ±1/√3.
Direction cosines: (±1/√3, ±1/√3, ±1/√3)

उत्तर:
समीकरण ax + by + cz = d से तुलना करने पर,
दिक्-अनुपात = (2, 3, -1)

Answer:
Comparing with equation ax + by + cz = d,
Direction ratios = (2, 3, -1)

प्र.13. यदि P(A) = 0.8, P(B) = 0.5 और P(B|A) = 0.4 हो, तो P(A ∩ B) ज्ञात कीजिए।

Q.13. If P(A) = 0.8, P(B) = 0.5 and P(B|A) = 0.4, find P(A ∩ B).

अथवा / OR

एक थैले में 4 लाल और 4 काली गेंदें हैं। यादृच्छया एक गेंद निकालने पर उसके लाल होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

A bag contains 4 red and 4 black balls. A ball is drawn at random. Find the probability that it is red.

उत्तर:
P(A ∩ B) = P(B|A) × P(A) = 0.4 × 0.8 = 0.32

Answer:
P(A ∩ B) = P(B|A) × P(A) = 0.4 × 0.8 = 0.32

उत्तर:
कुल गेंदें = 8, लाल = 4.
प्रायिकता = 4/8 = 1/2.

Answer:
Total balls = 8, Red = 4.
Probability = 4/8 = 1/2.

प्र.14. अवकल समीकरण dy/dx = (1 - cos x)/(1 + cos x) को हल कीजिए।

Q.14. Solve the differential equation dy/dx = (1 - cos x)/(1 + cos x).

अथवा / OR

अवकल समीकरण की कोटि और घात बताइए: (d²y/dx²)³ + (dy/dx)² + sin(dy/dx) + 1 = 0

State the order and degree of the differential equation: (d²y/dx²)³ + (dy/dx)² + sin(dy/dx) + 1 = 0.

उत्तर:
dy/dx = (2sin²x/2) / (2cos²x/2) = tan²(x/2) = sec²(x/2) - 1
समाकलन करने पर: y = ∫(sec²(x/2) - 1) dx = 2tan(x/2) - x + C

Answer:
dy/dx = (2sin²x/2) / (2cos²x/2) = tan²(x/2) = sec²(x/2) - 1
Integrating both sides: y = ∫(sec²(x/2) - 1) dx = 2tan(x/2) - x + C

उत्तर:
कोटि (Order) = 2 (उच्चतम अवकलज)।
घात (Degree) = परिभाषित नहीं (क्योंकि sin(dy/dx) के कारण यह अवकलजों में बहुपद नहीं है)।

Answer:
Order = 2 (highest derivative).
Degree = Not defined (because it is not a polynomial equation in its derivatives due to sin(dy/dx)).

प्र.15. जांच कीजिए कि क्या समुच्चय {1, 2, 3} में R = {(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,3)} स्वतुल्य है?

Q.15. Check whether the relation R = {(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,3)} in set {1, 2, 3} is reflexive?

अथवा / OR

फलन f(x) = 2x द्वारा प्रदत्त f: N → N एकैकी (One-one) है या नहीं?

Is the function f: N → N given by f(x) = 2x one-one or not?

उत्तर:
हाँ, स्वतुल्य है क्योंकि प्रत्येक a ∈ {1,2,3} के लिए (a,a) ∈ R है [(1,1), (2,2), और (3,3) सभी R में उपस्थित हैं]।

Answer:
Yes, it is reflexive because for every a ∈ {1,2,3}, (a,a) ∈ R [(1,1), (2,2), and (3,3) are present in R].

उत्तर:
हाँ, एकैकी है। यदि f(x₁) = f(x₂) ⇒ 2x₁ = 2x₂ ⇒ x₁ = x₂.

Answer:
Yes, it is one-one. If f(x₁) = f(x₂) ⇒ 2x₁ = 2x₂ ⇒ x₁ = x₂.

