कक्षा 12वीं गणित मॉडल पेपर सेट B 2026 | MP Board Maths Practice Paper (हिन्दी एवं अंग्रेजी माध्यम)

कक्षा 12वीं गणित मॉडल पेपर सेट B 2026 | MP Board Maths Practice Paper (हिन्दी एवं अंग्रेजी माध्यम)

माध्यमिक शिक्षा मण्डल, भोपाल द्वारा आयोजित कक्षा 12वीं बोर्ड परीक्षा 2026 की तैयारी कर रहे विद्यार्थियों के लिए गणित (Mathematics) मॉडल पेपर सेट B अत्यंत उपयोगी है।

यह प्रश्नपत्र नवीनतम परीक्षा पैटर्न और ब्लूप्रिंट को ध्यान में रखकर तैयार किया गया है, जिससे विद्यार्थी अपनी तैयारी का सही आकलन कर सकें।

मॉडल पेपर सेट B क्यों महत्वपूर्ण है?

✅ अलग प्रश्न संयोजन (Different Question Pattern)

✅ परीक्षा स्तर के अनुरूप कठिनाई

✅ अधिक अभ्यास के लिए नया सेट

✅ समय प्रबंधन सुधारने में सहायक

✅ स्व-मूल्यांकन के लिए उपयुक्त

सेट B हल करने से विद्यार्थियों को प्रश्नों की विविधता समझने में मदद मिलती है।

प्रश्न पत्र की संरचना

खंड A – वस्तुनिष्ठ प्रश्न (MCQ)

खंड B – अति लघु उत्तरीय प्रश्न

खंड C – लघु उत्तरीय प्रश्न

खंड D – दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

⏱️ समय: 3 घंटे

📈 पूर्णांक: 80 अंक

📌 सेट B में कुछ प्रश्न अवधारणात्मक (Concept Based) भी हो सकते हैं, इसलिए केवल रटने की बजाय समझकर तैयारी करें।

माध्यम (Medium):

कक्षा 12वीं - गणित Class 12th - Mathematics

(मॉडल पेपर 2025-26 सेट-B) (Model Paper 2025-26 Set-B)

Created by: D Septa | पूर्णांक: 80 | समय: 3 घंटे Created by: D Septa | Max Marks: 80 | Time: 3 Hours

खण्ड अ: वस्तुनिष्ठ प्रश्न (32 अंक)

Section A: Objective Type Questions (32 Marks)

प्र.1. सही विकल्प चुनकर लिखिए: (1×6 = 6 अंक)

Q.1. Choose the correct option: (1×6 = 6 Marks)

(i) यदि f: R → R, f(x) = 3x द्वारा परिभाषित है, तो f है:

(i) If f: R → R is defined by f(x) = 3x, then f is:

(अ) एकैकी आच्छादक / (a) One-one onto (ब) बहुएक आच्छादक / (b) Many-one onto (स) एकैकी लेकिन आच्छादक नहीं / (c) One-one but not onto (द) न तो एकैकी और न ही आच्छादक / (d) Neither one-one nor onto

👉 (अ) एकैकी आच्छादक

विवरण: f(x₁) = f(x₂) ⇒ 3x₁ = 3x₂ ⇒ x₁ = x₂ (एकैकी)। प्रत्येक y ∈ R के लिए x = y/3 ∈ R (आच्छादक)।

👉 (a) One-one onto

Description: f(x₁) = f(x₂) ⇒ x₁ = x₂ (One-one). For every y ∈ R, x = y/3 ∈ R (Onto).

---

(ii) cos^-1(cos 7π/6) का मान है:

(ii) The value of cos^-1(cos 7π/6) is:

(अ) 7π/6 / (a) 7π/6 (ब) 5π/6 / (b) 5π/6 (स) π/3 / (c) π/3 (द) π/6 / (d) π/6

👉 (ब) 5π/6

हल: cos 7π/6 = cos(2π - 5π/6) = cos 5π/6. सीमा [0, π] में है।

👉 (b) 5π/6

Solution: cos 7π/6 = cos(2π - 5π/6) = cos 5π/6. It is in the range [0, π].

