MP Board Class 12th Maths Blueprint, Notes & Important Questions 2026-27 | कक्षा 12वीं गणित सूत्र, प्रमेय एवं अंक योजना
- MP Board Class 12th Maths Blueprint 2026-27
- Class 12th Mathematics Formula Sheet in Hindi MPBSE
- MP Board 12th Maths Important Questions 2026-27
- कक्षा 12वीं गणित नोट्स एवं सूत्र
- MPBSE 12th Maths Model Paper and Solution 2026-27
माध्यमिक शिक्षा मण्डल, म.प्र. (MPBSE) सत्र 2026-27: कक्षा 12वीं [विषय: गणित] अध्ययन सामग्री
माध्यमिक शिक्षा मण्डल, मध्यप्रदेश द्वारा शैक्षणिक सत्र 2026-27 के लिए कक्षा 12वीं बोर्ड परीक्षा का आधिकारिक ब्लूप्रिंट (अंक योजना) जारी कर दिया गया है। गणित एक ऐसा विषय है जिसमें नियमित अभ्यास, सूत्रों की स्पष्टता और चरणबद्ध (Step-by-step) हल के माध्यम से 100 में से 100 अंक प्राप्त किए जा सकते हैं।
विद्यार्थियों और शिक्षकों की परीक्षा तैयारी को सुगम और प्रभावी बनाने के लिए यहाँ कक्षा 12वीं गणित की अद्यतन अंक योजना पर आधारित AI-असिस्टेड संक्षिप्त नोट्स, फॉर्मूला शीट, महत्वपूर्ण प्रमेय एवं परीक्षा-उपयोगी अभ्यास प्रश्नोत्तर उपलब्ध कराए जा रहे हैं।
📚 12th Notes – Blueprint & Important Questions 2026-27
कक्षा 12वीं गणित (Maths)
सरल नोट्स, सूत्र एवं अभ्यास प्रश्नोत्तर
माध्यमिक शिक्षा मण्डल, मध्यप्रदेश, भोपाल | हायर सेकेण्डरी परीक्षा सत्र 2026-27
पूर्णांक — 80 | समय — 3:00 घंटे
प्रश्न-पत्र संरचना
| प्रश्न | प्रकार | प्रश्नों की संख्या | अंक |
|---|---|---|---|
| 1 | सही विकल्प | 06 | 06 |
| 2 | रिक्त स्थान | 06 | 06 |
| 3 | सत्य/असत्य | 06 | 06 |
| 4 | सही जोड़ी | 07 | 07 |
| 5 | एक वाक्य में उत्तर | 07 | 07 |
| 6–15 | लघु उत्तरीय | 10 | 20 |
| 16–19 | मध्यम उत्तरीय | 04 | 12 |
| 20–23 | दीर्घ उत्तरीय | 04 | 16 |
| कुल | 80 | ||
गणित में अंक बढ़ाने की रणनीति: सूत्र याद करने के साथ-साथ प्रत्येक प्रकार के प्रश्न का अभ्यास करें। उत्तर में आवश्यक steps, formula, simplification और final answer अवश्य लिखें।
अध्याय 1 — संबंध एवं फलन
1. संबंध
दो समुच्चयों A और B के बीच संबंध A×B के किसी उपसमुच्चय को कहते हैं।
2. संबंधों के प्रकार
- स्वतुल्य (Reflexive)
- सममित (Symmetric)
- संक्रामक (Transitive)
- तुल्यता संबंध (Equivalence relation)
3. फलन
A से B में फलन ऐसा संबंध है जिसमें A के प्रत्येक अवयव की B में ठीक एक प्रतिच्छवि हो।
4. फलनों के प्रकार
- एकैकी (One-One)
- आच्छादक (Onto)
- द्वैकी (Bijective)
- बहु-एकैकी
5. संयोजन फलन
(f∘g)(x) = f(g(x))
6. व्युत्क्रमणीय फलन
यदि कोई फलन one-one और onto है, तो वह bijective होता है और उसका inverse अस्तित्व रखता है।
f⁻¹(f(x)) = x
7. महत्वपूर्ण बिंदु
- केवल one-one फलन का सामान्य inverse अस्तित्व नहीं रखता; inverse के लिए bijective mapping आवश्यक है।
- सामान्यतः f⁻¹ का domain, f के range के बराबर होता है।
2 अंक प्रश्न — उत्तर सहित
प्रश्न 1. फलन क्या है?
A से B में ऐसा संबंध जिसमें A के प्रत्येक अवयव की B में ठीक एक प्रतिच्छवि हो, फलन कहलाता है।
प्रश्न 2. one-one फलन क्या है?
