कक्षा 12वीं गणित मॉडल पेपर सेट D 2026 | MP Board Maths Practice Paper D

कक्षा 12वीं गणित मॉडल पेपर सेट D 2026 | MP Board Maths Practice Paper PD

कक्षा 12वीं बोर्ड परीक्षा 2026 की अंतिम तैयारी कर रहे विद्यार्थियों के लिए गणित (Mathematics) मॉडल पेपर सेट D विशेष रूप से महत्वपूर्ण है

सेट D में प्रश्नों का संयोजन अन्य सेटों (A, B, C) से अलग रखा गया है ताकि विद्यार्थी विभिन्न प्रकार के प्रश्नों का अभ्यास कर सकें और अपनी तैयारी को पूर्ण रूप से मजबूत बना सकें।

मॉडल पेपर सेट D की विशेषताएँ

✅ नवीनतम सिलेबस एवं ब्लूप्रिंट आधारित

✅ अलग प्रश्न क्रम एवं विविधता

✅ उच्च स्तरीय (HOTS) प्रश्न शामिल

✅ समय प्रबंधन का बेहतरीन अभ्यास

✅ वास्तविक बोर्ड परीक्षा जैसा अनुभव 

सेट D में मिश्रित एवं अनुप्रयोग आधारित प्रश्न अधिक हो सकते हैं, इसलिए केवल सूत्र याद करना पर्याप्त नहीं — अवधारणा की स्पष्ट समझ आवश्यक है।

📝 तैयारी रणनीति

✔️ सभी चारों सेट (A, B, C, D) क्रम से हल करें

✔️ समय सीमा (3 घंटे) का पालन करें

✔️ जिन प्रश्नों में अधिक समय लगे, उनका अलग से अभ्यास करें

✔️ सूत्रों एवं महत्वपूर्ण प्रमेयों की नियमित पुनरावृत्ति करें

मॉडल पेपर कैसे देखें?

मॉडल पेपर हिन्दी एवं English दोनों माध्यम में है, आप जिस माध्यम में देखना चाहें हैं, उस पर क्लिक कीजिए. प्रत्येक प्रश्न के नीचे उत्तर देखने के लिए बटन दिया गया है. बटन पर क्लिक करके आप आंसर देख सकते हैं. प्रश्न एवं उत्तर केवल प्रैक्टिस के लिए है.

माध्यम (Medium):

कक्षा 12वीं - गणित Class 12th - Mathematics

(मॉडल पेपर 2025-26 सेट-D) (Model Paper 2025-26 Set-D)

Created by: D Septa | पूर्णांक: 80 | समय: 3 घंटे Created by: D Septa | Max Marks: 80 | Time: 3 Hours

खण्ड अ: वस्तुनिष्ठ प्रश्न (32 अंक)

Section A: Objective Type Questions (32 Marks)

प्र.1. सही विकल्प चुनकर लिखिए: (1×6 = 6 अंक)

Q.1. Choose the correct option: (1×6 = 6 Marks)

(i) मान लीजिए कि समुच्चय N में R = {(a, b) : a = b - 2, b > 6} द्वारा प्रदत्त संबंध है। निम्नलिखित में से सही है:

(i) Let R be the relation in the set N given by R = {(a, b) : a = b - 2, b > 6}. Choose the correct answer:

(अ) (2, 4) ∈ R / (a) (2, 4) ∈ R (ब) (3, 8) ∈ R / (b) (3, 8) ∈ R (स) (6, 8) ∈ R / (c) (6, 8) ∈ R (द) (8, 7) ∈ R / (d) (8, 7) ∈ R

👉 (स) (6, 8) ∈ R

विवरण: शर्त b > 6 है। विकल्प (अ) में b=4 है (गलत)। विकल्प (ब) में a=3, b=8 है, लेकिन 3 ≠ 8-2 (गलत)। विकल्प (स) में a=6, b=8 है, और 6 = 8-2 सही है।

👉 (c) (6, 8) ∈ R

Description: Condition is b > 6. In (c), b=8 (>6) and a=6, which satisfies a = b-2 (6 = 8-2).

---

(ii) sin^-1(1 - x) - 2sin^-1x = π/2, तो x का मान है:

(ii) If sin^-1(1 - x) - 2sin^-1x = π/2, then x is equal to:

(अ) 0, 1/2 / (a) 0, 1/2 (ब) 1, 1/2 / (b) 1, 1/2 (स) 0 / (c) 0 (द) 1/2 / (d) 1/2

👉 (स) 0

हल: विकल्पों की जाँच करने पर, x=0 रखने पर sin^-1(1) - 2sin^-1(0) = π/2 - 0 = π/2 (संतुष्ट करता है)। x=1/2 संतुष्ट नहीं करता।

👉 (c) 0

Solution: Checking options, putting x=0 gives sin^-1(1) - 2sin^-1(0) = π/2 - 0 = π/2 (satisfies). x=1/2 does not satisfy.

---

(iii) यदि A और B समान कोटि के सममित आव्यूह हैं, तो AB - BA एक:

(iii) If A and B are symmetric matrices of the same order, then AB - BA is a:

(अ) विषम सममित आव्यूह है / (a) Skew-symmetric matrix (ब) सममित आव्यूह है / (b) Symmetric matrix (स) शून्य आव्यूह है / (c) Zero matrix (द) तत्समक आव्यूह है / (d) Identity matrix

👉 (अ) विषम सममित आव्यूह है

हल: (AB - BA)' = (AB)' - (BA)' = B'A' - A'B' = BA - AB = -(AB - BA).

👉 (a) Skew-symmetric matrix

Solution: (AB - BA)' = (AB)' - (BA)' = B'A' - A'B' = BA - AB = -(AB - BA).

---

(iv) अवकल समीकरण dy/dx + y = e^-x का समाकलन गुणक (I.F.) है:

(iv) Integrating Factor (I.F.) of the differential equation dy/dx + y = e^-x is:

(अ) e^x / (a) e^x (ब) e^-x / (b) e^-x (स) x / (c) x (द) e^y / (d) e^y

👉 (अ) e^x

हल: यह dy/dx + Py = Q रूप है जहाँ P = 1. अतः I.F. = e^{∫P dx} = e^{∫1 dx} = e^x.

👉 (a) e^x

Solution: It is of form dy/dx + Py = Q where P = 1. Thus I.F. = e^{∫P dx} = e^{∫1 dx} = e^x.