---

(iii) यदि A और B समान कोटि के सममित आव्यूह हैं, तो AB - BA एक:

(iii) If A and B are symmetric matrices of same order, then AB - BA is a:

(अ) विषम सममित आव्यूह / (a) Skew-symmetric matrix (ब) सममित आव्यूह / (b) Symmetric matrix (स) शून्य आव्यूह / (c) Zero matrix (द) तत्समक आव्यूह / (d) Identity matrix

👉 (अ) विषम सममित आव्यूह

हल: (AB - BA)' = (AB)' - (BA)' = B'A' - A'B' = BA - AB = -(AB - BA).

👉 (a) Skew-symmetric matrix

Solution: (AB - BA)' = (AB)' - (BA)' = B'A' - A'B' = BA - AB = -(AB - BA).

---

(iv) x के सापेक्ष e^x3 का अवकलज है:

(iv) Derivative of e^x3 with respect to x is:

(अ) 3x²e^x3 / (a) 3x²e^x3 (ब) 3xe^x3 / (b) 3xe^x3 (स) 3x²e^x / (c) 3x²e^x (द) 3x²e^x2 / (d) 3x²e^x2

👉 (अ) 3x²e^x3

हल: d/dx(e^x3) = e^x3 \cdot d/dx(x³) = 3x²e^x3

👉 (a) 3x²e^x3

Solution: d/dx(e^x3) = e^x3 \cdot d/dx(x³) = 3x²e^x3

---

(v) ∫ e^x sec x (1 + tan x) dx का मान है:

(v) The value of ∫ e^x sec x (1 + tan x) dx is:

(अ) e^x cos x + C / (a) e^x cos x + C (ब) e^x sec x + C / (b) e^x sec x + C (स) e^x sin x + C / (c) e^x sin x + C (द) e^x tan x + C / (d) e^x tan x + C

👉 (ब) e^x sec x + C

हल: ∫ e^x (sec x + sec x tan x) dx. यहाँ f(x) = sec x और f'(x) = sec x tan x है।

👉 (b) e^x sec x + C

Solution: ∫ e^x (sec x + sec x tan x) dx. Here f(x) = sec x and f'(x) = sec x tan x.

---

(vi) अवकल समीकरण dy/dx + y = e^-x का समाकलन गुणक (I.F.) है:

(vi) Integrating Factor (I.F.) of differential equation dy/dx + y = e^-x is:

(अ) e^x / (a) e^x (ब) e^-x / (b) e^-x (स) x / (c) x (द) -x / (d) -x

👉 (अ) e^x

हल: P = 1. I.F. = e^{∫P dx} = e^{∫1 dx} = e^x.

👉 (a) e^x

Solution: P = 1. I.F. = e^{∫P dx} = e^{∫1 dx} = e^x.

प्र.2. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए: (1×6 = 6 अंक)

Q.2. Fill in the blanks: (1×6 = 6 Marks)

(i) यदि f: R → R, f(x) = cos x और g: R → R, g(x) = x² हो, तो fog(x) = ________.

(i) If f: R → R, f(x) = cos x and g: R → R, g(x) = x², then fog(x) = ________.

cos(x²)

cos(x²)

---

(ii) tan^-1x + cot^-1x = ________.

(ii) tan^-1x + cot^-1x = ________.

π/2

π/2

---

(iii) यदि y = sin(log x), तो dy/dx = ________.

(iii) If y = sin(log x), then dy/dx = ________.

cos(log x) / x

cos(log x) / x

---

(iv) ∫ dx / (x² + a²) = ________.

(iv) ∫ dx / (x² + a²) = ________.

(1/a) tan^-1(x/a) + C

(1/a) tan^-1(x/a) + C

---

(v) सदिश a = i + j - k और b = i - j + k के बीच का कोण ________ है।

(v) The angle between vectors a = i + j - k and b = i - j + k is ________.

cos^-1(-1/3)

cos θ = (aċb) / (|a||b|) = (1-1-1)/(√3√3) = -1/3.

cos^-1(-1/3)

cos θ = (aċb) / (|a||b|) = (1-1-1)/(√3√3) = -1/3.

