MP Board Class 10th Maths Blueprint, Notes & Important Questions 2026-27 | कक्षा 10वीं गणित सूत्र, प्रमेय एवं अंक योजना
- MP Board Class 10th Maths Blueprint 2026-27
- Class 10th Maths Notes in Hindi MPBSE
- MP Board 10th Maths Formula Sheet and Important Questions
- कक्षा 10वीं गणित नोट्स एवं सूत्र
- MPBSE 10th Maths Model Paper 2026-27
माध्यमिक शिक्षा मण्डल, म.प्र. (MPBSE) सत्र 2026-27: कक्षा 10वीं [विषय: गणित] अध्ययन सामग्री
माध्यमिक शिक्षा मण्डल, मध्यप्रदेश द्वारा शैक्षणिक सत्र 2026-27 के लिए कक्षा 10वीं बोर्ड परीक्षा का आधिकारिक ब्लूप्रिंट (अंक योजना) जारी कर दिया गया है। गणित एक ऐसा विषय है जिसमें नियमित अभ्यास, सूत्रों की स्पष्ट समझ और चरणबद्ध (Step-by-Step) हल के माध्यम से पूरे 75 में से 75 अंक प्राप्त किए जा सकते हैं।
विद्यार्थियों और शिक्षकों की सुविधा के लिए यहाँ कक्षा 10वीं गणित के सभी अध्यायों की नवीनतम अंक योजना पर आधारित AI-असिस्टेड संक्षिप्त नोट्स, फॉर्मूला शीट, महत्वपूर्ण प्रमेय एवं परीक्षा-उपयोगी अभ्यास प्रश्नोत्तर उपलब्ध कराए जा रहे हैं।
कक्षा 10वीं गणित Basic / गणित Standard
सम्पूर्ण सरल नोट्स एवं अभ्यास प्रश्नोत्तर
माध्यमिक शिक्षा मण्डल, मध्यप्रदेश, भोपाल | हाईस्कूल परीक्षा सत्र 2026-27
पूर्णांक — 75 | समय — 3:00 घंटे
अंक योजना एवं प्रश्न-पत्र संरचना
| क्र. | अध्याय | अंक |
|---|---|---|
| 1 | वास्तविक संख्याएँ | 06 |
| 2 | बहुपद | 05 |
| 3 | दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म | 07 |
| 4 | द्विघात समीकरण | 05 |
| 5 | समांतर श्रेढ़ियाँ | 05 |
| 6 | त्रिभुज | 05 |
| 7 | निर्देशांक ज्यामिति | 05 |
| 8 | त्रिकोणमिति का परिचय | 05 |
| 9 | त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग | 05 |
| 10 | वृत्त | 05 |
| 11 | वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल | 05 |
| 12 | पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन | 06 |
| 13 | सांख्यिकी | 05 |
| 14 | प्रायिकता | 06 |
| कुल | 75 | |
| प्रश्न | प्रकार | प्रश्न संख्या | अंक |
|---|---|---|---|
| 1 | सही विकल्प | 06 | 06 |
| 2 | रिक्त स्थान | 06 | 06 |
| 3 | सत्य/असत्य | 06 | 06 |
| 4 | सही जोड़ी | 06 | 06 |
| 5 | एक वाक्य में उत्तर | 06 | 06 |
| 6–17 | लघु उत्तरीय | 12 | 24 |
| 18–20 | मध्यम उत्तरीय | 03 | 09 |
| 21–23 | दीर्घ उत्तरीय | 03 | 12 |
| कुल | 75 | ||
महत्वपूर्ण: Basic और Standard की अंकयोजना समान है। मुख्य अंतर प्रश्न-पत्र के कठिनाई स्तर का रहेगा। इसलिए Standard में अतिरिक्त कठिन application questions तथा Basic में मूलभूत steps और सीधे प्रश्नों का अधिक अभ्यास करें।
अध्याय 1 — वास्तविक संख्याएँ (06 अंक)
1. अंकगणित की आधारभूत प्रमेय
प्रत्येक भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है और यह अभिव्यक्ति क्रम को छोड़कर अद्वितीय होती है।
हर भाज्य संख्या = अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल
2. HCF और LCM
अभाज्य गुणनखंडों द्वारा HCF में प्रत्येक अभाज्य का न्यूनतम घात तथा LCM में अधिकतम घात लिया जाता है।
3. महत्वपूर्ण संबंध
HCF(a,b) × LCM(a,b) = a × b
4. अपरिमेय संख्याएँ
जो संख्याएँ p/q के रूप में नहीं लिखी जा सकतीं, जहाँ p,q पूर्णांक तथा q≠0 है, अपरिमेय कहलाती हैं।
√2, √3, √5 आदि अपरिमेय संख्याएँ हैं।
2 अंक अभ्यास
प्रश्न 1. 96 और 404 का HCF ज्ञात कीजिए।
Euclid algorithm:
404 = 96×4 + 20
96 = 20×4 + 16
20 = 16×1 + 4
16 = 4×4 + 0
अतः HCF = 4।
404 = 96×4 + 20
96 = 20×4 + 16
20 = 16×1 + 4
16 = 4×4 + 0
अतः HCF = 4।
प्रश्न 2. यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म क्या है?
किसी दो धनात्मक पूर्णांकों a और b के लिए a=bq+r, जहाँ 0≤r<b, के रूप में विभाजन करके क्रमशः शेषफल निकालते हुए अंतिम अशून्य शेषफल HCF होता है।
3 अंक अभ्यास
प्रश्न. सिद्ध कीजिए कि √5 अपरिमेय है।
मान लें √5 परिमेय है। तब √5=p/q, जहाँ p,q सह-अभाज्य पूर्णांक हैं।
वर्ग करने पर 5=p²/q²
⇒ p²=5q²।
अतः 5, p² को विभाजित करता है, इसलिए 5,p को विभाजित करेगा। मान लें p=5k।
तब p²=25k²=5q² ⇒ q²=5k²।
अतः 5,q को भी विभाजित करता है, जो p और q के सह-अभाज्य होने का विरोधाभास है।
अतः √5 अपरिमेय है।
वर्ग करने पर 5=p²/q²
⇒ p²=5q²।
अतः 5, p² को विभाजित करता है, इसलिए 5,p को विभाजित करेगा। मान लें p=5k।
तब p²=25k²=5q² ⇒ q²=5k²।
अतः 5,q को भी विभाजित करता है, जो p और q के सह-अभाज्य होने का विरोधाभास है।
अतः √5 अपरिमेय है।
4 अंक अभ्यास
प्रश्न. 135 और 225 का HCF तथा LCM ज्ञात कीजिए और सत्यापित कीजिए कि HCF×LCM=135×225।
135=3³×5
225=3²×5²
HCF=3²×5=45
LCM=3³×5²=675
HCF×LCM=45×675=30375
और 135×225=30375
अतः संबंध सत्यापित हुआ।
225=3²×5²
HCF=3²×5=45
LCM=3³×5²=675
HCF×LCM=45×675=30375
और 135×225=30375
अतः संबंध सत्यापित हुआ।
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Maths • Notes • Exam Preparationअध्याय 2 — बहुपद (05 अंक)
1. बहुपद
चर और अचर संख्याओं से बने ऐसे बीजीय व्यंजक जिनमें चर की घात पूर्णांक और अशून्य हो, बहुपद कहलाते हैं।
2. शून्यक
यदि p(α)=0, तो α बहुपद p(x) का शून्यक कहलाता है।
3. द्विघात बहुपद
p(x)=ax²+bx+c, a≠0
यदि शून्यक α और β हैं, तो:
α+β = −b/a
αβ = c/a
2 अंक अभ्यास
प्रश्न 1. x²−5x+6 के शून्यक ज्ञात कीजिए।
x²−5x+6=(x−2)(x−3)
अतः शून्यक 2 और 3 हैं।
अतः शून्यक 2 और 3 हैं।
प्रश्न 2. किसी द्विघात बहुपद के शून्यकों और गुणांकों में संबंध लिखिए।
यदि ax²+bx+c के शून्यक α,β हैं, तो α+β=−b/a और αβ=c/a।
3 अंक अभ्यास
प्रश्न. ऐसा द्विघात बहुपद बनाइए जिसके शून्यक 2 और −3 हैं।
आवश्यक बहुपद:
(x−2)(x+3)
=x²+x−6
अतः p(x)=x²+x−6।
(x−2)(x+3)
=x²+x−6
अतः p(x)=x²+x−6।
4 अंक अभ्यास
प्रश्न. बहुपद 2x²−7x+3 के शून्यक ज्ञात कीजिए तथा उनके योग और गुणनफल का सत्यापन कीजिए।
2x²−7x+3=0
=(2x−1)(x−3)=0
अतः x=1/2 और x=3।
योग=1/2+3=7/2
−b/a=−(−7)/2=7/2।
गुणनफल=(1/2)×3=3/2
c/a=3/2।
अतः दोनों संबंध सत्य हैं।
=(2x−1)(x−3)=0
अतः x=1/2 और x=3।
योग=1/2+3=7/2
−b/a=−(−7)/2=7/2।
गुणनफल=(1/2)×3=3/2
c/a=3/2।
अतः दोनों संबंध सत्य हैं।
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Maths • Notes • Exam Preparationअध्याय 3 — दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म (07 अंक)
1. सामान्य रूप
a₁x+b₁y+c₁=0
a₂x+b₂y+c₂=0
a₂x+b₂y+c₂=0
2. हल की स्थिति
| शर्त | स्थिति |
|---|---|
| a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ | एक अद्वितीय हल |
| a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ | कोई हल नहीं |
| a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ | अनंत हल |
3. विधियाँ
- ग्राफीय विधि
- प्रतिस्थापन विधि
- विलोपन विधि
- क्रॉस-गुणन विधि
2 अंक अभ्यास
प्रश्न 1. हल कीजिए: x+y=7, x−y=1।
जोड़ने पर:
2x=8 ⇒ x=4
y=3
अतः (x,y)=(4,3)।
2x=8 ⇒ x=4
y=3
अतः (x,y)=(4,3)।
प्रश्न 2. रैखिक समीकरण युग्म का अद्वितीय हल कब होता है?