यदि A के भिन्न अवयवों की प्रतिच्छवियाँ भी भिन्न हों, अर्थात् f(a₁)=f(a₂) से a₁=a₂ प्राप्त हो, तो फलन one-one कहलाता है।
प्रश्न 3. composite function क्या है?
(f∘g)(x)=f(g(x)) को composite function कहते हैं।
3 अंक प्रश्न
प्रश्न. one-one और onto फलन में अंतर बताइए।
one-one फलन में अलग-अलग domain elements की images अलग होती हैं। Onto फलन में codomain का प्रत्येक element कम-से-कम एक pre-image रखता है। जो फलन दोनों गुण रखता है वह bijective होता है।
4 अंक प्रश्न
प्रश्न. किसी फलन के व्युत्क्रम के अस्तित्व की शर्त समझाइए।
फलन का inverse तभी एक फलन के रूप में परिभाषित होता है जब मूल फलन bijective हो। यदि फलन one-one नहीं है तो दो अलग domain elements की image समान हो सकती है, जिससे inverse अस्पष्ट हो जाता है। यदि फलन onto नहीं है तो codomain के कुछ तत्वों का कोई pre-image नहीं होगा। इसलिए one-one तथा onto दोनों शर्तें आवश्यक हैं।
प्रश्न. यदि f(x)=2x+3 है, तो f⁻¹(x) ज्ञात कीजिए।
y=2x+3
y−3=2x
x=(y−3)/2
अतः f⁻¹(x)=(x−3)/2
y−3=2x
x=(y−3)/2
अतः f⁻¹(x)=(x−3)/2
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अध्याय 2 — प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन
1. मूल अवधारणा
यदि y = sin x है तो x = sin⁻¹ y प्रतिलोम फलन कहलाता है, जब domain और range को उपयुक्त principal values तक सीमित किया गया हो।
2. प्रमुख प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन
- sin⁻¹x
- cos⁻¹x
- tan⁻¹x
- cot⁻¹x
- sec⁻¹x
- cosec⁻¹x
3. प्रमुख सूत्र
sin⁻¹x + cos⁻¹x = π/2
tan⁻¹x + cot⁻¹x = π/2
sin⁻¹x = tan⁻¹[x/√(1−x²)] , |x|<1
4. महत्वपूर्ण सूत्र
tan⁻¹x + tan⁻¹y = tan⁻¹[(x+y)/(1−xy)]
उपयुक्त domain और principal value की शर्तों के साथ इसका प्रयोग किया जाता है।
2 अंक प्रश्न
प्रश्न 1. sin⁻¹x का principal range क्या है?
[−π/2, π/2]
प्रश्न 2. cos⁻¹x का principal range क्या है?
[0, π]
3 अंक प्रश्न
प्रश्न. सिद्ध कीजिए कि sin⁻¹x + cos⁻¹x = π/2.
मान लें θ = sin⁻¹x। तब x = sinθ। अतः cos⁻¹x = π/2 − θ। इसलिए sin⁻¹x + cos⁻¹x = θ + (π/2−θ) = π/2।
4 अंक प्रश्न
प्रश्न. सिद्ध कीजिए कि tan⁻¹x + tan⁻¹y = tan⁻¹[(x+y)/(1−xy)] उपयुक्त शर्तों के अंतर्गत।
मान लें tan⁻¹x = A तथा tan⁻¹y = B। तब tanA=x और tanB=y। अतः tan(A+B) = (x+y)/(1−xy)। इसलिए A+B का प्रतिलोम स्पर्शज्या रूप tan⁻¹[(x+y)/(1−xy)] होगा, बशर्ते principal value की शर्तें संतुष्ट हों।
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अध्याय 3 — आव्यूह
1. आव्यूह
संख्याओं या राशियों को पंक्तियों और स्तंभों के रूप में व्यवस्थित करने पर प्राप्त आयताकार सारणी को आव्यूह कहते हैं।
2. आव्यूहों के प्रकार
- पंक्ति आव्यूह
- स्तंभ आव्यूह
- वर्ग आव्यूह
- शून्य आव्यूह
- एकक आव्यूह
- विकर्ण आव्यूह
- सममित आव्यूह
- विषम सममित आव्यूह
3. आव्यूहों की समानता
दो आव्यूहों की समानता के लिए उनके क्रम समान और संगत अवयव समान होने चाहिए।
4. आव्यूहों पर संक्रियाएँ
- जोड़
- घटाव
- गुणन
- स्केलर गुणन
5. परिवर्त (Transpose)
आव्यूह की पंक्तियों को स्तंभों और स्तंभों को पंक्तियों में बदलने से transpose मिलता है।
(Aᵀ)ᵀ = A
6. सममित आव्यूह
Aᵀ = A
7. विषम सममित आव्यूह
Aᵀ = −A
8. व्युत्क्रमणीय आव्यूह
यदि AB=BA=I हो तो B, A का inverse है।
A⁻¹ = adj(A)/|A|
2 अंक प्रश्न
प्रश्न 1. सममित आव्यूह क्या है?