---

(vi) दो घटनाओं E और F को स्वतंत्र कहते हैं यदि P(E ∩ F) = ________.

(vi) Two events E and F are said to be independent if P(E ∩ F) = ________.

P(E) \times P(F)

P(E) \times P(F)

प्र.3. सत्य/असत्य लिखिए: (1×6 = 6 अंक)

Q.3. State True or False: (1×6 = 6 Marks)

(i) प्रत्येक सतत फलन अवकलनीय होता है।

(i) Every continuous function is differentiable.

असत्य (उदाहरण: |x|, x=0 पर)

False (Example: |x| at x=0)

---

(ii) सारणिक एक वर्ग आव्यूह से संबद्ध संख्या है।

(ii) Determinant is a number associated with a square matrix.

सत्य

True

---

(iii) ∫ f(x) dx = ∫ f(t) dt (निश्चित समाकलन में)।

(iii) ∫ f(x) dx = ∫ f(t) dt (in definite integral).

सत्य (चर परिवर्तन से मान नहीं बदलता)

True (Value doesn't change with change of variable)

---

(iv) a × b = b × a.

(iv) a × b = b × a.

असत्य (a × b = -(b × a) होता है)

False (a × b = -(b × a))

---

(v) यदि रेखा की दिक्-कोसाइन l, m, n हैं, तो l² + m² + n² = 0.

(v) If l, m, n are direction cosines, then l² + m² + n² = 0.

असत्य (योग 1 होता है)

False (Sum is 1)

---

(vi) किसी घटना की प्रायिकता 1 से अधिक नहीं हो सकती।

(vi) Probability of an event cannot exceed 1.

सत्य

True

प्र.4. सही जोड़ी बनाइए: (1×7 = 7 अंक)

Q.4. Match the following: (1×7 = 7 Marks)

(i) ∫ tan x dx       -> (क) e^x + C
(ii) ∫ cot x dx       -> (ख) 2√x + C
(iii) ∫ 1/x dx         -> (ग) xⁿ⁺¹/(n+1) + C
(iv) ∫ e^x dx         -> (घ) log|sin x| + C
(v) ∫ xⁿ dx         -> (ङ) log|x| + C
(vi) ∫ 1/√x dx        -> (च) 1
(vii) P(E) + P(E')     -> (छ) log|sec x| + C

Correct Match:
(i) → (छ) log|sec x| + C
(ii) → (घ) log|sin x| + C
(iii) → (ङ) log|x| + C
(iv) → (क) e^x + C
(v) → (ग) xⁿ⁺¹/(n+1) + C
(vi) → (ख) 2√x + C
(vii) → (च) 1

प्र.5. एक शब्द/वाक्य में उत्तर दीजिए: (1×7 = 7 अंक)

Q.5. Answer in one word/sentence: (1×7 = 7 Marks)

(i) यदि x + y = 10 और x - y = 4 हो, तो x का मान क्या होगा?

(i) If x + y = 10 and x - y = 4, find the value of x.

7

---

(ii) अवकल समीकरण y = x(dy/dx) + a √(1+(dy/dx)²) की घात क्या है?

(ii) What is the degree of the differential equation y = x(dy/dx) + a √(1+(dy/dx)²)?

2

वर्ग करने पर: (y - x y')² = a²(1 + (y')²). यहाँ (y')² की उच्चतम घात 2 है।

2

Squaring: (y - x y')² = a²(1 + (y')²). Highest power of derivative is 2.

---

(iii) |3a| का मान क्या होगा, यदि |a| = 2?

(iii) What is the value of |3a| if |a| = 2?

6

---

(iv) y = log x का द्वितीय अवकलज (d²y/dx²) ज्ञात कीजिए।

(iv) Find the second order derivative of y = log x.