खण्ड स: लघु उत्तरीय प्रश्न (3 अंक)

Section C: Short Answer Type Questions (3 Marks)

प्र.16. दीर्घवृत्त x²/16 + y²/9 = 1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Q.16. Find the area of the region bounded by the ellipse x²/16 + y²/9 = 1.

अथवा / OR

वक्र y = x² एवं रेखा y = 4 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Find the area of the region bounded by the curve y = x² and the line y = 4.

उत्तर:

दीर्घवृत्त का मानक समीकरण x²/a² + y²/b² = 1 है। यहाँ a=4, b=3 है।

क्षेत्रफल = 4 × ∫₀^a y dx = 4 ∫₀⁴ (b/a)√(a²-x²) dx

= 4(3/4) ∫₀⁴ √(16-x²) dx = 3 [x/2 √(16-x²) + 16/2 sin^-1(x/4)]₀⁴

= 3 [0 + 8 sin^-1(1) - 0] = 3 × 8 × (π/2) = 12π वर्ग इकाई।

Answer:

Standard equation of ellipse is x²/a² + y²/b² = 1. Here a=4, b=3.

Area = 4 × ∫₀^a y dx = 4 ∫₀⁴ (b/a)√(a²-x²) dx

= 4(3/4) ∫₀⁴ √(16-x²) dx = 3 [x/2 √(16-x²) + 16/2 sin^-1(x/4)]₀⁴

= 3 [0 + 8 sin^-1(1) - 0] = 3 × 8 × (π/2) = 12π sq. units.

उत्तर:

वक्र y = x² (परवलय) y-अक्ष के सममित है। अभीष्ट क्षेत्रफल = 2 × ∫₀⁴ x dy

x = √y, अतः क्षेत्रफल = 2 ∫₀⁴ y^1/2 dy

= 2 [ (2/3) y^3/2 ]₀⁴ = (4/3) [4^3/2 - 0]

= (4/3) × 8 = 32/3 वर्ग इकाई।

Answer:

The curve y = x² (parabola) is symmetrical about the y-axis. Required area = 2 × ∫₀⁴ x dy

x = √y, thus area = 2 ∫₀⁴ y^1/2 dy

= 2 [ (2/3) y^3/2 ]₀⁴ = (4/3) [4^3/2 - 0]

= (4/3) × 8 = 32/3 sq. units.

प्र.17. आलेखीय विधि से निम्न रैखिक प्रोग्रामन समस्या को हल कीजिए:
अधिकतम Z = 3x + 4y
व्यवरोध: x + y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0.

Q.17. Solve the following linear programming problem graphically:
Maximize Z = 3x + 4y
Subject to constraints: x + y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0.

अथवा / OR

न्यूनतम Z = 200x + 500y
व्यवरोध: x + 2y ≥ 10, 3x + 4y ≤ 24, x ≥ 0, y ≥ 0.

Minimize Z = 200x + 500y
Subject to constraints: x + 2y ≥ 10, 3x + 4y ≤ 24, x ≥ 0, y ≥ 0.

उत्तर:

1. रेखा x + y = 4 खींचें जो (4,0) और (0,4) से गुजरती है।

2. सुसंगत क्षेत्र मूल बिंदु सहित त्रिभुज OAB है जहाँ O(0,0), A(4,0), B(0,4)।

3. कोणीय बिंदुओं पर Z का मान:

• Z(0,0) = 0
• Z(4,0) = 3(4) + 0 = 12
• Z(0,4) = 0 + 4(4) = 16

अतः अधिकतम मान Z = 16 बिंदु (0,4) पर है।

Answer:

1. Draw the line x + y = 4 passing through (4,0) and (0,4).

2. The feasible region is the triangle OAB including the origin, where O(0,0), A(4,0), B(0,4).

3. Value of Z at corner points:

• Z(0,0) = 0
• Z(4,0) = 3(4) + 0 = 12
• Z(0,4) = 0 + 4(4) = 16

Hence, the maximum value is Z = 16 at point (0,4).