वह वर्ग आव्यूह जिसके लिए Aᵀ = A हो, सममित आव्यूह कहलाता है।
प्रश्न 2. आव्यूह का transpose क्या है?
पंक्तियों को स्तंभों तथा स्तंभों को पंक्तियों में बदलने से प्राप्त आव्यूह transpose कहलाता है।
प्रश्न 3. आव्यूह A का inverse कब अस्तित्व रखता है?
वर्ग आव्यूह A का inverse तभी अस्तित्व रखता है जब |A| ≠ 0 हो।
3 अंक प्रश्न
प्रश्न. सिद्ध कीजिए कि (AB)ᵀ = BᵀAᵀ.
मान लें A और B संगत क्रम के आव्यूह हैं। गुणनफल AB के अवयवों को transpose करने पर पंक्ति-स्तंभ परिवर्तन के कारण क्रम उलट जाता है। अतः (AB)ᵀ = BᵀAᵀ।
4 अंक प्रश्न
प्रश्न. 2×2 आव्यूह का inverse ज्ञात करने का सूत्र लिखिए और समझाइए।
यदि A = [[a,b],[c,d]] हो, तो |A| = ad−bc। यदि ad−bc ≠ 0, तब A⁻¹ = 1/(ad−bc) [[d,−b],[−c,a]]। यहाँ सहखंडज आव्यूह के बाद उसका adjoint लेकर determinant से भाग किया जाता है।
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अध्याय 4 — सारणिक
1. सारणिक
वर्ग आव्यूह से संबंधित एक संख्यात्मक राशि को determinant कहते हैं।
2. 2×2 सारणिक
|a b; c d| = ad − bc
3. उपसारणिक
किसी अवयव के लिए उसकी पंक्ति और स्तंभ हटाकर प्राप्त determinant को minor कहते हैं।
4. सहखंड
Cᵢⱼ = (−1)ⁱ⁺ʲ Mᵢⱼ
5. त्रिभुज का क्षेत्रफल
Area = 1/2 |x₁(y₂−y₃)+x₂(y₃−y₁)+x₃(y₁−y₂)|
6. adjoint
सहखंडज आव्यूह का transpose adjoint कहलाता है।
A⁻¹ = adj(A)/|A|
7. सारणिकों के प्रमुख गुण
- दो पंक्तियाँ/स्तंभ समान हों तो determinant शून्य।
- दो पंक्तियों को बदलने पर determinant का चिन्ह बदलता है।
- एक पंक्ति के सभी अवयवों को k से गुणा करने पर determinant भी k गुना होता है।
2 अंक प्रश्न
प्रश्न 1. 2×2 determinant का सूत्र लिखिए।
यदि determinant |a b; c d| है, तो उसका मान ad−bc होगा।
प्रश्न 2. यदि determinant की दो पंक्तियाँ समान हों तो उसका मान क्या होगा?
शून्य।
3 अंक प्रश्न
प्रश्न. किसी त्रिभुज के शीर्ष (1,2), (3,4), (5,0) हैं। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Area = 1/2 |1(4−0)+3(0−2)+5(2−4)|
= 1/2 |4−6−10|
= 6 वर्ग इकाई
= 1/2 |4−6−10|
= 6 वर्ग इकाई
4 अंक प्रश्न
प्रश्न. सारणिक की सहायता से रैखिक समीकरणों के हल की अवधारणा समझाइए।
यदि रैखिक समीकरणों के गुणांक से determinant D प्राप्त हो और D ≠ 0 हो, तो प्रणाली का अद्वितीय हल होता है। Cramer के नियम द्वारा प्रत्येक अज्ञात के लिए संबंधित determinant को D से भाग देकर मान निकाला जाता है। यदि D=0 हो तो हल की स्थिति अलग से जाँची जाती है।
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अध्याय 5 — सांतत्य तथा अवकलनीयता
1. सांतत्य
फलन f(x), x=a पर सतत है यदि:
lim(x→a) f(x) = f(a)
2. अवकलनीयता
यदि किसी बिंदु पर derivative अस्तित्व रखता है तो फलन उस बिंदु पर differentiable कहलाता है।
f'(x) = lim(h→0)[f(x+h)−f(x)]/h
3. सांतत्य और अवकलनीयता
यदि फलन किसी बिंदु पर differentiable है तो वह वहाँ continuous अवश्य होगा। लेकिन continuous होना differentiability सुनिश्चित नहीं करता।
4. महत्वपूर्ण अवकलज
d/dx(xⁿ)=nxⁿ⁻¹
d/dx(sin x)=cos x
d/dx(cos x)=−sin x
d/dx(eˣ)=eˣ
d/dx(log x)=1/x
d/dx(aˣ)=aˣlog a
5. लघुगणकीय अवकलन
जब फलन घातों और गुणनों के जटिल रूप में हो तो दोनों पक्षों का logarithm लेकर derivative निकालना सुविधाजनक होता है।
6. प्राचलिक रूप
यदि x=f(t), y=g(t), तो
dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)
7. द्वितीय अवकलज
d²y/dx² = d/dx(dy/dx)
2 अंक प्रश्न
प्रश्न 1. सांतत्य की शर्त लिखिए।
f(x), x=a पर सतत है यदि lim x→a f(x)=f(a) और बाएँ तथा दाएँ सीमा समान हों।
प्रश्न 2. अवकलनीय फलन क्या है?