-1/x²

-1/x²

---

(v) दो पासों को फेंकने पर योग 7 आने की प्रायिकता क्या है?

(v) What is the probability of getting a sum of 7 when two dice are thrown?

1/6 (अनुकूल परिणाम: 6, कुल: 36)

1/6 (Favorable outcomes: 6, Total: 36)

---

(vi) z = 3 समतल किसके समांतर है?

(vi) The plane z = 3 is parallel to which plane?

XY-समतल

XY-plane

---

(vii) यदि P(A) = 1/2, P(B) = 0, तो P(A|B) का मान क्या है?

(vii) If P(A) = 1/2, P(B) = 0, then what is the value of P(A|B)?

परिभाषित नहीं (Not defined)

Not defined

खण्ड ब: अति लघु उत्तरीय प्रश्न (2 अंक)

Section B: Very Short Answer Type Questions (2 Marks)

प्र.6. cot(tan^-1(√3)) का मान ज्ञात कीजिए।

Q.6. Evaluate cot(tan^-1(√3)).

अथवा / OR

सिद्ध कीजिए: 3sin^-1x = sin^-1(3x - 4x³), x ∈ [-1/2, 1/2].

Prove that: 3sin^-1x = sin^-1(3x - 4x³), x ∈ [-1/2, 1/2].

हल:
tan^-1(√3) = π/3
cot(π/3) = 1/√3.

Solution:
tan^-1(√3) = π/3
cot(π/3) = 1/√3.

हल:
माना x = sin θ ⇒ θ = sin^-1x
RHS = sin^-1(3sin θ - 4sin³θ)
= sin^-1(sin 3θ) = 3θ
= 3sin^-1x = LHS.

Solution:
Let x = sin θ ⇒ θ = sin^-1x
RHS = sin^-1(3sin θ - 4sin³θ)
= sin^-1(sin 3θ) = 3θ
= 3sin^-1x = LHS.

प्र.7. यदि X + Y = [5   2; 0   9] और X - Y = [3   6; 0   -1] हो, तो X ज्ञात कीजिए।

Q.7. If X + Y = [5   2; 0   9] and X - Y = [3   6; 0   -1], find X.

अथवा / OR

यदि A = [1   2; 3   4], तो 2A ज्ञात कीजिए।

If A = [1   2; 3   4], find 2A.

हल:
जोड़ने पर: 2X = [8   8; 0   8]
X = [4   4; 0   4].

Solution:
Adding: 2X = [8   8; 0   8]
X = [4   4; 0   4].

हल:
2A = [2(1)   2(2); 2(3)   2(4)] = [2   4; 6   8].

Solution:
2A = [2   4; 6   8].

प्र.8. x = 0 पर फलन f(x) = sin x / x (यदि x ≠ 0), 1 (यदि x = 0) की सांतत्यता की जाँच कीजिए।

Q.8. Check continuity of f(x) = sin x / x (if x ≠ 0), 1 (if x = 0) at x = 0.

अथवा / OR

y = sin(x² + 5) का अवकलज ज्ञात कीजिए।

Find the derivative of y = sin(x² + 5).

हल:
lim_x→0 (sin x / x) = 1
f(0) = 1
सीमा = फलन का मान, अतः फलन संतत है।

Solution:
lim_x→0 (sin x / x) = 1
f(0) = 1
Limit = Function Value, hence continuous.

हल:
dy/dx = cos(x² + 5) ċ d/dx(x² + 5)
= cos(x² + 5) ċ 2x
= 2x cos(x² + 5).

Solution:
dy/dx = 2x cos(x² + 5).

प्र.9. एक वृत्त की त्रिज्या 0.7 cm/s की दर से बढ़ रही है। इसकी परिधि की वृद्धि दर ज्ञात कीजिए।

Q.9. The radius of a circle is increasing at the rate of 0.7 cm/s. What is the rate of increase of its circumference?

अथवा / OR

वक्र y = x² - 2x + 7 की स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा 2x - y + 9 = 0 के समांतर है।

Find the equation of the tangent to the curve y = x² - 2x + 7 which is parallel to the line 2x - y + 9 = 0.