जब a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ हो, तब दोनों रेखाएँ एक बिंदु पर काटती हैं और समीकरण युग्म का अद्वितीय हल होता है।
3 अंक अभ्यास
प्रश्न. प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए: 2x+y=8 तथा x−y=1।
दूसरे समीकरण से y=x−1।
पहले में रखने पर:
2x+x−1=8
3x=9 ⇒ x=3
y=2
अतः (3,2)।
पहले में रखने पर:
2x+x−1=8
3x=9 ⇒ x=3
y=2
अतः (3,2)।
4 अंक अभ्यास
प्रश्न. विलोपन विधि से हल कीजिए: 2x+3y=13 तथा 3x−2y=4।
पहला ×2:
4x+6y=26
दूसरा ×3:
9x−6y=12
जोड़ने पर:
13x=38
x=38/13
अब 2x+3y=13 में:
76/13+3y=169/13
3y=93/13
y=31/13
अतः x=38/13, y=31/13।
4x+6y=26
दूसरा ×3:
9x−6y=12
जोड़ने पर:
13x=38
x=38/13
अब 2x+3y=13 में:
76/13+3y=169/13
3y=93/13
y=31/13
अतः x=38/13, y=31/13।
प्रश्न. निम्न युग्म की स्थिति बताइए: 2x+3y=5 तथा 4x+6y=12।
a₁/a₂=2/4=1/2
b₁/b₂=3/6=1/2
c₁/c₂=5/12
क्योंकि a₁/a₂=b₁/b₂≠c₁/c₂, अतः कोई हल नहीं। दोनों रेखाएँ समानांतर हैं।
b₁/b₂=3/6=1/2
c₁/c₂=5/12
क्योंकि a₁/a₂=b₁/b₂≠c₁/c₂, अतः कोई हल नहीं। दोनों रेखाएँ समानांतर हैं।
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Maths • Notes • Exam Preparationअध्याय 4 — द्विघात समीकरण (05 अंक)
1. सामान्य रूप
ax²+bx+c=0, a≠0
2. गुणनखंड विधि
समीकरण को दो रैखिक गुणनखंडों में बदलकर x के मान ज्ञात किए जाते हैं।
3. द्विघात सूत्र
x = [−b ± √(b²−4ac)] / 2a
4. विविक्तकर
D=b²−4ac
| D का मान | मूलों की प्रकृति |
|---|---|
| D>0 | दो भिन्न वास्तविक मूल |
| D=0 | दो समान वास्तविक मूल |
| D<0 | कोई वास्तविक मूल नहीं |
2 अंक अभ्यास
प्रश्न. x²−7x+12=0 हल कीजिए।
x²−7x+12=(x−3)(x−4)
अतः x=3,4।
अतः x=3,4।
प्रश्न. द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति बताने वाला सूत्र लिखिए।
D=b²−4ac। D>0 पर दो वास्तविक भिन्न, D=0 पर समान वास्तविक तथा D<0 पर कोई वास्तविक मूल नहीं होता।
3 अंक अभ्यास
प्रश्न. 2x²−5x+2=0 के मूल ज्ञात कीजिए।
2x²−5x+2=0
=(2x−1)(x−2)
अतः x=1/2 और x=2।
=(2x−1)(x−2)
अतः x=1/2 और x=2।
4 अंक अभ्यास
प्रश्न. x²−6x+5=0 के मूल द्विघात सूत्र से ज्ञात कीजिए।
a=1,b=−6,c=5
D=36−20=16
x=[6±√16]/2
=[6±4]/2
अतः
x=5 तथा x=1।
D=36−20=16
x=[6±√16]/2
=[6±4]/2
अतः
x=5 तथा x=1।
प्रश्न. 3x²−4x+2=0 के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए।
D=b²−4ac=(−4)²−4(3)(2)
=16−24
=−8
अतः D<0, इसलिए कोई वास्तविक मूल नहीं है।
=16−24
=−8
अतः D<0, इसलिए कोई वास्तविक मूल नहीं है।
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Maths • Notes • Exam Preparationअध्याय 5 — समांतर श्रेढ़ियाँ (A.P.) (05 अंक)
1. A.P. की परिभाषा
ऐसी श्रेणी जिसमें क्रमागत पदों का अंतर समान हो, समांतर श्रेढ़ी कहलाती है।
2. nवाँ पद
aₙ=a+(n−1)d
3. प्रथम n पदों का योग
Sₙ=n/2[2a+(n−1)d]
Sₙ=n/2(a+l)
2 अंक अभ्यास
प्रश्न. A.P. 3,7,11,15,... का common difference तथा 10वाँ पद ज्ञात कीजिए।
a=3, d=4
a₁₀=3+9×4=39।
a₁₀=3+9×4=39।
प्रश्न. A.P. का nवाँ पद लिखिए।
aₙ=a+(n−1)d
3 अंक अभ्यास
प्रश्न. A.P. 5,8,11,... के प्रथम 20 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
a=5,d=3,n=20
S₂₀=20/2[10+19×3]
=10(10+57)
=670।
S₂₀=20/2[10+19×3]
=10(10+57)
=670।
4 अंक अभ्यास
प्रश्न. किसी A.P. का 5वाँ पद 18 तथा 12वाँ पद 39 है। प्रथम पद और common difference ज्ञात कीजिए।
a₅=a+4d=18
a₁₂=a+11d=39
घटाने पर:
7d=21
d=3
a+12=18
a=6
अतः a=6,d=3।
a₁₂=a+11d=39
घटाने पर:
7d=21
d=3
a+12=18
a=6
अतः a=6,d=3।
प्रश्न. 2,5,8,... के प्रथम 30 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
a=2,d=3,n=30
S₃₀=30/2[4+29×3]
=15(4+87)
=15×91
=1365।
S₃₀=30/2[4+29×3]
=15(4+87)
=15×91
=1365।
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Maths • Notes • Exam Preparationअध्याय 6 — त्रिभुज (05 अंक)
1. समरूप आकृतियाँ
जिन आकृतियों का आकार समान हो लेकिन आकारमान अलग हो सकता है, वे समरूप आकृतियाँ कहलाती हैं।
2. त्रिभुजों की समरूपता की कसौटियाँ
- AA कसौटी
- SAS कसौटी
- SSS कसौटी
3. समरूप त्रिभुजों में
संगत कोण बराबर और संगत भुजाएँ समान अनुपात में होती हैं।
2 अंक अभ्यास
प्रश्न. AA समरूपता कसौटी क्या है?
यदि दो त्रिभुजों के दो-दो संगत कोण बराबर हों, तो तीसरे कोण भी बराबर होंगे और दोनों त्रिभुज AA कसौटी द्वारा समरूप होंगे।
प्रश्न. समरूप त्रिभुजों में संगत भुजाओं का क्या संबंध होता है?
समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समान अनुपात में होती हैं।
3 अंक अभ्यास
प्रश्न. यदि ΔABC ~ ΔDEF और AB/DE=2/3 हो, तो AC=8 cm होने पर DF ज्ञात कीजिए।
AB/DE=AC/DF
2/3=8/DF
2DF=24
DF=12 cm।
2/3=8/DF
2DF=24
DF=12 cm।
4 अंक अभ्यास
प्रश्न. सिद्ध कीजिए कि यदि दो त्रिभुजों के दो कोण क्रमशः बराबर हों तो वे समरूप होते हैं।
मान लें ΔABC और ΔDEF में
∠A=∠D तथा ∠B=∠E।
त्रिभुज के कोणों के योग से:
∠C=180°−(∠A+∠B)
और
∠F=180°−(∠D+∠E)
चूँकि ∠A=∠D और ∠B=∠E,
अतः ∠C=∠F।
इसलिए तीनों संगत कोण बराबर हैं। अतः ΔABC ~ ΔDEF।
∠A=∠D तथा ∠B=∠E।
त्रिभुज के कोणों के योग से:
∠C=180°−(∠A+∠B)
और
∠F=180°−(∠D+∠E)
चूँकि ∠A=∠D और ∠B=∠E,
अतः ∠C=∠F।
इसलिए तीनों संगत कोण बराबर हैं। अतः ΔABC ~ ΔDEF।
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Maths • Notes • Exam Preparationअध्याय 7 — निर्देशांक ज्यामिति (05 अंक)
1. दूरी सूत्र
d=√[(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²]
2. विभाजन सूत्र
यदि P, A(x₁,y₁) और B(x₂,y₂) को m:n में आंतरिक रूप से विभाजित करता है:
P=((mx₂+nx₁)/(m+n),(my₂+ny₁)/(m+n))
3. मध्यबिंदु
((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2)
2 अंक अभ्यास
प्रश्न. (2,3) और (6,6) के बीच दूरी ज्ञात कीजिए।
d=√[(6−2)²+(6−3)²]
=√(16+9)
=5
=√(16+9)
=5
प्रश्न. दो बिंदुओं का मध्यबिंदु सूत्र लिखिए।
((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2)
3 अंक अभ्यास
प्रश्न. (1,2) और (7,8) को 1:2 में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
P=((1×7+2×1)/3,(1×8+2×2)/3)
=(3,4)।
=(3,4)।
4 अंक अभ्यास
प्रश्न. सिद्ध कीजिए कि बिंदु (1,2), (3,6) और (5,10) समरेखीय हैं।
AB=√[(3−1)²+(6−2)²]
=√20
BC=√[(5−3)²+(10−6)²] =√20
AC=√[(5−1)²+(10−2)²] =√80=2√20
क्योंकि AB+BC=AC, इसलिए तीनों बिंदु एक ही सीधी रेखा पर हैं। अतः वे समरेखीय हैं।
BC=√[(5−3)²+(10−6)²] =√20
AC=√[(5−1)²+(10−2)²] =√80=2√20
क्योंकि AB+BC=AC, इसलिए तीनों बिंदु एक ही सीधी रेखा पर हैं। अतः वे समरेखीय हैं।
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Maths • Notes • Exam Preparationअध्याय 8 — त्रिकोणमिति का परिचय (05 अंक)
1. त्रिकोणमितीय अनुपात
sinθ=लंब/कर्ण
cosθ=आधार/कर्ण
tanθ=लंब/आधार
cosecθ=1/sinθ
secθ=1/cosθ
cotθ=1/tanθ
2. सर्वसमिकाएँ
sin²θ+cos²θ=1
1+tan²θ=sec²θ
1+cot²θ=cosec²θ
3. विशिष्ट कोण
| θ | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| sinθ | 0 | 1/2 | 1/√2 | √3/2 | 1 |
| cosθ | 1 | √3/2 | 1/√2 | 1/2 | 0 |
| tanθ | 0 | 1/√3 | 1 | √3 | परिभाषित नहीं |
2 अंक अभ्यास
प्रश्न. sin30° और cos60° का मान बताइए।
sin30°=1/2 तथा cos60°=1/2।
प्रश्न. tan45° का मान क्या है?
tan45°=1
3 अंक अभ्यास
प्रश्न. यदि tanθ=3/4 हो तो sinθ और cosθ ज्ञात कीजिए।
लंब=3k, आधार=4k
कर्ण=5k
sinθ=3/5
cosθ=4/5।
कर्ण=5k
sinθ=3/5
cosθ=4/5।
4 अंक अभ्यास
प्रश्न. सिद्ध कीजिए: (1−sinθ)(1+sinθ)=cos²θ.
LHS=(1−sinθ)(1+sinθ)
=1−sin²θ
sin²θ+cos²θ=1
⇒1−sin²θ=cos²θ
अतः LHS=RHS
सिद्ध हुआ।
=1−sin²θ
sin²θ+cos²θ=1
⇒1−sin²θ=cos²θ
अतः LHS=RHS
सिद्ध हुआ।
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Maths • Notes • Exam Preparationअध्याय 9 — त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग (05 अंक)
1. ऊँचाई और दूरी
यदि किसी वस्तु की ऊँचाई या दूरी प्रत्यक्ष रूप से ज्ञात न हो, तो कोणों और त्रिकोणमितीय अनुपातों की सहायता से उसे ज्ञात किया जाता है।
2. ऊँचाई कोण
जब वस्तु को देखने वाली दृष्टि-रेखा क्षैतिज रेखा से ऊपर हो, तो angle of elevation कहलाता है।
3. अवनमन कोण
जब दृष्टि-रेखा क्षैतिज से नीचे हो, तो angle of depression कहलाता है।
2 अंक अभ्यास
प्रश्न. 20 m ऊँचे खंभे की छाया 20/√3 m है। सूर्य का उन्नयन कोण ज्ञात कीजिए।
tanθ=ऊँचाई/छाया
=20/(20/√3)=√3
अतः θ=60°।
=20/(20/√3)=√3
अतः θ=60°।
3 अंक अभ्यास
प्रश्न. किसी टॉवर से 20 m दूर बिंदु से शीर्ष का उन्नयन कोण 45° है। टॉवर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
tan45°=h/20
1=h/20
अतः h=20 m।
1=h/20
अतः h=20 m।
4 अंक अभ्यास
प्रश्न. किसी भवन की ऊँचाई का उन्नयन कोण 30° है। भवन से 20√3 m दूर खड़े व्यक्ति की स्थिति में भवन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
tan30°=h/(20√3)
1/√3=h/(20√3)
h=20
अतः भवन की ऊँचाई 20 m है।
1/√3=h/(20√3)
h=20
अतः भवन की ऊँचाई 20 m है।
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Maths • Applications • Numericalsअध्याय 10 — वृत्त (05 अंक)
1. स्पर्श रेखा
वह रेखा जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर काटती/स्पर्श करती है, स्पर्श रेखा कहलाती है।
2. स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या
वृत्त के स्पर्श बिंदु पर खींची गई त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है।
3. बाहरी बिंदु से स्पर्श रेखाएँ
वृत्त के बाहर स्थित किसी बिंदु से वृत्त पर अधिकतम दो स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
2 अंक अभ्यास
प्रश्न. स्पर्श रेखा और त्रिज्या के बीच क्या संबंध है?
स्पर्श बिंदु पर खींची गई त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है।
प्रश्न. एक बाहरी बिंदु से कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?