उत्तर:

सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु (0,5), (4,3), और (0,6) होंगे।

• Z(0,5) = 200(0) + 500(5) = 2500
• Z(4,3) = 200(4) + 500(3) = 800 + 1500 = 2300
• Z(0,6) = 200(0) + 500(6) = 3000

अतः न्यूनतम मान Z = 2300 बिंदु (4,3) पर है।

Answer:

The corner points of the feasible region will be (0,5), (4,3), and (0,6).

• Z(0,5) = 200(0) + 500(5) = 2500
• Z(4,3) = 200(4) + 500(3) = 800 + 1500 = 2300
• Z(0,6) = 200(0) + 500(6) = 3000

Hence, the minimum value is Z = 2300 at point (4,3).

प्र.18. एक पासे को तीन बार फेंका जाता है, तो कम से कम एक बार विषम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

Q.18. A die is thrown three times. Find the probability of getting an odd number at least once.

अथवा / OR

दो पासे एक साथ फेंके जाते हैं। यदि यह ज्ञात है कि पासों पर आए अंकों का योग 8 है, तो कम से कम एक पासे पर 4 आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। (सप्रतिबंध प्रायिकता)

Two dice are thrown simultaneously. If it is known that the sum of the numbers on the dice is 8, find the probability that the number 4 appears on at least one die. (Conditional Probability)

उत्तर:

एक बार फेंकने पर विषम संख्या आने की प्रायिकता P(Odd) = 3/6 = 1/2। सम की प्रायिकता = 1/2।

P(कम से कम एक विषम) = 1 - P(तीनों बार सम)

= 1 - (1/2 × 1/2 × 1/2) = 1 - 1/8 = 7/8.

Answer:

Probability of getting an odd number in a single throw P(Odd) = 3/6 = 1/2. P(Even) = 1/2.

P(at least one odd) = 1 - P(all three are even)

= 1 - (1/2 × 1/2 × 1/2) = 1 - 1/8 = 7/8.

उत्तर:

माना E: कम से कम एक पर 4 आना = {(4,1)...(4,6), (1,4)...(6,4)} (11 परिणाम)।

F: योग 8 है = {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)} (5 परिणाम)।

E ∩ F = {(4,4)} (1 परिणाम)।

P(E|F) = P(E ∩ F) / P(F) = (1/36) / (5/36) = 1/5.

Answer:

Let E: 4 appears on at least one die = {(4,1)...(4,6), (1,4)...(6,4)} (11 outcomes).

F: Sum is 8 = {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)} (5 outcomes).

E ∩ F = {(4,4)} (1 outcome).

P(E|F) = P(E ∩ F) / P(F) = (1/36) / (5/36) = 1/5.

प्र.19. सदिशों î + ĵ - k̂ और î - ĵ + k̂ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

Q.19. Find the angle between the vectors î + ĵ - k̂ and î - ĵ + k̂.

अथवा / OR

उस समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी संलग्न भुजाएं सदिश â = 3î + ĵ + 4k̂ और b̄ = î - ĵ + k̂ द्वारा दी गई हैं।

Find the area of a parallelogram whose adjacent sides are given by the vectors â = 3î + ĵ + 4k̂ and b̄ = î - ĵ + k̂.

उत्तर:

â = (1, 1, -1), b̄ = (1, -1, 1).

cos θ = (â · b̄) / (|â| |b̄|)

â · b̄ = 1(1) + 1(-1) + (-1)(1) = 1 - 1 - 1 = -1.

|â| = √3, |b̄| = √3.

cos θ = -1 / (√3)(√3) = -1/3.

θ = cos^-1(-1/3).