जिस फलन का derivative किसी बिंदु पर अस्तित्व रखता हो, वह उस बिंदु पर अवकलनीय कहलाता है।
3 अंक प्रश्न
प्रश्न. सिद्ध कीजिए कि differentiability implies continuity.
यदि f'(a) अस्तित्व रखता है, तो f(a+h)−f(a) = h·[(f(a+h)−f(a))/h]। h→0 पर derivative सीमित है और h का गुणनफल 0 की ओर जाता है। अतः f(a+h)→f(a), इसलिए फलन x=a पर continuous है।
4 अंक प्रश्न
प्रश्न. y=xˣ का logarithmic differentiation द्वारा अवकलज ज्ञात कीजिए।
y=xˣ
log y = x log x
अवकलन करने पर: (1/y)dy/dx = log x + 1
अतः dy/dx = y(log x+1)
अर्थात् dy/dx = xˣ(log x+1)
log y = x log x
अवकलन करने पर: (1/y)dy/dx = log x + 1
अतः dy/dx = y(log x+1)
अर्थात् dy/dx = xˣ(log x+1)
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अध्याय 6 — अवकलज के अनुप्रयोग
1. परिवर्तन की दर
किसी राशि के दूसरे राशि के सापेक्ष परिवर्तन की दर derivative द्वारा व्यक्त की जाती है।
2. वर्धमान फलन
यदि किसी अंतराल में x₁<x₂ होने पर f(x₁)<f(x₂), तो फलन increasing है। सामान्यतः f'(x)>0 होने पर फलन बढ़ता है।
3. ह्रासमान फलन
यदि x बढ़ने पर f(x) घटता है। सामान्यतः f'(x)<0 होने पर फलन घटता है।
4. अधिकतम एवं न्यूनतम
जहाँ f'(x)=0 या derivative अस्तित्व न रखे, वे critical points हो सकते हैं।
5. प्रथम derivative test
- + से − : local maximum
- − से + : local minimum
2 अंक प्रश्न
प्रश्न 1. critical point क्या है?
वह बिंदु जहाँ f'(x)=0 या f'(x) अस्तित्व नहीं रखता, critical point कहलाता है।
प्रश्न 2. increasing function की एक शर्त बताइए।
यदि किसी अंतराल में f'(x)>0 हो, तो फलन उस अंतराल में increasing होता है।
3 अंक प्रश्न
प्रश्न. f(x)=x²−4x+3 के critical point और प्रकृति ज्ञात कीजिए।
f'(x)=2x−4।
f'(x)=0 ⇒ x=2।
f''(x)=2>0, इसलिए x=2 पर local minimum होगा।
f(2)=4−8+3=−1।
f'(x)=0 ⇒ x=2।
f''(x)=2>0, इसलिए x=2 पर local minimum होगा।
f(2)=4−8+3=−1।
4 अंक प्रश्न
प्रश्न. प्रथम derivative test से स्थानीय अधिकतम एवं न्यूनतम समझाइए।
पहले f'(x)=0 से critical points ज्ञात करते हैं। यदि critical point के बाएँ f'(x) धनात्मक तथा दाएँ ऋणात्मक हो तो function बढ़ने से घटने की ओर जाता है, अतः local maximum होता है। यदि बाएँ f'(x) ऋणात्मक और दाएँ धनात्मक हो तो function घटने से बढ़ने की ओर जाता है, अतः local minimum होता है।
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अध्याय 7 — समाकलन
1. समाकलन
अवकलन की प्रतिलोम प्रक्रिया को समाकलन कहते हैं।
∫f(x)dx = F(x)+C
2. मानक समाकलन
∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1)+C, n≠−1
∫dx/x = log|x|+C
∫eˣdx = eˣ+C
∫sin x dx = −cos x+C
∫cos x dx = sin x+C
∫sec²x dx = tan x+C
3. प्रतिस्थापन विधि
जटिल फलन के भीतर उपस्थित किसी भाग को नई चर राशि मानकर समाकलन सरल किया जाता है।
4. खंडशः समाकलन
∫u dv = uv − ∫v du
5. निश्चित समाकलन
∫ₐᵇ f(x)dx = F(b)−F(a)
6. कलन की आधारभूत प्रमेय
यदि F'(x)=f(x), तो a से b तक f(x) का निश्चित समाकलन F(b)−F(a) के बराबर है।
7. महत्वपूर्ण गुणधर्म
∫ₐᵇ f(x)dx = −∫ᵇₐ f(x)dx
∫ₐᵃ f(x)dx = 0
∫ₐᵇ f(x)dx = ∫ₐᵇ f(a+b−x)dx
2 अंक प्रश्न
प्रश्न 1. समाकलन क्या है?