---

(v) यदि सदिश a और b के बीच का कोण θ है, तो |aċb| = |a × b| जब θ बराबर है:

(v) Let θ be the angle between two vectors a and b. Then |aċb| = |a × b| when θ is equal to:

(अ) 0 / (a) 0 (ब) π/4 / (b) π/4 (स) π/2 / (c) π/2 (द) π / (d) π

👉 (ब) π/4

हल: |a||b|cosθ = |a||b|sinθ ⇒ tanθ = 1 ⇒ θ = π/4.

👉 (b) π/4

Solution: |a||b|cosθ = |a||b|sinθ ⇒ tanθ = 1 ⇒ θ = π/4.

---

(vi) यदि P(A) = 1/2, P(B) = 0, तो P(A|B) है:

(vi) If P(A) = 1/2, P(B) = 0, then P(A|B) is:

(अ) 0 / (a) 0 (ब) 1/2 / (b) 1/2 (स) परिभाषित नहीं / (c) Not defined (द) 1 / (d) 1

👉 (स) परिभाषित नहीं

हल: P(A|B) = P(A∩B) / P(B). चूँकि P(B) = 0 (हर शून्य है), अतः यह अपरिभाषित है।

👉 (c) Not defined

Solution: P(A|B) = P(A∩B) / P(B). Since P(B) = 0 (denominator is zero), it is not defined.

प्र.2. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए: (1×6 = 6 अंक)

Q.2. Fill in the blanks: (1×6 = 6 Marks)

(i) f(x) = sin x द्वारा प्रदत्त फलन (0, π/2) में ________ है। (वर्धमान/ह्रासमान)

(i) The function given by f(x) = sin x is ________ in (0, π/2). (increasing/decreasing)

वर्धमान (Increasing)

चूँकि f'(x) = cos x, और (0, π/2) में cos x > 0 होता है।

Increasing

Since f'(x) = cos x, and in (0, π/2), cos x > 0.

---

(ii) ∫ log x dx = ________.

(ii) ∫ log x dx = ________.

x log x - x + C

x log x - x + C

---

(iii) सदिश a = i + j - 2k के दिक्-अनुपात ________ हैं।

(iii) The direction ratios of vector a = i + j - 2k are ________.

1, 1, -2

1, 1, -2

---

(iv) Z-अक्ष के समांतर रेखा के दिक्-कोसाइन ________ हैं।

(iv) The direction cosines of a line parallel to the Z-axis are ________.

0, 0, 1

0, 0, 1

---

(v) अवकल समीकरण की घात परिभाषित होने के लिए उसे अवकलजों में ________ होना चाहिए।

(v) For the degree of a differential equation to be defined, it must be a ________ in its derivatives.

बहुपद (Polynomial)

Polynomial

---

(vi) यदि E और F स्वतंत्र घटनाएँ हैं, तो P(E ∩ F) = ________.

(vi) If E and F are independent events, then P(E ∩ F) = ________.

P(E) · P(F)

P(E) · P(F)

प्र.3. सत्य/असत्य लिखिए: (1×6 = 6 अंक)

Q.3. State True or False: (1×6 = 6 Marks)

(i) tan^-1x + tan^-1y = tan^-1((x+y)/(1-xy)), यदि xy < 1.

(i) tan^-1x + tan^-1y = tan^-1((x+y)/(1-xy)), if xy < 1.

सत्य

True

---

(ii) यदि A एक विषम सममित आव्यूह है, तो A' = A.

(ii) If A is a skew-symmetric matrix, then A' = A.

असत्य (विषम सममित के लिए A' = -A होता है)

False (For skew-symmetric, A' = -A)

---

(iii) फलन f(x) = [x] (महत्तम पूर्णांक फलन) पूर्णांक बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है।

(iii) The function f(x) = [x] (greatest integer function) is not differentiable at integral points.

सत्य (चूँकि यह पूर्णांक बिंदुओं पर सतत भी नहीं होता है)

True (Since it is not even continuous at integral points)

---

(iv) ∫_-a^a f(x) dx = 0, यदि f एक विषम फलन है।

(iv) ∫_-a^a f(x) dx = 0, if f is an odd function.

सत्य

True

---

(v) सदिश योग क्रमविनिमेय नियम का पालन नहीं करता है।

(v) Vector addition does not obey the commutative law.

असत्य (a + b = b + a, अतः पालन करता है)

False (Vector addition is commutative: a + b = b + a)

---

(vi) उद्देश्य फलन का अधिकतम मान सुसंगत क्षेत्र के किसी भी बिंदु पर हो सकता है।

(vi) The maximum value of the objective function can occur at any point in the feasible region.

असत्य (यह केवल कोणीय बिंदुओं (Corner points) पर होता है)

False (It occurs only at the corner points of the feasible region)

प्र.4. सही जोड़ी बनाइए: (1×7 = 7 अंक)

Q.4. Match the following: (1×7 = 7 Marks)

(i) ∫ cot x dx           -> (क) e^x + C
(ii) ∫ sec x dx           -> (ख) 1/2a log|(x-a)/(x+a)|
(iii) ∫ cosec x dx        -> (ग) log|sin x|
(iv) ∫ 1/(x² - a²) dx    -> (घ) log|sec x + tan x|
(v) ∫ 1/√(a² - x²) dx   -> (ङ) log|cosec x - cot x|
(vi) ∫ e^x dx             -> (च) sin^-1(x/a)
(vii) ∫ dx/x              -> (छ) log|x|

(i) ∫ cot x dx           -> (a) e^x + C
(ii) ∫ sec x dx           -> (b) 1/2a log|(x-a)/(x+a)|
(iii) ∫ cosec x dx        -> (c) log|sin x|
(iv) ∫ 1/(x² - a²) dx    -> (d) log|sec x + tan x|
(v) ∫ 1/√(a² - x²) dx   -> (e) log|cosec x - cot x|
(vi) ∫ e^x dx             -> (f) sin^-1(x/a)
(vii) ∫ dx/x              -> (g) log|x|

सही मिलान:
(i) → (ग) log|sin x|
(ii) → (घ) log|sec x + tan x|
(iii) → (ङ) log|cosec x - cot x|
(iv) → (ख) 1/2a log|(x-a)/(x+a)|
(v) → (च) sin^-1(x/a)
(vi) → (क) e^x + C
(vii) → (छ) log|x|

Correct Match:
(i) → (c) log|sin x|
(ii) → (d) log|sec x + tan x|
(iii) → (e) log|cosec x - cot x|
(iv) → (b) 1/2a log|(x-a)/(x+a)|
(v) → (f) sin^-1(x/a)
(vi) → (a) e^x + C
(vii) → (g) log|x|

प्र.5. एक शब्द/वाक्य में उत्तर दीजिए: (1×7 = 7 अंक)

Q.5. Answer in one word/sentence: (1×7 = 7 Marks)

(i) यदि A कोटि 3 का वर्ग आव्यूह है, तो |kA| का मान क्या होगा?