Answer:

â = (1, 1, -1), b̄ = (1, -1, 1).

cos θ = (â · b̄) / (|â| |b̄|)

â · b̄ = 1(1) + 1(-1) + (-1)(1) = 1 - 1 - 1 = -1.

|â| = √3, |b̄| = √3.

cos θ = -1 / (√3)(√3) = -1/3.

θ = cos^-1(-1/3).

उत्तर:

क्षेत्रफल = |â × b̄|.

â × b̄ =
| i   j   k |
| 3   1   4 |
| 1 -1   1 |

= î(1 - (-4)) - ĵ(3 - 4) + k̂(-3 - 1) = 5î + ĵ - 4k̂.

क्षेत्रफल = √(25 + 1 + 16) = √42 वर्ग इकाई।

Answer:

Area = |â × b̄|.

â × b̄ =
| i   j   k |
| 3   1   4 |
| 1 -1   1 |

= î(1 - (-4)) - ĵ(3 - 4) + k̂(-3 - 1) = 5î + ĵ - 4k̂.

Area = √(25 + 1 + 16) = √42 sq. units.

खण्ड द: दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (4 अंक)

Section D: Long Answer Type Questions (4 Marks)

प्र.20. सिद्ध कीजिए कि f: R → R, f(x) = 3x द्वारा परिभाषित फलन एकैकी आच्छादक (Bijective) है।

Q.20. Prove that the function f: R → R, defined by f(x) = 3x, is bijective.

अथवा / OR

यदि f(x) = (4x + 3)/(6x - 4), x ≠ 2/3, तो सिद्ध कीजिए कि सभी x ≠ 2/3 के लिए fof(x) = x है। f का प्रतिलोम भी ज्ञात कीजिए।

If f(x) = (4x + 3)/(6x - 4), x ≠ 2/3, prove that fof(x) = x for all x ≠ 2/3. Also, find the inverse of f.

उत्तर (एकैकी आच्छादक):

एकैकी (One-one): माना f(x₁) = f(x₂).
⇒ 3x₁ = 3x₂ ⇒ x₁ = x₂.
अतः f एकैकी है।

आच्छादक (Onto): माना y ∈ R (सहप्रांत)।
y = 3x ⇒ x = y/3.
चूंकि y वास्तविक है, तो x = y/3 भी वास्तविक होगा और प्रांत R में होगा।
अतः f(x) = f(y/3) = 3(y/3) = y.
अतः f आच्छादक है।

अतः f एकैकी आच्छादक है।

Answer (Bijective):

One-one: Let f(x₁) = f(x₂).
⇒ 3x₁ = 3x₂ ⇒ x₁ = x₂.
Hence, f is one-one.

Onto: Let y ∈ R (codomain).
y = 3x ⇒ x = y/3.
Since y is real, x = y/3 will also be real and in domain R.
Thus, f(x) = f(y/3) = 3(y/3) = y.
Hence, f is onto.

Therefore, f is a bijective function.

उत्तर:

fof(x) = f(f(x)) = f((4x + 3)/(6x - 4))

= [4((4x + 3)/(6x - 4)) + 3] / [6((4x + 3)/(6x - 4)) - 4]

= [16x + 12 + 18x - 12] / [24x + 18 - 24x + 16]

= 34x / 34 = x.

चूँकि fof(x) = x है, इसका अर्थ है कि f स्वयं का प्रतिलोम है। अतः f^-1(x) = f(x) = (4x + 3)/(6x - 4).

Answer:

fof(x) = f(f(x)) = f((4x + 3)/(6x - 4))

= [4((4x + 3)/(6x - 4)) + 3] / [6((4x + 3)/(6x - 4)) - 4]

= [16x + 12 + 18x - 12] / [24x + 18 - 24x + 16]

= 34x / 34 = x.

Since fof(x) = x, it implies that f is the inverse of itself. Hence, f^-1(x) = f(x) = (4x + 3)/(6x - 4).