अवकलन की प्रतिलोम प्रक्रिया समाकलन कहलाती है। अनिश्चित समाकलन में integration constant C जोड़ा जाता है।
प्रश्न 2. खंडशः समाकलन का सूत्र लिखिए।
∫u dv = uv−∫v du
3 अंक प्रश्न
प्रश्न. ∫x eˣ dx का मान ज्ञात कीजिए।
u=x, dv=eˣdx
du=dx, v=eˣ
∫xeˣdx = xeˣ−∫eˣdx
= eˣ(x−1)+C
du=dx, v=eˣ
∫xeˣdx = xeˣ−∫eˣdx
= eˣ(x−1)+C
4 अंक प्रश्न
प्रश्न. प्रतिस्थापन विधि से ∫2x/(x²+1) dx ज्ञात कीजिए।
मान लें t=x²+1। तब dt=2x dx।
अतः ∫2x/(x²+1)dx = ∫dt/t = log|t|+C।
अतः उत्तर = log(x²+1)+C।
अतः ∫2x/(x²+1)dx = ∫dt/t = log|t|+C।
अतः उत्तर = log(x²+1)+C।
प्रश्न. ∫₀¹(2x+1)dx का मान ज्ञात कीजिए।
∫₀¹(2x+1)dx = [x²+x]₀¹ = 1+1 = 2
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अध्याय 8 — समाकलनों के अनुप्रयोग
1. क्षेत्रफल
वक्र के नीचे या दो वक्रों के बीच क्षेत्रफल निकालने के लिए definite integration का उपयोग किया जाता है।
Area = ∫ₐᵇ [upper curve − lower curve] dx
2. x-अक्ष के साथ क्षेत्रफल
यदि f(x) ≥ 0 है तो x=a से x=b तक क्षेत्रफल ∫ₐᵇf(x)dx होगा।
3. दो वक्रों के मध्य क्षेत्रफल
ऊपरी वक्र और निचले वक्र के बीच का अंतर लेकर integration किया जाता है।
2 अंक प्रश्न
प्रश्न 1. समाकलन की सहायता से क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करते हैं?
क्षेत्रफल को छोटे-छोटे आयतों के अनंत योग के रूप में लिया जाता है और निश्चित समाकलन द्वारा उसका मान ज्ञात किया जाता है।
3 अंक प्रश्न
प्रश्न. y=x और x-अक्ष के बीच x=0 से x=2 तक क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Area = ∫₀²x dx = [x²/2]₀² = 2 वर्ग इकाई
4 अंक प्रश्न
प्रश्न. y=x² और y=x के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात करने की विधि समझाइए।
पहले intersection बिंदु ज्ञात करें: x²=x ⇒ x(x−1)=0 ⇒ x=0,1।
0≤x≤1 के लिए ऊपर का वक्र y=x और नीचे y=x² है।
Area = ∫₀¹(x−x²)dx
= [x²/2−x³/3]₀¹
= 1/2−1/3 = 1/6 वर्ग इकाई।
0≤x≤1 के लिए ऊपर का वक्र y=x और नीचे y=x² है।
Area = ∫₀¹(x−x²)dx
= [x²/2−x³/3]₀¹
= 1/2−1/3 = 1/6 वर्ग इकाई।
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अध्याय 9 — अवकल समीकरण
1. अवकल समीकरण
ऐसा समीकरण जिसमें dependent और independent variables तथा उनके derivatives शामिल हों, differential equation कहलाता है।
2. क्रम
समीकरण में उपस्थित उच्चतम derivative का order उसका क्रम कहलाता है।
3. घात
समीकरण को derivatives के संबंध में polynomial रूप में लिखने पर highest order derivative की highest power उसका degree कहलाती है।
4. सामान्य और विशिष्ट हल
मनमाने constants वाला समाधान general solution कहलाता है। constants के विशेष मान देने पर particular solution मिलता है।
5. variables separable method
dy/dx = f(x)g(y)
चर अलग करके दोनों पक्षों का integration किया जाता है।
6. प्रथम कोटि एवं प्रथम घात
dy/dx + Py = Q
यदि P और Q x के फलन हैं तो यह first-order linear differential equation है।
I.F. = e^(∫Pdx)
2 अंक प्रश्न
प्रश्न 1. अवकल समीकरण क्या है?