(i) If A is a square matrix of order 3, what will be the value of |kA|?

k³|A|

k³|A|

---

(ii) वक्र y = e^x के बिंदु (0,1) पर स्पर्श रेखा का समीकरण क्या है?

(ii) What is the equation of the tangent to the curve y = e^x at the point (0,1)?

y = x + 1

विवरण: dy/dx = e^x. x=0 पर प्रवणता m=1. समीकरण: y-1 = 1(x-0).

y = x + 1

Description: dy/dx = e^x. At x=0, slope m=1. Equation: y-1 = 1(x-0).

---

(iii) यदि a = 0 या b = 0, तब a × b का मान क्या होगा?

(iii) If a = 0 or b = 0, then what will be the value of a × b?

0 (शून्य सदिश)

0 (Zero vector)

---

(iv) X-अक्ष का समीकरण लिखिए।

(iv) Write the equations of the X-axis.

y = 0, z = 0

y = 0, z = 0

---

(v) अवकल समीकरण dy/dx = e^x-y का व्यापक हल लिखिए।

(v) Write the general solution of the differential equation dy/dx = e^x-y.

e^y = e^x + C

विवरण: dy/dx = e^x/e^y ⇒ e^y dy = e^x dx. समाकलन करने पर।

e^y = e^x + C

Description: dy/dx = e^x/e^y ⇒ e^y dy = e^x dx. Integrate both sides.

---

(vi) यदि P(A) = 0.3, P(B) = 0.6 और A, B स्वतंत्र हैं, तो P(A और B नहीं) क्या होगा?

(vi) If P(A) = 0.3, P(B) = 0.6 and A, B are independent, what will be P(A and not B)?

0.12

विवरण: P(A ∩ B') = P(A) × P(B') = 0.3 × (1 - 0.6) = 0.3 × 0.4 = 0.12.

0.12

Description: P(A ∩ B') = P(A) × P(B') = 0.3 × (1 - 0.6) = 0.3 × 0.4 = 0.12.

---

(vii) ∫₀^π/2 cos x dx का मान क्या है?

(vii) What is the value of ∫₀^π/2 cos x dx?

1

1

खण्ड ब: अति लघु उत्तरीय प्रश्न (2 अंक)

Section B: Very Short Answer Type Questions (2 Marks)

प्र.6. tan^-1(√3) - cot^-1(-√3) का मान ज्ञात कीजिए।

Q.6. Find the value of tan^-1(√3) - cot^-1(-√3).

अथवा / OR

सिद्ध कीजिए 3sin^-1x = sin^-1(3x - 4x³), x ∈ [-1/2, 1/2].

Prove that 3sin^-1x = sin^-1(3x - 4x³), x ∈ [-1/2, 1/2].

हल:
tan^-1(√3) = π/3
cot^-1(-√3) = π - cot^-1(√3) = π - π/6 = 5π/6
मान = π/3 - 5π/6 = (2π - 5π)/6 = -3π/6 = -π/2.

Solution:
tan^-1(√3) = π/3
cot^-1(-√3) = π - cot^-1(√3) = π - π/6 = 5π/6
Value = π/3 - 5π/6 = (2π - 5π)/6 = -3π/6 = -π/2.

हल:
माना x = sin θ ⇒ θ = sin^-1x
RHS = sin^-1(3 sin θ - 4 sin³θ)
= sin^-1(sin 3θ) = 3θ
= 3 sin^-1x = LHS. (इति सिद्धम्)

Solution:
Let x = sin θ ⇒ θ = sin^-1x
RHS = sin^-1(3 sin θ - 4 sin³θ)
= sin^-1(sin 3θ) = 3θ
= 3 sin^-1x = LHS. (Hence proved)

प्र.7. x तथा y ज्ञात कीजिए यदि 2

1	3
0	x

+

y	0
1	2

=

5	6
1	8

.

Q.7. Find x and y if 2

1	3
0	x

+

y	0
1	2

=

5	6
1	8

.

अथवा / OR

यदि A =

1	5
6	7

हो, तो A + A' ज्ञात कीजिए।

If A =

1	5
6	7

, then find A + A'.

हल:

2+y	6
1	2x+2

=

5	6
1	8

तुलना करने पर: 2+y=5 ⇒ y=3
2x+2=8 ⇒ 2x=6 ⇒ x=3.

Solution:

2+y	6
1	2x+2

=

5	6
1	8

On comparing: 2+y=5 ⇒ y=3
2x+2=8 ⇒ 2x=6 ⇒ x=3.

हल:
A' =

1	6
5	7

A + A' =

1+1	5+6
6+5	7+7

=

2	11
11	14

.

Solution:
A' =

1	6
5	7

A + A' =

1+1	5+6
6+5	7+7

=

2	11
11	14

.

प्र.8. k का मान ज्ञात कीजिए यदि फलन f(x) = kx² (यदि x ≤ 2) और 3 (यदि x > 2), x=2 पर सतत है।

Q.8. Find the value of k if the function f(x) = kx² (if x ≤ 2) and 3 (if x > 2) is continuous at x=2.

अथवा / OR

e^sin-1x का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए।

Differentiate e^sin-1x with respect to x.

हल:
x=2 पर सांतत्य के लिए:
LHL (x→2^-) = k(2)² = 4k
RHL (x→2⁺) = 3
सतत होने के लिए LHL = RHL: 4k = 3 ⇒ k = 3/4.

Solution:
For continuity at x=2:
LHL (x→2^-) = k(2)² = 4k
RHL (x→2⁺) = 3
For continuity LHL = RHL: 4k = 3 ⇒ k = 3/4.