प्र.21. x के सापेक्ष अवकलन कीजिए: (log x)^{cos x}

Q.21. Differentiate with respect to x: (log x)^{cos x}

अथवा / OR

यदि x = a(θ + sin θ) और y = a(1 - cos θ) है, तो dy/dx ज्ञात कीजिए।

If x = a(θ + sin θ) and y = a(1 - cos θ), find dy/dx.

उत्तर:

माना y = (log x)^{cos x}. दोनों ओर log लेने पर:

log y = cos x · log(log x)

x के सापेक्ष अवकलन:

(1/y)(dy/dx) = cos x · d/dx(log(log x)) + log(log x) · d/dx(cos x)

= cos x · (1/log x) · (1/x) + log(log x) · (-sin x)

dy/dx = y [ (cos x / x log x) - sin x log(log x) ]

dy/dx = (log x)^{cos x} [ (cos x / x log x) - sin x log(log x) ]

Answer:

Let y = (log x)^{cos x}. Taking log on both sides:

log y = cos x · log(log x)

Differentiating w.r.t x:

(1/y)(dy/dx) = cos x · d/dx(log(log x)) + log(log x) · d/dx(cos x)

= cos x · (1/log x) · (1/x) + log(log x) · (-sin x)

dy/dx = y [ (cos x / x log x) - sin x log(log x) ]

dy/dx = (log x)^{cos x} [ (cos x / x log x) - sin x log(log x) ]

उत्तर:

dx/dθ = a(1 + cos θ), dy/dθ = a(0 - (-sin θ)) = a sin θ.

dy/dx = (dy/dθ) / (dx/dθ) = (a sin θ) / a(1 + cos θ)

= (2sin θ/2 cos θ/2) / (2cos² θ/2)

= tan(θ/2).

Answer:

dx/dθ = a(1 + cos θ), dy/dθ = a(0 - (-sin θ)) = a sin θ.

dy/dx = (dy/dθ) / (dx/dθ) = (a sin θ) / a(1 + cos θ)

= (2sin θ/2 cos θ/2) / (2cos² θ/2)

= tan(θ/2).

प्र.22. समाकलन कीजिए: ∫ dx / (x² - 6x + 13)

Q.22. Evaluate: ∫ dx / (x² - 6x + 13)

अथवा / OR

निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए: ∫₀^π/2 (sin⁴x / (sin⁴x + cos⁴x)) dx

Find the value of the definite integral: ∫₀^π/2 (sin⁴x / (sin⁴x + cos⁴x)) dx

उत्तर:

हर को पूर्ण वर्ग बनाने पर: x² - 6x + 9 + 4 = (x-3)² + 2².

∫ dx / [(x-3)² + 2²]

सूत्र ∫ dx/(x²+a²) = (1/a) tan^-1(x/a) का प्रयोग करने पर:

= (1/2) tan^-1((x-3)/2) + C.

Answer:

Completing the square in the denominator: x² - 6x + 9 + 4 = (x-3)² + 2².

∫ dx / [(x-3)² + 2²]

Using formula ∫ dx/(x²+a²) = (1/a) tan^-1(x/a):

= (1/2) tan^-1((x-3)/2) + C.

उत्तर:

माना I = ∫₀^π/2 (sin⁴x / (sin⁴x + cos⁴x)) dx ... (1)

गुणधर्म ∫₀^a f(x) dx = ∫₀^a f(a-x) dx से:

I = ∫₀^π/2 (cos⁴x / (cos⁴x + sin⁴x)) dx ... (2)

(1) और (2) को जोड़ने पर:

2I = ∫₀^π/2 1 dx = [x]₀^π/2 = π/2

I = π/4.

Answer:

Let I = ∫₀^π/2 (sin⁴x / (sin⁴x + cos⁴x)) dx ... (1)

Using property ∫₀^a f(x) dx = ∫₀^a f(a-x) dx:

I = ∫₀^π/2 (cos⁴x / (cos⁴x + sin⁴x)) dx ... (2)

Adding (1) and (2):

2I = ∫₀^π/2 1 dx = [x]₀^π/2 = π/2

I = π/4.