दो स्पर्श रेखाएँ।
3 अंक अभ्यास
प्रश्न. यदि OP=13 cm और वृत्त की त्रिज्या 5 cm है, तो P से स्पर्श रेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
OT=5 cm तथा OP=13 cm।
OT ⟂ PT
PT=√(OP²−OT²)
=√(169−25)
=√144
=12 cm।
OT ⟂ PT
PT=√(OP²−OT²)
=√(169−25)
=√144
=12 cm।
4 अंक अभ्यास
प्रश्न. सिद्ध कीजिए कि किसी बाहरी बिंदु से खींची गई दोनों स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं।
मान लें बाहरी बिंदु P से वृत्त को PA और PB स्पर्श रेखाएँ हैं तथा O केंद्र है।
OA ⟂ PA और OB ⟂ PB।
ΔOAP और ΔOBP में:
OA=OB (त्रिज्याएँ), OP=OP (सामान्य), ∠OAP=∠OBP=90°।
अतः RHS कसौटी से ΔOAP ≅ ΔOBP।
इसलिए PA=PB।
OA ⟂ PA और OB ⟂ PB।
ΔOAP और ΔOBP में:
OA=OB (त्रिज्याएँ), OP=OP (सामान्य), ∠OAP=∠OBP=90°।
अतः RHS कसौटी से ΔOAP ≅ ΔOBP।
इसलिए PA=PB।
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Maths • Geometry • Exam Preparationअध्याय 11 — वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल (05 अंक)
1. वृत्त का क्षेत्रफल
A=πr²
2. परिधि
C=2πr
3. त्रिज्यखंड (Sector)
Sector Area = θ/360 × πr²
4. चाप की लंबाई
Arc Length = θ/360 × 2πr
5. वृत्तखंड (Segment)
Segment Area = Sector Area − Triangle Area
2 अंक अभ्यास
प्रश्न. 7 cm त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
A=πr²
=22/7×49
=154 cm²।
=22/7×49
=154 cm²।
प्रश्न. 90° त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल सूत्र लिखिए।
90° sector area = 90/360 × πr² = πr²/4।
3 अंक अभ्यास
प्रश्न. 14 cm त्रिज्या और 90° के sector का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
=90/360×22/7×14²
=1/4×22/7×196
=154 cm²।
=1/4×22/7×196
=154 cm²।
4 अंक अभ्यास
प्रश्न. 14 cm त्रिज्या वाले वृत्त के 90° sector की arc length तथा area ज्ञात कीजिए।
Arc=90/360×2πr
=1/4×2×22/7×14
=22 cm।
Area=90/360×πr²
=1/4×22/7×196
=154 cm²।
=1/4×2×22/7×14
=22 cm।
Area=90/360×πr²
=1/4×22/7×196
=154 cm²।
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Maths • Mensuration • Exam Preparationअध्याय 12 — पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (06 अंक)
1. घनाभ
TSA=2(lb+bh+hl)
V=lbh
2. घन
TSA=6a²
V=a³
3. बेलन
CSA=2πrh
TSA=2πr(r+h)
V=πr²h
4. शंकु
l=√(r²+h²)
CSA=πrl
V=1/3πr²h
5. गोला
Surface Area=4πr²
V=4/3πr³
2 अंक अभ्यास
प्रश्न. बेलन का आयतन सूत्र लिखिए।
V=πr²h
प्रश्न. शंकु की तिर्यक ऊँचाई का सूत्र लिखिए।
l=√(r²+h²)
3 अंक अभ्यास
प्रश्न. 7 cm त्रिज्या और 10 cm ऊँचाई वाले बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए।
V=πr²h
=22/7×49×10
=1540 cm³।
=22/7×49×10
=1540 cm³।
4 अंक अभ्यास
प्रश्न. 7 cm त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात कीजिए।
Surface Area=4πr²
=4×22/7×49
=616 cm²
Volume=4/3πr³
=4/3×22/7×343
=1437⅓ cm³।
=4×22/7×49
=616 cm²
Volume=4/3πr³
=4/3×22/7×343
=1437⅓ cm³।
प्रश्न. एक ठोस बेलन जिसकी त्रिज्या 3 cm और ऊँचाई 8 cm है, उसका volume ज्ञात कीजिए।
V=π×3²×8
=72π
अतः लगभग 226.08 cm³।
=72π
अतः लगभग 226.08 cm³।
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Maths • Mensuration • Numericalsअध्याय 13 — सांख्यिकी (05 अंक)
1. वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य
वर्गीकृत आँकड़ों के लिए direct, assumed mean और step-deviation methods का उपयोग किया जा सकता है।
Mean = Σfᵢxᵢ / Σfᵢ
2. बहुलक
Mode = l + [(f₁−f₀)/(2f₁−f₀−f₂)]h
3. माध्यक
Median = l + [(n/2−cf)/f]h
2 अंक अभ्यास
प्रश्न. माध्य ज्ञात करने का direct method सूत्र लिखिए।
Mean = Σfᵢxᵢ / Σfᵢ
प्रश्न. माध्यक का सूत्र लिखिए।
Median=l+[(n/2−cf)/f]h
3 अंक अभ्यास
प्रश्न. निम्न आँकड़ों का माध्य ज्ञात कीजिए: x: 10,20,30 तथा f: 2,3,5।
Σf=2+3+5=10
Σfx=20+60+150=230
Mean=230/10
=23।
Σfx=20+60+150=230
Mean=230/10
=23।
4 अंक अभ्यास
प्रश्न. निम्न वर्गीकृत आँकड़ों के लिए माध्य की गणना कीजिए: वर्ग 0–10, 10–20, 20–30 तथा आवृत्ति 2, 3, 5।
वर्ग-मध्य x: 5,15,25
fx: 10,45,125
Σf=10
Σfx=180
Mean=Σfx/Σf
=180/10
=18।
fx: 10,45,125
Σf=10
Σfx=180
Mean=Σfx/Σf
=180/10
=18।
प्रश्न. Mode का सूत्र लिखिए और उसमें प्रतीकों का अर्थ बताइए।
Mode = l + [(f₁−f₀)/(2f₁−f₀−f₂)]h
जहाँ l = modal class की lower boundary, f₁ = modal class की frequency, f₀ = उससे पहले की frequency, f₂ = उससे बाद की frequency तथा h = class size है।
जहाँ l = modal class की lower boundary, f₁ = modal class की frequency, f₀ = उससे पहले की frequency, f₂ = उससे बाद की frequency तथा h = class size है।
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Maths • Statistics • Exam Preparationअध्याय 14 — प्रायिकता (06 अंक)
1. प्रायिकता का अर्थ
किसी घटना के घटित होने की संभावना को प्रायिकता कहते हैं।
2. सैद्धांतिक प्रायिकता
P(E)=अनुकूल परिणामों की संख्या / कुल संभावित परिणामों की संख्या
3. सीमा
0≤P(E)≤1
4. पूरक घटना
P(Ē)=1−P(E)
2 अंक अभ्यास
प्रश्न. एक सिक्का उछालने पर Head आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
कुल परिणाम = 2: H,T
अनुकूल परिणाम = 1
P(H)=1/2
अतः 1/2।
अनुकूल परिणाम = 1
P(H)=1/2
अतः 1/2।
प्रश्न. पासे पर सम संख्या आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
अनुकूल परिणाम = 2,4,6 = 3
कुल परिणाम = 6
P(E)=3/6=1/2।
कुल परिणाम = 6
P(E)=3/6=1/2।
3 अंक अभ्यास
प्रश्न. एक थैले में 3 लाल और 2 नीली गेंदें हैं। लाल गेंद निकलने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
कुल गेंदें=5
लाल=3
P(लाल)=3/5
अतः 3/5।
लाल=3
P(लाल)=3/5
अतः 3/5।
4 अंक अभ्यास
प्रश्न. एक पासा फेंका जाता है। 3 से बड़ी संख्या आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए तथा उसके पूरक की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
कुल परिणाम={1,2,3,4,5,6}
3 से बड़ी संख्याएँ={4,5,6}
अनुकूल परिणाम=3
P(E)=3/6=1/2
पूरक घटना: 3 या उससे छोटी संख्या।
P(Ē)=1−1/2=1/2।
3 से बड़ी संख्याएँ={4,5,6}
अनुकूल परिणाम=3
P(E)=3/6=1/2
पूरक घटना: 3 या उससे छोटी संख्या।
P(Ē)=1−1/2=1/2।