हल:
C = 2πr
dC/dt = 2π(dr/dt) = 2π(0.7) = 1.4π cm/s.

Solution:
C = 2πr
dC/dt = 2π(dr/dt) = 2π(0.7) = 1.4π cm/s.

हल (संक्षेप):
रेखा की प्रवणता m = 2. वक्र की प्रवणता dy/dx = 2x - 2.
2x - 2 = 2 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2. y = 4 - 4 + 7 = 7.
बिंदु (2, 7), ढाल 2. समीकरण: y - 7 = 2(x - 2) ⇒ y - 7 = 2x - 4 ⇒ 2x - y + 3 = 0.

Solution (Brief):
Slope m = 2. dy/dx = 2x - 2. Equating: 2x - 2 = 2 ⇒ x = 2. y = 7.
Equation: y - 7 = 2(x - 2) ⇒ 2x - y + 3 = 0.

प्र.10. मान ज्ञात कीजिए: ∫ sec x (sec x + tan x) dx

Q.10. Evaluate: ∫ sec x (sec x + tan x) dx

अथवा / OR

मान ज्ञात कीजिए: ∫₂³ x² dx

Evaluate: ∫₂³ x² dx

हल:
∫ (sec²x + sec x tan x) dx = tan x + sec x + C.

Solution:
tan x + sec x + C.

हल:
[x³/3]₂³ = (27/3) - (8/3) = 19/3.

Solution:
19/3.

प्र.11. सदिश a = i + j - 2k के दिक्-अनुपात और दिक्-कोसाइन ज्ञात कीजिए।

Q.11. Find the direction ratios and direction cosines of the vector a = i + j - 2k.

अथवा / OR

सदिश a = 2i + 3j + 2k का सदिश b = i + 2j + k पर प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।

Find the projection of vector a = 2i + 3j + 2k on vector b = i + 2j + k.

हल:
दिक्-अनुपात: 1, 1, -2.
परिमाण = √6.
दिक्-कोसाइन: 1/√6, 1/√6, -2/√6.

Solution:
DRs: 1, 1, -2. DCs: 1/√6, 1/√6, -2/√6.

हल:
प्रक्षेप = (a ċ b) / |b|
= (2+6+2) / √(1+4+1) = 10/√6.

Solution:
Projection = 10/√6.

प्र.12. रेखा (x-5)/3 = (y+4)/7 = (z-6)/2 का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।

Q.12. Find the vector equation of line (x-5)/3 = (y+4)/7 = (z-6)/2.

अथवा / OR

मूल बिंदु से समतल 2x - 3y + 4z - 6 = 0 की दूरी ज्ञात कीजिए।

Find the distance of the plane 2x - 3y + 4z - 6 = 0 from the origin.

हल:
a = 5i - 4j + 6k, b = 3i + 7j + 2k.
समीकरण: r = (5i - 4j + 6k) + λ(3i + 7j + 2k).

Solution:
Equation: r = (5i - 4j + 6k) + λ(3i + 7j + 2k).

हल:
दूरी d = |-6| / √(4+9+16) = 6/√29.

Solution:
Distance d = 6/√29.

प्र.13. यदि P(A) = 3/5, P(B) = 1/5 और A, B स्वतंत्र हैं, तो P(A ∩ B) ज्ञात कीजिए।

Q.13. If P(A) = 3/5, P(B) = 1/5 and A, B are independent, find P(A ∩ B).

अथवा / OR

एक पासे को दो बार फेंका गया। योग 9 आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

A die is thrown twice. Find probability of getting sum 9.

हल:
P(A ∩ B) = (3/5) \times (1/5) = 3/25.

Solution:
3/25.

हल:
अनुकूल परिणाम: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) = 4.
कुल परिणाम = 36. प्रायिकता = 4/36 = 1/9.

Solution:
Favorable: 4. Probability = 1/9.