वह समीकरण जिसमें dependent और independent variables तथा उनके अवकलज शामिल हों, अवकल समीकरण कहलाता है।
प्रश्न 2. प्रथम कोटि रैखिक अवकल समीकरण का मानक रूप लिखिए।
dy/dx + Py = Q
3 अंक प्रश्न
प्रश्न. dy/dx = 2x को हल कीजिए।
dy = 2x dx
∫dy = ∫2x dx
अतः y = x²+C
∫dy = ∫2x dx
अतः y = x²+C
4 अंक प्रश्न
प्रश्न. dy/dx + y = eˣ को I.F. विधि से हल कीजिए।
यहाँ P=1, Q=eˣ।
I.F.=e^(∫1dx)=eˣ।
समाकलित रूप: y·eˣ = ∫eˣ·eˣ dx = ∫e²ˣdx = (1/2)e²ˣ+C।
अतः y = (1/2)eˣ + Ce⁻ˣ।
I.F.=e^(∫1dx)=eˣ।
समाकलित रूप: y·eˣ = ∫eˣ·eˣ dx = ∫e²ˣdx = (1/2)e²ˣ+C।
अतः y = (1/2)eˣ + Ce⁻ˣ।
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अध्याय 10 — सदिश बीजगणित
1. सदिश
जिस राशि में परिमाण और दिशा दोनों हों, वह vector कहलाती है।
2. सदिशों के प्रकार
- शून्य सदिश
- इकाई सदिश
- समांतर सदिश
- विपरीत सदिश
- समान सदिश
3. सदिश का घटक रूप
a = a₁i + a₂j + a₃k
4. परिमाण
|a| = √(a₁²+a₂²+a₃²)
5. अदिश गुणन
किसी scalar λ से vector a का गुणन λa होता है।
6. अदिश गुणनफल
a·b = |a||b|cosθ
7. सदिश गुणनफल
a×b = |a||b|sinθ n̂
8. महत्वपूर्ण परिणाम
a·b = 0 ⇒ a ⟂ b
a×b = 0 ⇒ a ∥ b
2 अंक प्रश्न
प्रश्न 1. सदिश राशि क्या है?
जिस भौतिक राशि का परिमाण और दिशा दोनों हों, वह सदिश राशि कहलाती है।
प्रश्न 2. दो सदिशों के dot product का सूत्र लिखिए।
a·b = |a||b|cosθ
3 अंक प्रश्न
प्रश्न. यदि a=2i+3j और b=i−j हों, तो a·b ज्ञात कीजिए।
a·b = 2(1)+3(−1)=2−3=−1
4 अंक प्रश्न
प्रश्न. vector product की ज्यामितीय व्याख्या कीजिए।
दो सदिशों a और b का cross product एक ऐसा सदिश है जिसकी दिशा दोनों सदिशों के तल के लंबवत होती है और दाहिने हाथ के नियम से निर्धारित की जाती है। इसका परिमाण |a×b|=|a||b|sinθ होता है। इसका उपयोग parallelogram के क्षेत्रफल और torque जैसी राशियों में होता है।
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अध्याय 11 — त्रि-विमीय ज्यामिति
1. दिक्-कोसाइन
रेखा x, y और z अक्षों के साथ जो कोण α, β, γ बनाती है, उनके cosines को direction cosines कहते हैं।
l²+m²+n²=1
2. दिक्-अनुपात
रेखा की दिशा को दर्शाने वाले अनुपाती संख्याओं को direction ratios कहते हैं।
3. रेखा का समीकरण
(x−x₁)/l = (y−y₁)/m = (z−z₁)/n
4. दो रेखाओं के बीच कोण
cosθ = (l₁l₂+m₁m₂+n₁n₂)/(√(l₁²+m₁²+n₁²)√(l₂²+m₂²+n₂²))
5. न्यूनतम दूरी
दो skew lines के बीच shortest distance vector तथा scalar triple product की सहायता से ज्ञात की जा सकती है।
2 अंक प्रश्न
प्रश्न 1. direction cosines क्या हैं?