प्रश्न. दो सिक्के एक साथ उछाले जाते हैं। कम-से-कम एक Head आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
नमूना समुच्चय={HH, HT, TH, TT}
कम-से-कम एक Head वाले परिणाम={HH,HT,TH}
अनुकूल परिणाम=3
कुल=4
अतः प्रायिकता=3/4।
कम-से-कम एक Head वाले परिणाम={HH,HT,TH}
अनुकूल परिणाम=3
कुल=4
अतः प्रायिकता=3/4।
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Maths • Probability • Exam Preparationकक्षा 10वीं गणित — अतिरिक्त महत्वपूर्ण अभ्यास प्रश्न एवं मॉडल उत्तर
अध्याय 1 — वास्तविक संख्याएँ
प्रश्न 1. 156 और 208 का HCF ज्ञात कीजिए।
208=156×1+52
156=52×3+0
अतः HCF=52।
156=52×3+0
अतः HCF=52।
प्रश्न 2. 12, 18 और 30 का LCM ज्ञात कीजिए।
12=2²×3
18=2×3²
30=2×3×5
अतः LCM=2²×3²×5=180।
18=2×3²
30=2×3×5
अतः LCM=2²×3²×5=180।
प्रश्न 3. सिद्ध कीजिए कि 5√3 अपरिमेय है।
यदि 5√3 परिमेय हो, तो इसे 5 से भाग देने पर √3 भी परिमेय होगा। लेकिन √3 अपरिमेय है। यह विरोधाभास है। अतः 5√3 अपरिमेय है।
प्रश्न 4. यदि HCF(72,120)=24 है, तो LCM ज्ञात कीजिए।
HCF×LCM=72×120
24×LCM=8640
LCM=360।
24×LCM=8640
LCM=360।
प्रश्न 5. दो संख्याओं का HCF=18 और LCM=360 है। यदि एक संख्या 90 है, तो दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए।
18×360=90×x
x=6480/90
अतः x=72।
x=6480/90
अतः x=72।
अध्याय 2 — बहुपद
प्रश्न 6. x²−9x+20 के शून्यक ज्ञात कीजिए।
x²−9x+20=(x−4)(x−5)
अतः शून्यक 4 और 5 हैं।
अतः शून्यक 4 और 5 हैं।
प्रश्न 7. यदि किसी द्विघात बहुपद के शून्यकों का योग 7 और गुणनफल 10 है, तो बहुपद बनाइए।
p(x)=x²−(योग)x+(गुणनफल)
=x²−7x+10
अतः p(x)=x²−7x+10।
=x²−7x+10
अतः p(x)=x²−7x+10।
प्रश्न 8. 3x²−11x+6 के शून्यक ज्ञात कीजिए।
3x²−11x+6=(3x−2)(x−3)
अतः x=2/3 और x=3।
अतः x=2/3 और x=3।
प्रश्न 9. यदि 2 और −5 किसी बहुपद के शून्यक हैं, तो वह द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए।
p(x)=(x−2)(x+5)
=x²+3x−10
अतः x²+3x−10।
=x²+3x−10
अतः x²+3x−10।
प्रश्न 10. बहुपद x²+4x+7 के शून्यकों की प्रकृति ज्ञात कीजिए।
D=b²−4ac=16−28=−12
क्योंकि D<0, अतः कोई वास्तविक शून्यक नहीं है।
क्योंकि D<0, अतः कोई वास्तविक शून्यक नहीं है।
अध्याय 3 — दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म
प्रश्न 11. हल कीजिए: 3x+2y=12 तथा x−y=1।
दूसरे से x=y+1।
पहले में:
3(y+1)+2y=12
5y=9
y=9/5
x=14/5
अतः (x,y)=(14/5,9/5)।
पहले में:
3(y+1)+2y=12
5y=9
y=9/5
x=14/5
अतः (x,y)=(14/5,9/5)।
प्रश्न 12. हल कीजिए: 5x−3y=7 और 2x+y=4।
दूसरे से y=4−2x।
5x−3(4−2x)=7
5x−12+6x=7
11x=19
x=19/11
y=4−38/11=6/11
अतः x=19/11,y=6/11।
5x−3(4−2x)=7
5x−12+6x=7
11x=19
x=19/11
y=4−38/11=6/11
अतः x=19/11,y=6/11।
प्रश्न 13. निम्न समीकरणों की ग्राफीय स्थिति बताइए: x+y=5 तथा 2x+2y=10।
दूसरा समीकरण पहले का 2 गुना है। इसलिए दोनों एक ही रेखा को दर्शाते हैं।
अतः अनंत हल हैं।
अतः अनंत हल हैं।
प्रश्न 14. निम्न समीकरणों की स्थिति बताइए: 2x+3y=7 तथा 4x+6y=15।
a₁/a₂=1/2
b₁/b₂=1/2
c₁/c₂=7/15
अतः a₁/a₂=b₁/b₂≠c₁/c₂।
इसलिए कोई हल नहीं।
b₁/b₂=1/2
c₁/c₂=7/15
अतः a₁/a₂=b₁/b₂≠c₁/c₂।
इसलिए कोई हल नहीं।
अध्याय 4 — द्विघात समीकरण
प्रश्न 15. x²−8x+15=0 हल कीजिए।
x²−8x+15=(x−3)(x−5)
अतः x=3,5।
अतः x=3,5।
प्रश्न 16. 2x²+7x+3=0 हल कीजिए।
2x²+7x+3=(2x+1)(x+3)
अतः x=−1/2,−3।
अतः x=−1/2,−3।
प्रश्न 17. x²+4x+4=0 के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए।
D=4²−4(1)(4)=0
अतः दो समान वास्तविक मूल होंगे।
मूल = −2,−2।
अतः दो समान वास्तविक मूल होंगे।
मूल = −2,−2।
प्रश्न 18. ऐसी द्विघात समीकरण बनाइए जिसके मूल 3 और −2 हों।
(x−3)(x+2)=0
अतः x²−x−6=0।
अतः x²−x−6=0।
प्रश्न 19. यदि द्विघात समीकरण x²−kx+12=0 के मूलों का योग 7 है, तो k ज्ञात कीजिए।
मूलों का योग=k
अतः k=7।
अतः k=7।
अध्याय 5 — समांतर श्रेढ़ियाँ
प्रश्न 20. A.P. 7,11,15,... का 20वाँ पद ज्ञात कीजिए।
a=7,d=4
a₂₀=7+19×4
=83।
a₂₀=7+19×4
=83।
प्रश्न 21. A.P. 10,8,6,... का 15वाँ पद ज्ञात कीजिए।
a=10,d=−2
a₁₅=10+14(−2)
=−18।
a₁₅=10+14(−2)
=−18।
प्रश्न 22. 4,7,10,... के प्रथम 25 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
a=4,d=3,n=25
S₂₅=25/2[8+24×3]
=25/2×80
=1000।
S₂₅=25/2[8+24×3]
=25/2×80
=1000।
प्रश्न 23. किसी A.P. का 4था पद 12 और 10वाँ पद 30 है। प्रथम पद और common difference ज्ञात कीजिए।
a+3d=12
a+9d=30
6d=18 ⇒ d=3
a=12−9=3
अतः a=3,d=3।
a+9d=30
6d=18 ⇒ d=3
a=12−9=3
अतः a=3,d=3।
अध्याय 6 — त्रिभुज
प्रश्न 24. त्रिभुजों की समरूपता की तीन कसौटियाँ लिखिए।
1. AA कसौटी
2. SAS कसौटी
3. SSS कसौटी
2. SAS कसौटी
3. SSS कसौटी
प्रश्न 25. यदि ΔABC~ΔPQR तथा AB/PQ=3/5 और BC=9 cm है, तो QR ज्ञात कीजिए।
AB/PQ=BC/QR
3/5=9/QR
3QR=45
अतः QR=15 cm।
3/5=9/QR
3QR=45
अतः QR=15 cm।
प्रश्न 26. यदि दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाओं का अनुपात 2:3 है, तो उनके क्षेत्रों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रों का अनुपात = संगत भुजाओं के अनुपात का वर्ग।
=(2/3)²=4:9।
=(2/3)²=4:9।
प्रश्न 27. सिद्ध कीजिए कि समरूप त्रिभुजों की संगत ऊँचाइयाँ भी समान अनुपात में होती हैं।
दो समरूप त्रिभुजों में सभी संगत रैखिक माप समान अनुपात में होते हैं। ऊँचाई भी संगत रैखिक माप है। इसलिए यदि संगत भुजाओं का अनुपात k:l है, तो संगत ऊँचाइयों का अनुपात भी k:l होगा।
अध्याय 7 — निर्देशांक ज्यामिति
प्रश्न 28. (−2,3) और (4,−5) के बीच दूरी ज्ञात कीजिए।
d=√[(4+2)²+(−5−3)²]
=√(36+64)
=10।
=√(36+64)
=10।
प्रश्न 29. बिंदु (2,−3) और (8,9) का मध्यबिंदु ज्ञात कीजिए।
=((2+8)/2,(-3+9)/2)
=(5,3)।
=(5,3)।
प्रश्न 30. A(1,2), B(7,8) को 2:1 में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
P=((2×7+1×1)/3,(2×8+1×2)/3)
=(5,6)।
=(5,6)।
प्रश्न 31. सिद्ध कीजिए कि (0,0),(3,4),(6,8) समरेखीय हैं।
AB=5
BC=5
AC=10
AB+BC=AC
अतः तीनों बिंदु समरेखीय हैं।
BC=5
AC=10
AB+BC=AC
अतः तीनों बिंदु समरेखीय हैं।
अध्याय 8 — त्रिकोणमिति का परिचय
प्रश्न 32. यदि sinθ=3/5 है और θ न्यून कोण है, तो cosθ और tanθ ज्ञात कीजिए।
कर्ण=5k, लंब=3k
आधार=4k
अतः cosθ=4/5
और tanθ=3/4।
आधार=4k
अतः cosθ=4/5
और tanθ=3/4।
प्रश्न 33. सिद्ध कीजिए: sec²θ−tan²θ=1.