प्र.14. अवकल समीकरण dy/dx = sec²x का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

Q.14. Find the general solution of dy/dx = sec²x.

अथवा / OR

समाकलन कीजिए: ∫ x e^x dx.

Integrate: ∫ x e^x dx.

हल: y = ∫ sec²x dx = tan x + C.

Solution: y = tan x + C.

हल: (खंडशः समाकलन से)
x e^x - ∫ 1 \cdot e^x dx = x e^x - e^x + C = e^x(x-1) + C.

Solution: e^x(x-1) + C.

प्र.15. रैखिक प्रोग्रामन समस्या में उद्देश्य फलन Z = 3x + 9y का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए, यदि कोणीय बिंदु (0,8), (4,10) और (6,0) हैं।

Q.15. Find minimum value of Z = 3x + 9y with corner points (0,8), (4,10), (6,0).

अथवा / OR

व्यवरोध x ≥ 0, y ≥ 0 क्या दर्शाते हैं?

What do constraints x ≥ 0, y ≥ 0 represent?

हल:
(0,8) ⇒ Z = 72
(4,10) ⇒ Z = 12 + 90 = 102
(6,0) ⇒ Z = 18
न्यूनतम मान: 18.

Solution: Minimum value: 18.

उत्तर: यह प्रथम चतुर्थांश (First Quadrant) को दर्शाता है (ऋणेत्तर प्रतिबंध)।

Answer: First Quadrant (Non-negative constraints).

खण्ड स: लघु उत्तरीय प्रश्न (3 अंक)

प्र.16. परवलय y² = 4x और रेखा x = 3 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Q.16. Find the area of the region bounded by y² = 4x and x = 3.

अथवा / OR

समाकलन विधि से वृत्त x² + y² = a² का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Find area of circle x² + y² = a² using integration.

हल:
क्षेत्रफल = 2 ∫₀³ y dx = 2 ∫₀³ 2√x dx
= 4 [ (2/3) x^3/2 ]₀³ = (8/3) [ 3√3 ] = 8√3 वर्ग इकाई।

Solution:
Area = 8√3 sq. units.

प्र.17. अवकल समीकरण x(dy/dx) - y = 2x² को हल कीजिए।

Q.17. Solve differential equation x(dy/dx) - y = 2x².

अथवा / OR

अवकल समीकरण dy/dx = (x+y)/x का हल ज्ञात कीजिए।

Solve dy/dx = (x+y)/x.

हल:
मानक रूप: dy/dx - (1/x)y = 2x.
I.F. = e^-∫dx/x = 1/x.
हल: y(1/x) = ∫ 2x(1/x) dx + C = 2x + C.
y = 2x² + Cx.

Solution: y = 2x² + Cx.

प्र.18. सदिश विधि से सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज के मध्यिकाएँ एक-संगामी होती हैं।

Q.18. Prove by vector method that medians of a triangle are concurrent.

अथवा / OR

यदि |a+b| = |a-b|, तो सिद्ध कीजिए कि a और b लंबवत हैं।

If |a+b| = |a-b|, prove a ⊥ b.

हल:
वर्ग करने पर: |a+b|² = |a-b|²
|a|² + |b|² + 2a.b = |a|² + |b|² - 2a.b
4a.b = 0 ⇒ a.b = 0. अतः a ⊥ b.

Solution:
Squaring both sides leads to 4a.b = 0, which implies a ⊥ b.

प्र.19. आलेखीय विधि से निम्न समस्या को हल कीजिए:
अधिकतम Z = x + y
व्यवरोध: x - y ≤ -1, -x + y ≤ 0, x, y ≥ 0.

Q.19. Maximize Z = x + y subject to x - y ≤ -1, -x + y ≤ 0, x, y ≥ 0 graphically.

अथवा / OR

न्यूनतम Z = 3x + 2y
व्यवरोध: x + y ≥ 8, 3x + 5y ≤ 15, x, y ≥ 0.

Minimize Z = 3x + 2y subject to constraints.