रेखा द्वारा x, y, z अक्षों के साथ बनाए गए कोणों के cosines उसके direction cosines कहलाते हैं।
प्रश्न 2. direction cosines के बीच संबंध लिखिए।
l²+m²+n²=1
3 अंक प्रश्न
प्रश्न. रेखा के direction ratios 2,3,6 हैं। उसके direction cosines ज्ञात कीजिए।
√(2²+3²+6²)=√49=7।
अतः direction cosines = 2/7, 3/7, 6/7।
अतः direction cosines = 2/7, 3/7, 6/7।
4 अंक प्रश्न
प्रश्न. दो रेखाओं के बीच कोण ज्ञात करने की विधि समझाइए।
पहले दोनों रेखाओं के direction ratios प्राप्त करें। यदि वे (l₁,m₁,n₁) और (l₂,m₂,n₂) हैं, तो इनके बीच कोण θ के लिए ऊपर दिया गया cosine सूत्र प्रयोग करते हैं। यदि numerator शून्य हो तो दोनों रेखाएँ परस्पर लंबवत होंगी।
प्रश्न. direction ratios (1,2,−2) और (2,−1,0) वाली दो रेखाओं के बीच कोण ज्ञात कीजिए।
cosθ = (1×2 + 2×(−1) + (−2)×0)/(√9×√5) = (2−2)/√45 = 0।
अतः θ = 90°।
अतः θ = 90°।
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अध्याय 12 — रैखिक प्रोग्रामन
1. रैखिक प्रोग्रामन समस्या
सीमित संसाधनों के अंतर्गत किसी उद्देश्य फलन को अधिकतम या न्यूनतम करने की समस्या linear programming problem कहलाती है।
2. प्रमुख घटक
- Objective function
- Constraints
- Non-negative restrictions
- Feasible region
3. उद्देश्य फलन
Z = ax + by
4. बाधाएँ
व्यावहारिक शर्तों को linear inequalities के रूप में लिखा जाता है।
5. आलेखीय विधि
- सभी constraints का graph बनाइए।
- साझा shaded region ज्ञात कीजिए।
- feasible region निर्धारित कीजिए।
- corner points प्राप्त करें।
- हर corner point पर Z का मान ज्ञात करें।
2 अंक प्रश्न
प्रश्न 1. Linear programming problem क्या है?
ऐसी optimization समस्या जिसमें objective function तथा constraints linear हों, linear programming problem कहलाती है।
प्रश्न 2. feasible region क्या है?
सभी constraints को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं का साझा क्षेत्र feasible region कहलाता है।
3 अंक प्रश्न
प्रश्न. LPP को हल करने की graphical विधि लिखिए।
पहले inequalities की सीमारेखाएँ graph पर बनाते हैं। फिर प्रत्येक inequality के अनुकूल क्षेत्र को चिह्नित करते हैं। सभी क्षेत्रों का common region feasible region कहलाता है। इसके corner points पर objective function का मान निकालकर optimum value तय की जाती है।
4 अंक प्रश्न
प्रश्न. Z=3x+2y को constraints x≥0, y≥0, x+y≤4, x≤2 के साथ graphical method से अधिकतम करने की विधि समझाइए।
क्षेत्र की सीमाएँ x=0, y=0, x+y=4 तथा x=2 हैं। feasible region के corner points होंगे (0,0), (2,0), (2,2) और (0,4)।
Z(0,0)=0
Z(2,0)=6
Z(2,2)=10
Z(0,4)=8
अतः maximum value 10 है और यह बिंदु (2,2) पर प्राप्त होती है।
Z(0,0)=0
Z(2,0)=6
Z(2,2)=10
Z(0,4)=8
अतः maximum value 10 है और यह बिंदु (2,2) पर प्राप्त होती है।
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Maths • Notes • Exam Preparation
अध्याय 13 — प्रायिकता
1. सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B)=P(A∩B)/P(B), P(B)≠0
2. प्रायिकता का गुणन नियम
P(A∩B)=P(A)P(B|A)
3. स्वतंत्र घटनाएँ
यदि एक घटना का होना दूसरी घटना की प्रायिकता को प्रभावित न करे, तो दोनों घटनाएँ स्वतंत्र कहलाती हैं।
P(A∩B)=P(A)P(B)
4. कुल प्रायिकता प्रमेय
यदि B₁,B₂,...,Bₙ परस्पर अपवर्जी एवं exhaustively exhaustive events हैं, तो
P(A)=ΣP(Bᵢ)P(A|Bᵢ)
5. बेज़ प्रमेय
P(Bᵢ|A)= [P(Bᵢ)P(A|Bᵢ)] / ΣP(Bⱼ)P(A|Bⱼ)
2 अंक प्रश्न
प्रश्न 1. conditional probability क्या है?