हल:
माना y = e^sin-1x
शृंखला नियम (Chain rule) से: dy/dx = e^sin-1x · d/dx(sin^-1x)
= e^sin-1x / √(1-x²).

Solution:
Let y = e^sin-1x
By chain rule: dy/dx = e^sin-1x · d/dx(sin^-1x)
= e^sin-1x / √(1-x²).

प्र.9. एक उत्पाद की x इकाइयों के विक्रय से प्राप्त कुल आय R(x) = 3x² + 36x + 5 है। जब x=15 है तो सीमांत आय (Marginal Revenue) ज्ञात कीजिए।

Q.9. The total revenue received from the sale of x units of a product is given by R(x) = 3x² + 36x + 5. Find the marginal revenue when x=15.

अथवा / OR

अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें f(x) = x² - 4x + 6 वर्धमान है।

Find the intervals in which f(x) = x² - 4x + 6 is strictly increasing.

हल:
सीमांत आय MR = d/dx R(x) = 6x + 36
x=15 पर, MR = 6(15) + 36 = 90 + 36 = 126 रुपये।

Solution:
Marginal Revenue MR = d/dx R(x) = 6x + 36
At x=15, MR = 6(15) + 36 = 90 + 36 = 126 Rupees.

हल:
f'(x) = 2x - 4
निरंतर वर्धमान के लिए f'(x) > 0 ⇒ 2x - 4 > 0 ⇒ 2x > 4 ⇒ x > 2.
अतः अंतराल (2, ∞) है।

Solution:
f'(x) = 2x - 4
For strictly increasing, f'(x) > 0 ⇒ 2x - 4 > 0 ⇒ 2x > 4 ⇒ x > 2.
Hence, the interval is (2, ∞).

प्र.10. सदिशों a = 2i + 3j - k और b = i - 2j + k के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

Q.10. Find the angle between the vectors a = 2i + 3j - k and b = i - 2j + k.

अथवा / OR

x के किस मान के लिए सदिश 2i + 3j - k और xi - j + 3k परस्पर लंबवत हैं?

For what value of x are the vectors 2i + 3j - k and xi - j + 3k mutually perpendicular?

हल:
aċb = 2(1) + 3(-2) + (-1)(1) = 2 - 6 - 1 = -5
|a| = √(4+9+1) = √14, |b| = √(1+4+1) = √6
cos θ = (aċb) / (|a||b|) = -5 / (√14 √6) = -5 / √84
θ = cos^-1(-5/√84).

Solution:
aċb = 2(1) + 3(-2) + (-1)(1) = 2 - 6 - 1 = -5
|a| = √(4+9+1) = √14, |b| = √(1+4+1) = √6
cos θ = (aċb) / (|a||b|) = -5 / (√14 √6) = -5 / √84
θ = cos^-1(-5/√84).

हल:
लंबवत होने के लिए: aċb = 0
2(x) + 3(-1) + (-1)(3) = 0
2x - 3 - 3 = 0 ⇒ 2x = 6 ⇒ x = 3.

Solution:
For perpendicular vectors: aċb = 0
2(x) + 3(-1) + (-1)(3) = 0
2x - 3 - 3 = 0 ⇒ 2x = 6 ⇒ x = 3.

प्र.11. बिंदु (1, 2, 3) से गुजरने वाली और सदिश 3i + 2j - 2k के समांतर रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।

Q.11. Find the vector equation of the line passing through the point (1, 2, 3) and parallel to the vector 3i + 2j - 2k.

अथवा / OR

उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके अक्षों पर अंतःखंड 2, 3 और 4 हैं।

Find the equation of the plane whose intercepts on the axes are 2, 3, and 4 respectively.

हल:
सूत्र: r = a + λb
यहाँ a = i + 2j + 3k (स्थिति सदिश)
और b = 3i + 2j - 2k (समांतर सदिश)
समीकरण: r = (i + 2j + 3k) + λ(3i + 2j - 2k).

Solution:
Formula: r = a + λb
Here a = i + 2j + 3k (position vector of point)
and b = 3i + 2j - 2k (parallel vector)
Equation: r = (i + 2j + 3k) + λ(3i + 2j - 2k).

हल:
अंतःखंड रूप का समीकरण: x/a + y/b + z/c = 1
यहाँ a=2, b=3, c=4
x/2 + y/3 + z/4 = 1
लघुत्तम समापवर्तक (12) से गुणा करने पर: 6x + 4y + 3z = 12.

Solution:
Intercept form of plane: x/a + y/b + z/c = 1
Here a=2, b=3, c=4
x/2 + y/3 + z/4 = 1
Multiplying by LCM (12): 6x + 4y + 3z = 12.

प्र.12. यदि P(A) = 7/13, P(B) = 9/13 और P(A ∩ B) = 4/13 हो, तो P(A|B) ज्ञात कीजिए।

Q.12. If P(A) = 7/13, P(B) = 9/13 and P(A ∩ B) = 4/13, find P(A|B).

अथवा / OR

एक थैले में 4 सफेद और 6 काली गेंदें हैं। एक गेंद यादृच्छिक रूप से निकाली जाती है। उसके सफेद होने की प्रायिकता क्या है?

A bag contains 4 white and 6 black balls. A ball is drawn at random. What is the probability that it is white?

हल:
सप्रतिबंध प्रायिकता का सूत्र: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
= (4/13) / (9/13) = 4/9.

Solution:
Formula for conditional probability: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
= (4/13) / (9/13) = 4/9.

हल:
कुल गेंदें = 4 + 6 = 10
सफेद गेंदों की संख्या = 4
सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता P(W) = 4/10 = 2/5.

Solution:
Total balls = 4 + 6 = 10
Number of white balls = 4
Probability of drawing a white ball P(W) = 4/10 = 2/5.

प्र.13. समाकलन ज्ञात कीजिए: ∫ (1 - x)√x dx.

Q.13. Evaluate: ∫ (1 - x)√x dx.

अथवा / OR

मान ज्ञात कीजिए: ∫₂³ x² dx.

Evaluate: ∫₂³ x² dx.

हल:
∫ (√x - x√x) dx = ∫ (x^1/2 - x^3/2) dx
= (x^3/2)/(3/2) - (x^5/2)/(5/2) + C
= (2/3)x^3/2 - (2/5)x^5/2 + C.