हम जानते हैं:
1+tan²θ=sec²θ
अतः sec²θ−tan²θ=1।
सिद्ध हुआ।
1+tan²θ=sec²θ
अतः sec²θ−tan²θ=1।
सिद्ध हुआ।
प्रश्न 34. यदि tanθ=1/√3 है, तो θ का मान ज्ञात कीजिए, जहाँ θ न्यून कोण है।
tan30°=1/√3
अतः θ=30°।
अतः θ=30°।
प्रश्न 35. सिद्ध कीजिए: (secθ−tanθ)(secθ+tanθ)=1.
=(sec²θ−tan²θ)
=1
अतः सिद्ध हुआ।
=1
अतः सिद्ध हुआ।
अध्याय 9 — त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग
प्रश्न 36. किसी पेड़ की छाया 10 m है और सूर्य का उन्नयन कोण 60° है। पेड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
tan60°=h/10
√3=h/10
अतः h=10√3 m।
√3=h/10
अतः h=10√3 m।
प्रश्न 37. 30 m ऊँचे टॉवर के शीर्ष का उन्नयन कोण 30° है। पर्यवेक्षक से टॉवर की दूरी ज्ञात कीजिए।
tan30°=30/d
1/√3=30/d
d=30√3 m।
1/√3=30/d
d=30√3 m।
प्रश्न 38. किसी भवन के शीर्ष से जमीन पर स्थित बिंदु का अवनमन कोण 45° है। यदि भवन की ऊँचाई 25 m है, तो बिंदु की भवन से दूरी ज्ञात कीजिए।
अवनमन कोण = उन्नयन कोण =45°।
tan45°=25/d
1=25/d
अतः d=25 m।
tan45°=25/d
1=25/d
अतः d=25 m।
अध्याय 10 — वृत्त
प्रश्न 39. सिद्ध कीजिए कि स्पर्श बिंदु पर radius tangent पर लंब होती है।
वृत्त के केंद्र O और स्पर्श बिंदु P को मिलाइए। यदि OP स्पर्श रेखा पर लंब न हो, तो केंद्र से स्पर्श रेखा की दूरी radius से कम होगी और रेखा वृत्त को दो बिंदुओं पर काटेगी। इसलिए केवल एक स्पर्श बिंदु के लिए OP को स्पर्श रेखा पर लंब होना आवश्यक है। अतः OP⊥tangent।
प्रश्न 40. यदि बाहरी बिंदु से खींची गई tangent की लंबाई 12 cm और केंद्र से बिंदु की दूरी 13 cm है, तो त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
OP²=OT²+PT²
13²=r²+12²
169=r²+144
r²=25
अतः r=5 cm।
13²=r²+12²
169=r²+144
r²=25
अतः r=5 cm।
प्रश्न 41. किसी बाहरी बिंदु P से PA और PB दो tangents हैं। यदि PA=7 cm, तो PB ज्ञात कीजिए।
एक बाहरी बिंदु से खींची गई दोनों स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं।
अतः PB=7 cm।
अतः PB=7 cm।
अध्याय 11 — वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल
प्रश्न 42. 21 cm त्रिज्या वाले वृत्त की परिधि ज्ञात कीजिए।
C=2πr
=2×22/7×21
=132 cm।
=2×22/7×21
=132 cm।
प्रश्न 43. 21 cm त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
A=πr²
=22/7×441
=1386 cm²।
=22/7×441
=1386 cm²।
प्रश्न 44. 120° sector, जिसकी त्रिज्या 21 cm है, का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Area=120/360×πr²
=1/3×22/7×441
=462 cm²।
=1/3×22/7×441
=462 cm²।
अध्याय 12 — पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
प्रश्न 45. घन की भुजा 6 cm है। उसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात कीजिए।
TSA=6a²=6×36=216 cm²
V=a³=216=216 cm³।
V=a³=216=216 cm³।
प्रश्न 46. बेलन की त्रिज्या 7 cm और ऊँचाई 5 cm है। उसका CSA और आयतन ज्ञात कीजिए।
CSA=2πrh
=2×22/7×7×5=220 cm²
V=πr²h
=22/7×49×5=770 cm³।
=2×22/7×7×5=220 cm²
V=πr²h
=22/7×49×5=770 cm³।
प्रश्न 47. शंकु की त्रिज्या 7 cm और ऊँचाई 24 cm है। तिर्यक ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
l=√(r²+h²)
=√(49+576)
=√625
=25 cm।
=√(49+576)
=√625
=25 cm।
प्रश्न 48. 3 cm त्रिज्या वाले गोले का आयतन ज्ञात कीजिए।
V=4/3πr³
=4/3×π×27
=36π cm³।
=4/3×π×27
=36π cm³।
अध्याय 13 — सांख्यिकी
प्रश्न 49. निम्न आँकड़ों का माध्य ज्ञात कीजिए: 4,6,8,10,12।
Mean=(4+6+8+10+12)/5
=40/5
=8।
=40/5
=8।
प्रश्न 50. आँकड़े 3,5,5,7,8,5,9 का बहुलक ज्ञात कीजिए।
5 सबसे अधिक बार अर्थात् 3 बार आया है।
अतः Mode=5।
अतः Mode=5।
प्रश्न 51. आँकड़े 2,4,6,8,10 का माध्यक ज्ञात कीजिए।
कुल 5 पद हैं। मध्य पद तीसरा है।
अतः Median=6।
अतः Median=6।
प्रश्न 52. यदि किसी data में Mean=20 और observations की संख्या 10 है, तो कुल योग ज्ञात कीजिए।
Mean=Σx/n
20=Σx/10
अतः Σx=200।
20=Σx/10
अतः Σx=200।
अध्याय 14 — प्रायिकता
प्रश्न 53. पासा फेंकने पर 5 आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
अनुकूल परिणाम=1
कुल परिणाम=6
अतः P(5)=1/6।
कुल परिणाम=6
अतः P(5)=1/6।
प्रश्न 54. पासा फेंकने पर विषम संख्या आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
विषम={1,3,5}
अनुकूल=3, कुल=6
P=3/6=1/2।
अनुकूल=3, कुल=6
P=3/6=1/2।
प्रश्न 55. एक सिक्का दो बार उछाला जाता है। दोनों बार Tail आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Sample space={HH,HT,TH,TT}
अनुकूल परिणाम=TT
अतः P=1/4।
अनुकूल परिणाम=TT
अतः P=1/4।
प्रश्न 56. एक थैले में 5 लाल, 3 नीली और 2 हरी गेंदें हैं। नीली गेंद निकालने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
कुल गेंदें=10
नीली=3
अतः P(नीली)=3/10।
नीली=3
अतः P(नीली)=3/10।
प्रश्न 57. यदि P(E)=0.35 है, तो P(not E) ज्ञात कीजिए।
P(Ē)=1−P(E)
=1−0.35
=0.65।
=1−0.35
=0.65।
प्रश्न 58. दो सिक्के उछालने पर कम-से-कम एक Tail आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Sample space={HH,HT,TH,TT}
कम-से-कम एक Tail={HT,TH,TT}=3 परिणाम
अतः P=3/4।
कम-से-कम एक Tail={HT,TH,TT}=3 परिणाम
अतः P=3/4।
मिश्रित उच्च-स्तरीय अभ्यास — Standard के लिए उपयोगी
प्रश्न 59. यदि α और β, 2x²−5x−3 के शून्यक हैं, तो α²+β² ज्ञात कीजिए।
α+β=5/2
αβ=−3/2
α²+β²=(α+β)²−2αβ
=(5/2)²−2(−3/2)
=25/4+3
=37/4।
αβ=−3/2
α²+β²=(α+β)²−2αβ
=(5/2)²−2(−3/2)
=25/4+3
=37/4।
प्रश्न 60. यदि tanθ=3/4, तो (1−sinθ)/(1+sinθ) का मान ज्ञात कीजिए।
tanθ=3/4 ⇒ sinθ=3/5
अतः (1−sinθ)/(1+sinθ) =(1−3/5)/(1+3/5) =(2/5)/(8/5) =1/4।
अतः (1−sinθ)/(1+sinθ) =(1−3/5)/(1+3/5) =(2/5)/(8/5) =1/4।
प्रश्न 61. किसी A.P. में a₅=17 और a₁₁=35 है। a₂₀ ज्ञात कीजिए।
a+4d=17
a+10d=35
6d=18 ⇒ d=3
a=5
a₂₀=5+19×3
=62।