हल:
दी गई रेखाएं: x - y = -1 और -x + y = 0 (x=y).
इनका आलेख खींचने पर पता चलता है कि कोई भी उभयनिष्ठ सुसंगत क्षेत्र (Feasible Region) नहीं है।
अतः कोई हल नहीं (No Solution).

Solution:
Plotting the lines reveals there is no common feasible region satisfying all constraints.
Hence, No Solution.

खण्ड द: दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (4 अंक)

प्र.20. आव्यूह विधि से समीकरण निकाय को हल कीजिए:
x + y + z = 6
y + 3z = 11
x - 2y + z = 0

Q.20. Solve using matrix method: x + y + z = 6, y + 3z = 11, x - 2y + z = 0.

अथवा / OR

प्रारंभिक संक्रियाओं द्वारा आव्यूह A =

1	3
2	7

का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए।

Find inverse of matrix A using elementary operations.

हल:
1. |A| = 1(1+6) - 1(1-0) + 1(-2-0) = 7 - 1 - 2 = 4.
2. सहखंडज (Adjoint A) निकालें और A^-1 ज्ञात करें।
3. X = A^-1B.
उत्तर: x = 1, y = 2, z = 3.

Solution: x = 1, y = 2, z = 3.

प्र.21. फलन f(x) = sin x + cos x, 0 < x < π/2 का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।

Q.21. Find the maximum value of f(x) = sin x + cos x, 0 < x < π/2.

अथवा / OR

वक्र x² = 4y के बिंदु (2, 1) पर अभिलंब का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Find the equation of normal to the curve x² = 4y at (2, 1).

हल:
1. f'(x) = cos x - sin x. क्रांतिक बिंदु के लिए f'(x)=0 ⇒ tan x = 1 ⇒ x = π/4.
2. f''(x) = -sin x - cos x.
3. f''(π/4) = -(√2) < 0 (उच्चतम)।
4. अधिकतम मान f(π/4) = 1/√2 + 1/√2 = √2.

Solution: Maximum value is √2 at x = π/4.

प्र.22. सिद्ध कीजिए: ∫₀^π/2 √(sin x) / (√(sin x) + √(cos x)) dx = π/4.

Q.22. Prove that: ∫₀^π/2 √(sin x) / (√(sin x) + √(cos x)) dx = π/4.

अथवा / OR

मान ज्ञात कीजिए: ∫ x sin^-1x dx.

Evaluate: ∫ x sin^-1x dx.

हल:
1. माना I समाकलन है। गुणधर्म P4 (π/2 - x) लगाने पर यह ∫ √cos / (√cos + √sin) बन जाएगा।... (2)
2. (1) + (2) ⇒ 2I = ∫₀^π/2 1 dx = [x]₀^π/2 = π/2.
3. I = π/4.

Solution: Using property P4 and adding gives 2I = π/2, so I = π/4.

प्र.23. समतल x + y + z = 1 और 2x + 3y + 4z = 5 के प्रतिच्छेदन से होकर जाने वाले उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो x-y+z=0 के लंबवत है।

Q.23. Find the equation of the plane passing through the intersection of x + y + z = 1 and 2x + 3y + 4z = 5 and perpendicular to x-y+z=0.

अथवा / OR

बिंदु (1, 2, 3) से रेखा (x-6)/3 = (y-7)/2 = (z-7)/-2 की लंबवत दूरी ज्ञात कीजिए।

Find the perpendicular distance of the point (1, 2, 3) from the line (x-6)/3 = (y-7)/2 = (z-7)/-2.

हल:
1. समतल का समीकरण: (x+y+z-1) + λ(2x+3y+4z-5) = 0.
2. अभिलंब: (1+2λ)i + (1+3λ)j + (1+4λ)k.
3. लंबवत शर्त: 1(1+2λ) - 1(1+3λ) + 1(1+4λ) = 0 ⇒ 1 + 3λ = 0 ⇒ λ = -1/3.
4. मान रखने पर: x - z + 2 = 0.

Solution: x - z + 2 = 0.

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