Solution:
∫ (√x - x√x) dx = ∫ (x^1/2 - x^3/2) dx
= (x^3/2)/(3/2) - (x^5/2)/(5/2) + C
= (2/3)x^3/2 - (2/5)x^5/2 + C.

हल:
∫ x² dx = x³/3
सीमाएँ [2, 3] रखने पर: [3³/3] - [2³/3]
= 27/3 - 8/3 = 19/3.

Solution:
∫ x² dx = x³/3
Applying limits [2, 3]: [3³/3] - [2³/3]
= 27/3 - 8/3 = 19/3.

प्र.14. यदि y = e^x + e^-x, तो दर्शाइए कि dy/dx = e^x - e^-x.

Q.14. If y = e^x + e^-x, show that dy/dx = e^x - e^-x.

अथवा / OR

अवकल समीकरण dy/dx = (1-y²)/(1-x²) का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

Find the general solution of the differential equation dy/dx = (1-y²)/(1-x²).

हल:
y = e^x + e^-x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
dy/dx = d/dx(e^x) + d/dx(e^-x)
= e^x + e^-x · d/dx(-x)
= e^x - e^-x. (इति सिद्धम्)

Solution:
y = e^x + e^-x
Differentiating with respect to x:
dy/dx = d/dx(e^x) + d/dx(e^-x)
= e^x + e^-x · d/dx(-x)
= e^x - e^-x. (Hence proved)

हल:
चर पृथक्करण (Separating variables): dy/(1-y²) = dx/(1-x²)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
∫ dy/(1-y²) = ∫ dx/(1-x²)
(1/2) log|(1+y)/(1-y)| = (1/2) log|(1+x)/(1-x)| + C.

Solution:
Separating variables: dy/(1-y²) = dx/(1-x²)
Integrating both sides:
∫ dy/(1-y²) = ∫ dx/(1-x²)
(1/2) log|(1+y)/(1-y)| = (1/2) log|(1+x)/(1-x)| + C.

प्र.15. रैखिक प्रोग्रामन समस्या में उद्देश्य फलन Z = 3x + 9y का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए, यदि सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु (0,8), (4,10) और (6,0) हैं।

Q.15. Find the minimum value of the objective function Z = 3x + 9y in a linear programming problem, if the corner points of the feasible region are (0,8), (4,10) and (6,0).

अथवा / OR

रैखिक प्रोग्रामन समस्या के 'सुसंगत क्षेत्र' (Feasible Region) को परिभाषित कीजिए।

Define 'Feasible Region' in a Linear Programming Problem.

हल:
कोणीय बिंदुओं पर Z के मान:
(0,8) पर Z = 3(0) + 9(8) = 72
(4,10) पर Z = 3(4) + 9(10) = 12 + 90 = 102
(6,0) पर Z = 3(6) + 9(0) = 18
अतः न्यूनतम मान 18 है (बिंदु 6,0 पर)।

Solution:
Values of Z at corner points:
At (0,8), Z = 3(0) + 9(8) = 72
At (4,10), Z = 3(4) + 9(10) = 12 + 90 = 102
At (6,0), Z = 3(6) + 9(0) = 18
Hence, the minimum value is 18 (at point 6,0).

उत्तर:
रैखिक प्रोग्रामन समस्या में सभी व्यवरोधों (प्रतिबंधों) और ऋणेत्तर प्रतिबंधों (x ≥ 0, y ≥ 0) द्वारा निर्धारित उभयनिष्ठ क्षेत्र (Common region) जो समस्या के सभी संभावित हलों का प्रतिनिधित्व करता है, उसे सुसंगत क्षेत्र कहते हैं।

Answer:
The common region determined by all the constraints including non-negative constraints (x ≥ 0, y ≥ 0) of a linear programming problem, which represents all possible solutions, is called the feasible region.

खण्ड स: लघु उत्तरीय प्रश्न (3 अंक)

Section C: Short Answer Type Questions (3 Marks)

प्र.16. परवलय x² = 4y और रेखा x = 4y - 2 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Q.16. Find the area of the region bounded by the parabola x² = 4y and the line x = 4y - 2.

अथवा / OR

वक्र y = x² और y = |x| से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Find the area of the region bounded by the curve y = x² and y = |x|.

हल:

प्रतिच्छेद बिंदु: y = x²/4 रेखा के समीकरण में रखने पर: x = 4(x²/4) - 2 ⇒ x = x² - 2 ⇒ x² - x - 2 = 0.

गुणनखंड करने पर: (x-2)(x+1) = 0 ⇒ x = 2, x = -1.

क्षेत्रफल: A = ∫_-1² (y_रेखा - y_{परवलय}) dx

A = ∫_-1² [ (x+2)/4 - x²/4 ] dx = 1/4 ∫_-1² (x + 2 - x²) dx

= 1/4 [x²/2 + 2x - x³/3]_-1²

= 1/4 [ (4/2 + 4 - 8/3) - (1/2 - 2 + 1/3) ]

= 1/4 [ (6 - 8/3) - (-3/2 + 1/3) ] = 1/4 [ 10/3 - (-7/6) ] = 1/4 [ 20/6 + 7/6 ] = 27/24 = 9/8 वर्ग इकाई।

Solution:

Intersection points: Put y = x²/4 in line equation: x = x² - 2 ⇒ x² - x - 2 = 0.

Factoring gives: x = 2, -1.

Area: A = ∫_-1² (y_line - y_parabola) dx

A = 1/4 ∫_-1² (x + 2 - x²) dx = 1/4 [x²/2 + 2x - x³/3]_-1²

Evaluating limits gives A = 9/8 sq. units.

हल:

1. प्रतिच्छेद बिंदु: प्रथम चतुर्थांश में y=x और y=x² ⇒ x² = x ⇒ x(x-1)=0 ⇒ x=0, 1.

2. वक्र y-अक्ष के परितः सममित हैं। अतः कुल क्षेत्रफल A = 2 × ∫₀¹ (x - x²) dx.