a+10d=35
6d=18 ⇒ d=3
a=5
a₂₀=5+19×3
=62।
प्रश्न 62. एक आयत की लंबाई उसकी चौड़ाई से 5 cm अधिक है और उसका क्षेत्रफल 150 cm² है। आयाम ज्ञात कीजिए।
चौड़ाई=x
लंबाई=x+5
x(x+5)=150
x²+5x−150=0
(x+15)(x−10)=0
x=10 या −15।
लंबाई=15 cm।
अतः आयाम 10 cm × 15 cm।
लंबाई=x+5
x(x+5)=150
x²+5x−150=0
(x+15)(x−10)=0
x=10 या −15।
लंबाई=15 cm।
अतः आयाम 10 cm × 15 cm।
प्रश्न 63. किसी वृत्त की त्रिज्या 14 cm है। 90° sector और शेष वृत्त के क्षेत्रफल में अंतर ज्ञात कीजिए।
वृत्त का क्षेत्रफल=π×14²=616 cm²
90° sector=616/4=154 cm²
शेष=616−154=462 cm²
अंतर=462−154=308 cm²।
90° sector=616/4=154 cm²
शेष=616−154=462 cm²
अंतर=462−154=308 cm²।
प्रश्न 64. किसी परीक्षा में 40 विद्यार्थियों के अंक का औसत 36 है। कुल अंकों का योग ज्ञात कीजिए।
Mean=Total/n
36=Total/40
Total=1440।
36=Total/40
Total=1440।
प्रश्न 65. दो पासे एक साथ फेंके जाते हैं। योग 7 आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
कुल संभावित परिणाम=36।
योग 7 वाले परिणाम: (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)
अनुकूल परिणाम=6
P=6/36=1/6।
योग 7 वाले परिणाम: (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)
अनुकूल परिणाम=6
P=6/36=1/6।
अतिरिक्त प्रश्नों से क्या-क्या तैयार करें?
| अध्याय | अतिरिक्त अभ्यास में शामिल मुख्य क्षेत्र |
|---|---|
| वास्तविक संख्याएँ | HCF, LCM, Euclid algorithm, irrationality proof |
| बहुपद | Zeroes, polynomial formation, discriminant |
| रैखिक समीकरण | Substitution, elimination, graphical conditions |
| द्विघात समीकरण | Factorisation, formula, discriminant, word problem |
| A.P. | nth term, sum, missing terms |
| त्रिभुज | Similarity, side ratio, area ratio, proof |
| निर्देशांक | Distance, section, midpoint, collinearity |
| त्रिकोणमिति | Ratios, identities, standard values |
| ऊँचाई-दूरी | Height, distance, elevation, depression |
| वृत्त | Tangent theorem, tangent length, proof |
| वृत्तीय क्षेत्र | Circumference, area, sector |
| पृष्ठीय क्षेत्रफल | Cube, cylinder, cone, sphere |
| सांख्यिकी | Mean, median, mode |
| प्रायिकता | Dice, coin, balls, complement, two dice |
Basic परीक्षा: पहले सीधे formula-based प्रश्न, सामान्य calculations और छोटे word problems पक्के करें।
Standard परीक्षा: उपर्युक्त सभी के साथ proof, reasoning, mixed concepts और multi-step word problems का अभ्यास करें।
Standard परीक्षा: उपर्युक्त सभी के साथ proof, reasoning, mixed concepts और multi-step word problems का अभ्यास करें।
कक्षा 10वीं गणित — अति महत्वपूर्ण सूत्रावली
| अध्याय | मुख्य सूत्र |
|---|---|
| वास्तविक संख्याएँ | HCF×LCM=a×b |
| बहुपद | α+β=−b/a, αβ=c/a |
| रैखिक समीकरण | a₁/a₂, b₁/b₂, c₁/c₂ से हल की स्थिति |
| द्विघात समीकरण | x=[−b±√(b²−4ac)]/2a |
| विविक्तकर | D=b²−4ac |
| A.P. | aₙ=a+(n−1)d |
| A.P. | Sₙ=n/2[2a+(n−1)d] |
| त्रिभुज | समरूप त्रिभुजों में संगत भुजाओं का अनुपात समान |
| निर्देशांक | d=√[(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²] |
| निर्देशांक | Section formula = ((mx₂+nx₁)/(m+n),(my₂+ny₁)/(m+n)) |
| त्रिकोणमिति | sin²θ+cos²θ=1 |
| त्रिकोणमिति | 1+tan²θ=sec²θ |
| त्रिकोणमिति | 1+cot²θ=cosec²θ |
| वृत्त | स्पर्श बिंदु पर radius ⟂ tangent |
| वृत्तीय क्षेत्र | A=πr² |
| वृत्तीय क्षेत्र | Sector area=θ/360×πr² |
| घनाभ | V=lbh |
| बेलन | V=πr²h |
| शंकु | V=1/3πr²h |
| गोला | V=4/3πr³ |
| सांख्यिकी | Mean=Σfx/Σf |
| सांख्यिकी | Median=l+[(n/2−cf)/f]h |
| सांख्यिकी | Mode=l+[(f₁−f₀)/(2f₁−f₀−f₂)]h |
| प्रायिकता | P(E)=अनुकूल परिणाम/कुल परिणाम |
| प्रायिकता | P(Ē)=1−P(E) |
30 वस्तुनिष्ठ प्रश्न — मॉडल अभ्यास उत्तर सहित
सही विकल्प
- √2 है— अपरिमेय संख्या
- x²−5x+6 के शून्यक हैं— 2 और 3
- द्विघात समीकरण का विविक्तकर है— b²−4ac
- A.P. का nवाँ पद है— a+(n−1)d
- sin²θ+cos²θ = 1
- प्रायिकता का अधिकतम मान है— 1
रिक्त स्थान
- HCF×LCM = ________। — दो संख्याओं का गुणनफल
- ax²+bx+c के शून्यकों का योग ________ है। — −b/a
- A.P. का प्रथम पद ________ कहलाता है। — a
- वर्ग समीकरण का सामान्य रूप ________ है। — ax²+bx+c=0
- समकोण त्रिभुज में sinθ = ________। — लंब/कर्ण
- प्रायिकता का मान ________ और ________ के बीच होता है। — 0 और 1
सत्य / असत्य
- हर अपरिमेय संख्या वास्तविक होती है। — सत्य
- हर बहुपद का कम से कम एक वास्तविक शून्यक होता है। — असत्य
- A.P. में common difference स्थिर होता है। — सत्य
- समरूप त्रिभुजों के संगत कोण बराबर होते हैं। — सत्य
- tan45°=√3। — असत्य
- किसी घटना की प्रायिकता 2 हो सकती है। — असत्य
सही जोड़ी
| कॉलम A | कॉलम B |
|---|---|
| 1. HCF | महत्तम समापवर्तक |
| 2. D=b²−4ac | विविक्तकर |
| 3. a+(n−1)d | A.P. का nवाँ पद |
| 4. √(x²+y²) | दूरी सूत्र का विशेष रूप |
| 5. 1+tan²θ | sec²θ |
| 6. 0≤P(E)≤1 | प्रायिकता |
एक वाक्य में उत्तर
- अपरिमेय संख्या क्या है? — जिसे p/q के रूप में नहीं लिखा जा सकता।
- बहुपद का शून्यक क्या है? — वह मान जिसके लिए p(x)=0 हो।
- A.P. क्या है? — समान common difference वाली श्रेणी।
- द्विघात समीकरण का विविक्तकर क्या है? — b²−4ac।
- distance formula क्या है? — √[(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²]
- प्रायिकता का मान किस सीमा में होता है? — 0 से 1 तक।
Basic एवं Standard — अतिरिक्त अभ्यास प्रश्न
Basic स्तर
प्रश्न 1. 12 और 18 का HCF ज्ञात कीजिए।
12=2²×3, 18=2×3²। इसलिए HCF=6।
प्रश्न 2. x²−9=0 हल कीजिए।
(x−3)(x+3)=0 ⇒ x=3,−3।
प्रश्न 3. 2,5,8,11 का 12वाँ पद ज्ञात कीजिए।