प्र.23. रेखाओं r̄ = (î + 2ĵ + k̂) + λ(î - ĵ + k̂) और r̄ = (2î - ĵ - k̂) + μ(2î + ĵ + 2k̂) के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।

Q.23. Find the shortest distance between the lines r̄ = (î + 2ĵ + k̂) + λ(î - ĵ + k̂) and r̄ = (2î - ĵ - k̂) + μ(2î + ĵ + 2k̂).

अथवा / OR

समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदुओं (1, 1, 0), (1, 2, 1) और (-2, 2, -1) से गुजरता है।

Find the equation of the plane passing through the points (1, 1, 0), (1, 2, 1) and (-2, 2, -1).

उत्तर (न्यूनतम दूरी):

a₁ = (1, 2, 1), b₁ = (1, -1, 1)
a₂ = (2, -1, -1), b₂ = (2, 1, 2)

a₂ - a₁ = (1, -3, -2)

b₁ × b₂ =
| i   j   k |
| 1 -1   1 |
| 2   1   2 |
= î(-2-1) - ĵ(2-2) + k̂(1+2) = -3î + 0ĵ + 3k̂.

|b₁ × b₂| = √((-3)² + 3²) = √18 = 3√2.

d = |(a₂ - a₁) · (b₁ × b₂)| / |b₁ × b₂|
= |1(-3) + (-3)(0) + (-2)(3)| / 3√2
= |-3 - 6| / 3√2 = 9 / 3√2 = 3/√2 = 3√2/2 इकाई।

Answer (Shortest Distance):

a₁ = (1, 2, 1), b₁ = (1, -1, 1)
a₂ = (2, -1, -1), b₂ = (2, 1, 2)

a₂ - a₁ = (1, -3, -2)

b₁ × b₂ =
| i   j   k |
| 1 -1   1 |
| 2   1   2 |
= î(-2-1) - ĵ(2-2) + k̂(1+2) = -3î + 0ĵ + 3k̂.

|b₁ × b₂| = √((-3)² + 3²) = √18 = 3√2.

d = |(a₂ - a₁) · (b₁ × b₂)| / |b₁ × b₂|
= |1(-3) + (-3)(0) + (-2)(3)| / 3√2
= |-3 - 6| / 3√2 = 9 / 3√2 = 3/√2 = 3√2/2 units.

उत्तर (समतल का समीकरण):

बिंदुओं A(1,1,0), B(1,2,1), C(-2,2,-1) से होकर जाने वाले समतल का समीकरण:
| x-x₁   y-y₁   z-z₁ |
| x₂-x₁   y₂-y₁   z₂-z₁ | = 0
| x₃-x₁   y₃-y₁   z₃-z₁ |

| x-1   y-1   z-0 |
| 0     1     1 | = 0
| -3   1   -1 |

(x-1)(-1-1) - (y-1)(0 - (-3)) + z(0 - (-3)) = 0

-2(x-1) - 3(y-1) + 3z = 0

-2x + 2 - 3y + 3 + 3z = 0

2x + 3y - 3z = 5.

Answer (Equation of plane):

Equation of plane passing through A(1,1,0), B(1,2,1), C(-2,2,-1):
| x-x₁   y-y₁   z-z₁ |
| x₂-x₁   y₂-y₁   z₂-z₁ | = 0
| x₃-x₁   y₃-y₁   z₃-z₁ |

| x-1   y-1   z-0 |
| 0     1     1 | = 0
| -3   1   -1 |

(x-1)(-1-1) - (y-1)(0 - (-3)) + z(0 - (-3)) = 0

-2(x-1) - 3(y-1) + 3z = 0

-2x + 2 - 3y + 3 + 3z = 0

2x + 3y - 3z = 5.

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