3. A = 2 [x²/2 - x³/3]₀¹

4. A = 2 (1/2 - 1/3) = 2 (1/6) = 1/3 वर्ग इकाई।

Solution:

1. Intersection in 1st quadrant: x² = x ⇒ x = 0, 1.

2. Due to symmetry about y-axis, Total Area A = 2 × ∫₀¹ (x - x²) dx.

3. A = 2 [x²/2 - x³/3]₀¹

4. A = 2 (1/2 - 1/3) = 2(1/6) = 1/3 sq. units.

प्र.17. अवकल समीकरण x(dy/dx) - y = 2x² का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

Q.17. Find the general solution of the differential equation x(dy/dx) - y = 2x².

अथवा / OR

अवकल समीकरण (1+x²)dy + 2xy dx = cot x dx का हल ज्ञात कीजिए (जहाँ x ≠ 0)।

Solve the differential equation (1+x²)dy + 2xy dx = cot x dx (where x ≠ 0).

हल:

1. x से भाग देकर रैखिक रूप में बदलने पर: dy/dx - (1/x)y = 2x.

2. यहाँ P = -1/x, Q = 2x.

3. I.F. = e^{∫P dx} = e^∫(-1/x)dx = e^{-log x} = 1/x.

4. व्यापक हल: y × (I.F.) = ∫ Q × (I.F.) dx + C.

5. y(1/x) = ∫ 2x(1/x) dx = ∫ 2 dx.

6. y/x = 2x + C ⇒ y = 2x² + Cx.

Solution:

1. Divide by x to get linear form: dy/dx - (1/x)y = 2x.

2. Here P = -1/x, Q = 2x.

3. I.F. = e^∫(-1/x)dx = e^{-log x} = 1/x.

4. Solution: y(1/x) = ∫ 2x(1/x) dx + C.

5. y/x = 2x + C ⇒ y = 2x² + Cx.

हल:

1. समीकरण को व्यवस्थित करें: (1+x²) dy/dx + 2xy = cot x.

2. (1+x²) से भाग दें: dy/dx + (2x/(1+x²))y = cot x / (1+x²).

3. I.F. = e^{∫(2x/(1+x2))dx} = e^log(1+x2) = 1+x².

4. हल: y(1+x²) = ∫ (cot x / (1+x²)) × (1+x²) dx.

5. y(1+x²) = ∫ cot x dx = log|sin x| + C.

6. y = (log|sin x| + C) / (1+x²).

Solution:

1. Rearrange: dy/dx + (2x/(1+x²))y = cot x / (1+x²).

2. I.F. = e^{∫(2x/(1+x2))dx} = e^log(1+x2) = 1+x².

3. Solution: y(1+x²) = ∫ cot x dx = log|sin x| + C.

4. y = (log|sin x| + C) / (1+x²).

प्र.18. यदि a = i + j + k और b = i - j + k, तो एक ऐसा सदिश ज्ञात कीजिए जिसका परिमाण 5 हो और जो a और b दोनों पर लंबवत हो।

Q.18. If a = i + j + k and b = i - j + k, find a vector of magnitude 5 which is perpendicular to both a and b.

अथवा / OR

सदिश a+b और a-b में से प्रत्येक के लंबवत मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए, जहाँ a=3i+2j+2k और b=i+2j-2k हैं।

Find a unit vector perpendicular to each of the vectors a+b and a-b, where a=3i+2j+2k and b=i+2j-2k.

हल:

1. a और b दोनों पर लंबवत सदिश n = a × b होता है।

2. n =

i	j	k
1	1	1
1	-1	1

= i(1+1) - j(1-1) + k(-1-1) = 2i + 0j - 2k = 2i - 2k.

3. |n| = √(4 + 4) = √8 = 2√2.

4. लंबवत मात्रक सदिश n̂ = (2i - 2k) / 2√2 = (i - k) / √2.

5. परिमाण 5 वाला सदिश = ±5 n̂ = ±5(i - k) / √2.

Solution:

1. Vector perpendicular to both is n = a × b.

2. n = 2i - 2k.

3. |n| = 2√2.

4. Unit vector n̂ = (i - k) / √2.

5. Required vector = ±5 n̂ = ±(5/√2)(i - k).

हल:

1. A = a+b = 4i+4j, B = a-b = 2i+4k.

2. n = A × B =

i	j	k
4	4	0
2	0	4

= 16i - 16j - 8k.

3. |n| = √(256 + 256 + 64) = √576 = 24.

4. मात्रक सदिश = n/|n| = ±(16i - 16j - 8k)/24 = ±(2i - 2j - k)/3.

Solution:

1. A = a+b = 4i+4j, B = a-b = 2i+4k.

2. n = A × B = 16i - 16j - 8k.

3. |n| = 24.

4. Unit vector = n/|n| = ±(2i - 2j - k)/3.

प्र.19. आलेखीय विधि से निम्न समस्या को हल कीजिए:
न्यूनतम Z = -3x + 4y
व्यवरोध: x + 2y ≤ 8, 3x + 2y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0.

Q.19. Solve graphically:
Minimize Z = -3x + 4y
Subject to: x + 2y ≤ 8, 3x + 2y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0.

अथवा / OR

आलेखीय विधि से हल कीजिए:
अधिकतम Z = 3x + 2y
व्यवरोध: x + 2y ≤ 10, 3x + y ≤ 15, x ≥ 0, y ≥ 0.

Solve graphically:
Maximize Z = 3x + 2y
Subject to: x + 2y ≤ 10, 3x + y ≤ 15, x ≥ 0, y ≥ 0.

हल:

1. रेखाएँ खींचें: x + 2y = 8 [(8,0), (0,4)] और 3x + 2y = 12 [(4,0), (0,6)]।

2. सुसंगत क्षेत्र मूल बिंदु को शामिल करते हुए एक बहुभुज है जिसके कोणीय बिंदु हैं: O(0,0), A(4,0), B(2,3) (प्रतिच्छेद बिंदु), C(0,4)।

3. Z के मान:
Z(O) = 0
Z(A) = -3(4) + 4(0) = -12
Z(B) = -3(2) + 4(3) = -6 + 12 = 6
Z(C) = -3(0) + 4(4) = 16

4. न्यूनतम मान **-12** है (बिंदु 4,0 पर)।

Solution:

1. Corner points of feasible region: O(0,0), A(4,0), B(2,3), C(0,4).

2. Values of Z: Z(0,0)=0, Z(4,0)=-12, Z(2,3)=6, Z(0,4)=16.

3. Minimum value is **-12** at (4,0).

हल:

1. कोणीय बिंदु: O(0,0), A(5,0), B(4,3) [प्रतिच्छेद बिंदु], C(0,5)।

2. Z के मान:
Z(0,0) = 0
Z(5,0) = 15
Z(4,3) = 3(4) + 2(3) = 18
Z(0,5) = 10

3. अधिकतम मान **18** है (बिंदु 4,3 पर)।

Solution:

1. Corner points: O(0,0), A(5,0), B(4,3), C(0,5).

2. Values of Z: Z(0,0)=0, Z(5,0)=15, Z(4,3)=18, Z(0,5)=10.

3. Maximum value is **18** at (4,3).

खण्ड द: दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (4 अंक)

Section D: Long Answer Type Questions (4 Marks)

प्र.20. आव्यूह विधि से निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल कीजिए:
x - y + z = 4
2x + y - 3z = 0
x + 1y + z = 2

Q.20. Solve the system of equations by matrix method:
x - y + z = 4
2x + y - 3z = 0
x + y + z = 2

अथवा / OR

सिद्ध कीजिए कि सारणिक
|

1+a	1	1
1	1+b	1
1	1	1+c

| = abc(1 + 1/a + 1/b + 1/c).

Prove that determinant
|

1+a	1	1
1	1+b	1
1	1	1+c

| = abc(1 + 1/a + 1/b + 1/c).

हल:

1. AX = B के रूप में लिखें।
A =

1	-1	1
2	1	-3
1	1	1

, B =

4

0

2

2. |A| = 1(1+3) - (-1)(2+3) + 1(2-1) = 4 + 5 + 1 = 10 ≠ 0.

3. सहखंडज (adj A) ज्ञात करें।
adj A =

4	2	2
-5	0	5
1	-2	3

4. X = A^-1B = (1/10) (adj A) B.
X = (1/10)

16+0+4

-20+0+10

4+0+6

= (1/10)

20

-10

10

5. अतः x = 2, y = -1, z = 1.

Solution:

1. Write as AX = B.

2. |A| = 10 ≠ 0.

3. Find Adj A.

4. X = A^-1B.

5. Solving gives x = 2, y = -1, z = 1.

हल:

1. R₁, R₂, R₃ से क्रमशः a, b, c उभयनिष्ठ लें। सारणिक के बाहर abc आ जाएगा।

2. सारणिक बनेगा:
abc |

1/a+1	1/a	1/a
1/b	1/b+1	1/b
1/c	1/c	1/c+1

|

3. संक्रिया R₁ → R₁ + R₂ + R₃ लगाएँ। R₁ का प्रत्येक अवयव (1 + 1/a + 1/b + 1/c) बन जाएगा जिसे बाहर कॉमन ले लें।

4. अब C₂ → C₂ - C₁ और C₃ → C₃ - C₁ करने पर अधिकतम अवयव शून्य हो जाएंगे।

5. प्रसार करने पर सारणिक का मान 1 आएगा। अतः परिणाम: abc(1 + 1/a + 1/b + 1/c).

Solution:

1. Take a, b, c common from R₁, R₂, R₃ respectively.

2. Apply R₁ → R₁ + R₂ + R₃ and take (1 + 1/a + 1/b + 1/c) common from R₁.

3. Apply column operations to make zeros and expand.

4. The value of remaining determinant is 1. Proved.

प्र.21. सिद्ध कीजिए कि एक दिए हुए गोले के अंतर्गत अधिकतम आयतन वाले बेलन की ऊँचाई 2R/√3 होती है, जहाँ R गोले की त्रिज्या है।

Q.21. Prove that the height of the cylinder of maximum volume that can be inscribed in a sphere of radius R is 2R/√3.

अथवा / OR

फलन f(x) = 3x⁴ + 4x³ - 12x² + 12 के स्थानीय उच्चतम और स्थानीय निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।

Find the local maximum and local minimum values of the function f(x) = 3x⁴ + 4x³ - 12x² + 12.

हल:

1. माना बेलन की त्रिज्या r और ऊँचाई h है। समकोण त्रिभुज से: r² + (h/2)² = R² ⇒ r² = R² - h²/4.

2. बेलन का आयतन V = πr²h = π(R² - h²/4)h = πR²h - πh³/4.

3. अधिकतम आयतन के लिए: dV/dh = πR² - 3πh²/4 = 0.

4. 3h²/4 = R² ⇒ h² = 4R²/3 ⇒ h = 2R/√3.

5. d²V/dh² = -6πh/4 < 0, अतः h = 2R/√3 पर आयतन अधिकतम है। (इति सिद्धम्)

Solution:

1. Let radius of cylinder be r and height be h. r² = R² - h²/4.

2. Volume V = πr²h = π(R² - h²/4)h.

3. For max volume: dV/dh = 0 ⇒ πR² - 3πh²/4 = 0.

4. h = 2R/√3. Second derivative is negative, hence maximum. Proved.

हल:

1. f'(x) = 12x³ + 12x² - 24x = 12x(x² + x - 2) = 12x(x+2)(x-1).

2. क्रांतिक बिंदु (Critical points): f'(x) = 0 ⇒ x = 0, 1, -2.

3. f''(x) = 36x² + 24x - 24.

4. x = 0 पर: f''(0) = -24 < 0 (स्थानीय उच्चतम)। मान f(0) = 12.

5. x = 1 पर: f''(1) = 36 > 0 (स्थानीय निम्नतम)। मान f(1) = 7.

6. x = -2 पर: f''(-2) = 72 > 0 (स्थानीय निम्नतम)। मान f(-2) = -20.

Solution:

1. f'(x) = 12x(x+2)(x-1). Critical points: x = 0, 1, -2.

2. f''(x) = 36x² + 24x - 24.

3. At x=0, f'' < 0 (Local Max). Value = 12.

4. At x=1, f'' > 0 (Local Min). Value = 7.

5. At x=-2, f'' > 0 (Local Min). Value = -20.

प्र.22. सिद्ध कीजिए कि ∫₀^π/2 √(sin x) / (√(sin x) + √(cos x)) dx = π/4.

Q.22. Prove that: ∫₀^π/2 √(sin x) / (√(sin x) + √(cos x)) dx = π/4.

अथवा / OR

मान ज्ञात कीजिए: ∫ x sin^-1x dx.

Evaluate: ∫ x sin^-1x dx.