a=2,d=3
a₁₂=2+11×3=35।
a₁₂=2+11×3=35।
प्रश्न 4. sin60° का मान बताइए।
√3/2
Standard स्तर
प्रश्न 5. सिद्ध कीजिए कि 3+2√5 अपरिमेय है।
मान लें 3+2√5 परिमेय है। तब 2√5=परिमेय−3 भी परिमेय होगा और इसलिए √5 परिमेय होगा। लेकिन √5 अपरिमेय है। विरोधाभास। अतः 3+2√5 अपरिमेय है।
प्रश्न 6. यदि दो संख्याओं का HCF=12 और LCM=420 है तथा एक संख्या 60 है, तो दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए।
HCF×LCM=दोनों संख्याओं का गुणनफल
12×420=60×x
x=5040/60
=84।
12×420=60×x
x=5040/60
=84।
प्रश्न 7. x²−2(k+1)x+k²=0 के मूल समान होने के लिए k ज्ञात कीजिए।
D=[−2(k+1)]²−4k²
=4(k+1)²−4k²
=4[(k+1)²−k²]
=4(2k+1)
समान मूल के लिए D=0
2k+1=0
अतः k=−1/2।
=4(k+1)²−4k²
=4[(k+1)²−k²]
=4(2k+1)
समान मूल के लिए D=0
2k+1=0
अतः k=−1/2।
प्रश्न 8. यदि A.P. का 7वाँ पद 20 और 13वाँ पद 38 है, तो 20वाँ पद ज्ञात कीजिए।
a+6d=20
a+12d=38
6d=18 ⇒ d=3
a=2
a₂₀=2+19×3
=59।
a+12d=38
6d=18 ⇒ d=3
a=2
a₂₀=2+19×3
=59।
कक्षा 10वीं गणित — अंतिम रिवीजन चेकलिस्ट
- वास्तविक संख्याएँ: Euclid division, prime factorisation, HCF-LCM और irrationality proofs।
- बहुपद: zeroes, graph, zeroes-coefficients relation।
- रैखिक समीकरण: graph, substitution, elimination और तीनों स्थितियाँ।
- द्विघात: factorisation, quadratic formula और discriminant।
- A.P.: nth term तथा sum of n terms पर विशेष ध्यान दें।
- त्रिभुज: similarity criteria और अनुपात आधारित प्रश्न।
- निर्देशांक: distance, section और midpoint formula।
- त्रिकोणमिति: सभी standard values और identities याद करें।
- ऊँचाई-दूरी: diagram बनाकर tan/sin/cos का सही प्रयोग करें।
- वृत्त: tangent-radius theorem और external point से tangents।
- वृत्तीय क्षेत्र: sector, arc तथा segment के सूत्र।
- पृष्ठीय क्षेत्रफल: cylinder, cone, sphere, cuboid और combinations।
- सांख्यिकी: Mean, Median, Mode के formulas और table calculation।
- प्रायिकता: sample space, favourable outcomes, complement और 0≤P≤1।
प्रश्न हल करने का सर्वोत्तम तरीका:
Given → Formula → Substitution → Calculation → Final Answer
ज्यामिति में आवश्यक figure बनाएँ। Statistics में table व्यवस्थित रखें। Probability में sample space लिखें। Trigonometry में सही ratio चुनें। Standard पेपर में reasoning और proof पूरा लिखें, जबकि Basic पेपर में calculation के steps स्पष्ट रखें।
Given → Formula → Substitution → Calculation → Final Answer
ज्यामिति में आवश्यक figure बनाएँ। Statistics में table व्यवस्थित रखें। Probability में sample space लिखें। Trigonometry में सही ratio चुनें। Standard पेपर में reasoning और proof पूरा लिखें, जबकि Basic पेपर में calculation के steps स्पष्ट रखें।
इस अध्ययन सामग्री की मुख्य विशेषताएँ
- ब्लूप्रिंट एवं संशोधित पाठ्यक्रम अनुरूप: 75 अंक की सैद्धांतिक परीक्षा के लिए 1, 2, 3 एवं 4 अंक वाले प्रश्नों का ब्लूप्रिंट के अनुसार सटीक विभाजन।
- महत्वपूर्ण प्रमेय एवं उपपत्तियाँ: आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) तथा वृत्त की स्पर्श रेखा से संबंधित प्रमेयों का चरणबद्ध हल।
- सम्पूर्ण सूत्र संग्रह (All Formulae Sheet): द्विघाती सूत्र, $n$वाँ पद एवं योगफल सूत्र ($S_n$), दूरी सूत्र, विभाजन सूत्र, त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ, पृष्ठीय क्षेत्रफल/आयतन और सांख्यिकी के सूत्रों का एक जगह संकलन।
- चरणबद्ध हल विधि (Step-by-Step Solutions): बोर्ड परीक्षा में स्टेप मार्किंग के अनुरूप मानक विधि से प्रश्नों का हल।
परीक्षा-उपयोगी प्रश्न बैंक:
- वस्तुनिष्ठ प्रश्न (MCQ / रिक्त स्थान / सही जोड़ी / सत्य-असत्य / एक शब्द उत्तर): 30 अंकों के वस्तुनिष्ठ प्रश्नों के लिए महत्वपूर्ण सूत्र और गुणधर्म।
- अति लघु उत्तरीय प्रश्न (2 अंक): सरल गणनात्मक और 2-3 स्टेप्स वाले मानक प्रश्न (जैसे अभाज्य गुणनखंड, शून्यक ज्ञात करना, D का मान)।
- लघु उत्तरीय प्रश्न (3 अंक): विलोपन/प्रतिस्थापन विधि, समांतर श्रेढ़ी के पद, दूरी व विभाजन सूत्र पर आधारित प्रश्न।
- दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (4 अंक): प्रमेय सिद्ध करना, ऊंचाई और दूरी के अनुप्रयोग, पृष्ठीय आयतन तथा सांख्यिकी (माध्य/माध्यक/बहुलक) के विस्तृत हल।
अस्वीकरण (Disclaimer):
1. अध्ययन एवं अभ्यास उद्देश्य: इस पोस्ट में दी गई अंक योजना (Blueprint), पाठ्यक्रम, AI-जनरेटेड सरल नोट्स तथा अभ्यास प्रश्नोत्तर माध्यमिक शिक्षा मण्डल, मध्यप्रदेश (MPBSE) सत्र 2026-27 के नवीनतम दिशा-निर्देशों एवं NCERT पाठ्यक्रम के आधार पर विद्यार्थियों के स्व-अध्ययन, पुनरावलोकन और परीक्षा अभ्यास के लिए तैयार किए गए हैं।
2. प्रश्नोत्तर एवं संभावित प्रश्न: पोस्ट में शामिल सभी वस्तुनिष्ठ, लघु उत्तरीय एवं दीर्घ उत्तरीय प्रश्न-उत्तर केवल मॉडल/अभ्यास प्रश्न (Practice Questions) हैं। यह बोर्ड परीक्षा का कोई आधिकारिक प्रश्नपत्र नहीं है और न ही परीक्षा में हूबहू यही प्रश्न पूछे जाने का कोई दावा किया जाता है।
3. उत्तरों का सत्यापन: यद्यपि सभी उत्तरों, सूत्रों एवं गणनाओं को सटीक और त्रुटिरहित रखने का पूर्ण प्रयास किया गया है, फिर भी विद्यार्थी किसी भी तकनीकी या तथ्यात्मक संदेह की स्थिति में अपनी अधिकृत NCERT पाठ्यपुस्तकों तथा विषय शिक्षकों के मार्गदर्शन को ही अंतिम व सर्वमान्य आधार मानें।
4. आधिकारिक सूचना: परीक्षा कार्यक्रम, आंतरिक मूल्यांकन/प्रायोजना कार्य, अंक योजना में किसी भी संभावित संशोधन अथवा आधिकारिक विज्ञप्ति के लिए सदैव माध्यमिक शिक्षा मण्डल, म.प्र. की आधिकारिक वेबसाइट (`mpbse.nic.in`) पर जारी निर्देशों को ही अधिकृत माना जाए।
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