हल:

1. माना I = ∫₀^π/2 √sin x / (√sin x + √cos x) dx ... (1)

2. प्रगुण P4 (∫₀^a f(x)dx = ∫₀^a f(a-x)dx) से:

I = ∫₀^π/2 √sin(π/2-x) / (√sin(π/2-x) + √cos(π/2-x)) dx

I = ∫₀^π/2 √cos x / (√cos x + √sin x) dx ... (2)

3. (1) और (2) को जोड़ने पर: 2I = ∫₀^π/2 (√sin x + √cos x) / (√sin x + √cos x) dx

4. 2I = ∫₀^π/2 1 dx = [x]₀^π/2 = π/2.

5. अतः I = π/4. (इति सिद्धम्)

Solution:

1. Let I = ∫₀^π/2 √sin x / (√sin x + √cos x) dx ... (1)

2. Using property P4, I = ∫₀^π/2 √cos x / (√cos x + √sin x) dx ... (2)

3. Adding (1) and (2): 2I = ∫₀^π/2 1 dx = π/2.

4. Hence I = π/4. Proved.

हल:

खंडशः समाकलन (Integration by Parts) से ILATE नियम के अनुसार sin^-1x को प्रथम और x को द्वितीय फलन मानें।

I = sin^-1x · (x²/2) - ∫ [ 1/√(1-x²) · (x²/2) ] dx.

= (x²/2)sin^-1x - 1/2 ∫ (x²)/√(1-x²) dx.

दूसरे भाग को हल करने के लिए x = sin θ मान लें और मानक सूत्रों का प्रयोग करें।

Solution:
Use Integration by Parts. Take sin^-1x as first function and x as second function.

प्र.23. समतल x + y + z = 1 और 2x + 3y + 4z = 5 के प्रतिच्छेदन से होकर जाने वाले उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो समतल x - y + z = 0 के लंबवत है।

Q.23. Find the equation of the plane passing through the intersection of the planes x + y + z = 1 and 2x + 3y + 4z = 5 and perpendicular to the plane x - y + z = 0.

अथवा / OR

रेखाओं r = (i + 2j + 3k) + λ(i - 3j + 2k) और r = (4i + 5j + 6k) + μ(2i + 3j + k) के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।

Find the shortest distance between the lines r = (i + 2j + 3k) + λ(i - 3j + 2k) and r = (4i + 5j + 6k) + μ(2i + 3j + k).

हल:

1. प्रतिच्छेदन से जाने वाले समतल का समीकरण: (x+y+z-1) + λ(2x+3y+4z-5) = 0.

2. इसे व्यवस्थित करने पर: x(1+2λ) + y(1+3λ) + z(1+4λ) - (1+5λ) = 0. इसके अभिलंब के दिक्-अनुपात A_1 = 1+2λ, B_1 = 1+3λ, C_1 = 1+4λ हैं।

3. यह समतल x - y + z = 0 (दिक्-अनुपात 1, -1, 1) के लंबवत है। अतः A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0.

4. 1(1+2λ) - 1(1+3λ) + 1(1+4λ) = 0 ⇒ 1 + 3λ = 0 ⇒ λ = -1/3.

5. λ का मान समीकरण में रखने पर: (x+y+z-1) - 1/3(2x+3y+4z-5) = 0.

6. 3x + 3y + 3z - 3 - 2x - 3y - 4z + 5 = 0 ⇒ x - z + 2 = 0.

Solution:

1. Eq of plane: (x+y+z-1) + λ(2x+3y+4z-5) = 0.

2. Direction ratios of normal: (1+2λ), (1+3λ), (1+4λ).

3. It is perpendicular to x - y + z = 0. So, 1(1+2λ) - 1(1+3λ) + 1(1+4λ) = 0.

4. 1 + 3λ = 0 ⇒ λ = -1/3.

5. Substituting λ gives x - z + 2 = 0.

हल (न्यूनतम दूरी):

1. a₁ = i+2j+3k, b₁ = i-3j+2k
a₂ = 4i+5j+6k, b₂ = 2i+3j+k.

2. a₂ - a₁ = 3i + 3j + 3k.

3. b₁ × b₂ =

i	j	k
1	-3	2
2	3	1

= i(-3-6) - j(1-4) + k(3-(-6)) = -9i + 3j + 9k.

4. सूत्र d = |(a₂-a₁) ċ (b₁×b₂)| / |b₁×b₂|

5. अंश = 3(-9) + 3(3) + 3(9) = -27 + 9 + 27 = 9.

6. हर = √((-9)² + 3² + 9²) = √(81+9+81) = √171 = 3√19.

7. d = 9 / 3√19 = 3 / √19 इकाई।

Solution (Shortest Distance):

1. a₂ - a₁ = 3i + 3j + 3k.

2. b₁ × b₂ = -9i + 3j + 9k.

3. Formula d = |(a₂-a₁) ċ (b₁×b₂)| / |b₁×b₂|

4. Numerator = |3(-9) + 3(3) + 3(9)| = 9.

5. Denominator = √(81+9+81) = √171 = 3√19.

6. d = 9 / 3√19 = 3 / √19 units.

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यह मॉडल पेपर केवल विद्यार्थियों की अभ्यास एवं तैयारी के उद्देश्य से तैयार किया गया है। यह आधिकारिक प्रश्नपत्र नहीं है।

इस वेबसाइट पर उपलब्ध मॉडल पेपर का उद्देश्य विद्यार्थियों को परीक्षा पैटर्न, प्रश्नों की संरचना एवं समय प्रबंधन का अभ्यास करवाना है। वास्तविक बोर्ड परीक्षा में प्रश्नों का क्रम, संख्या या स्वरूप भिन्न हो सकता है।

हम किसी भी प्रकार से माध्यमिक शिक्षा मण्डल, भोपाल (MP Board) से आधिकारिक रूप से संबद्ध नहीं हैं। यहाँ दी गई सामग्री केवल शैक्षणिक एवं मार्गदर्शन हेतु प्रकाशित की गई है।

PDF या सामग्री में यदि किसी प्रकार की त्रुटि पाई जाती है तो कृपया हमें सूचित करें, ताकि आवश्यक सुधार किया जा सके।

विद्यार्थियों को सलाह दी जाती है कि वे आधिकारिक सूचना एवं सिलेबस के लिए संबंधित बोर्ड की आधिकारिक वेबसाइट अवश्य देखें।

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