घटना B के घटित होने की शर्त पर घटना A के घटित होने की प्रायिकता को conditional probability कहते हैं। P(A|B)=P(A∩B)/P(B)।
प्रश्न 2. स्वतंत्र घटनाएँ क्या हैं?
यदि P(A∩B)=P(A)P(B), तो A और B स्वतंत्र घटनाएँ कहलाती हैं।
3 अंक प्रश्न
प्रश्न. यदि P(A)=1/2, P(B)=1/3 और A तथा B स्वतंत्र हैं, तो P(A∩B) ज्ञात कीजिए।
P(A∩B)=P(A)P(B)=1/2×1/3=1/6
4 अंक प्रश्न
प्रश्न. बेज़ प्रमेय को समझाइए।
बेज़ प्रमेय किसी घटना A के घटित हो जाने के बाद उसके संभावित कारण Bᵢ की conditional probability ज्ञात करने में सहायता करता है। यदि B₁,B₂,... विभिन्न संभावित कारण हैं, तो P(Bᵢ|A) = P(Bᵢ)P(A|Bᵢ) / ΣP(Bⱼ)P(A|Bⱼ)। इसका उपयोग चिकित्सा परीक्षण, वर्गीकरण, decision making तथा diagnosis जैसी परिस्थितियों में किया जाता है।
प्रश्न. एक थैले में 3 लाल और 2 नीली गेंदें हैं। एक गेंद निकाली जाती है। लाल गेंद की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
कुल गेंदें = 5। लाल गेंदें = 3।
P(लाल)=3/5=0.6
P(लाल)=3/5=0.6
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Maths • Notes • Exam Preparation
कक्षा 12वीं गणित — सबसे महत्वपूर्ण सूत्र
| अध्याय | महत्वपूर्ण सूत्र |
|---|---|
| संबंध एवं फलन | (f∘g)(x)=f(g(x)) |
| प्रतिलोम त्रिकोणमिति | sin⁻¹x+cos⁻¹x=π/2 |
| प्रतिलोम त्रिकोणमिति | tan⁻¹x+cot⁻¹x=π/2 |
| आव्यूह | A⁻¹=adj(A)/|A| |
| सारणिक | |a b;c d|=ad−bc |
| अवकलन | d/dx(xⁿ)=nxⁿ⁻¹ |
| अवकलन | d/dx(eˣ)=eˣ |
| अवकलन | d/dx(logx)=1/x |
| प्राचलिक अवकलन | dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt) |
| अधिकतम/न्यूनतम | f'(x)=0 |
| समाकलन | ∫xⁿdx=xⁿ⁺¹/(n+1)+C |
| समाकलन | ∫u dv=uv−∫vdu |
| निश्चित समाकलन | ∫ₐᵇf(x)dx=F(b)−F(a) |
| क्षेत्रफल | Area=∫(upper−lower)dx |
| अवकल समीकरण | dy/dx+Py=Q |
| Linear DE | I.F.=e^(∫Pdx) |
| सदिश | |a|=√(a₁²+a₂²+a₃²) |
| Dot product | a·b=|a||b|cosθ |
| Cross product | a×b=|a||b|sinθ n̂ |
| 3-D geometry | l²+m²+n²=1 |
| 3-D geometry | cosθ=(l₁l₂+m₁m₂+n₁n₂)/(√(...)√(...)) |
| LPP | Z=ax+by |
| Conditional probability | P(A|B)=P(A∩B)/P(B) |
| Independent events | P(A∩B)=P(A)P(B) |
| Bayes theorem | P(Bᵢ|A)=P(Bᵢ)P(A|Bᵢ)/ΣP(Bⱼ)P(A|Bⱼ) |
अत्यंत महत्वपूर्ण वस्तुनिष्ठ प्रश्न — उत्तर सहित
सही विकल्प
- यदि f एक-एक तथा onto है तो f कहलाता है— Bijective
- (f∘g)(x) का अर्थ है— f(g(x))
- sin⁻¹x का range है— [−π/2,π/2]
- सममित आव्यूह के लिए— Aᵀ=A
- यदि |A|=0, तो A का inverse— अस्तित्व नहीं रखता
- ∫x dx का मान है— x²/2+C
- यदि f'(x)>0 है तो फलन सामान्यतः— वर्धमान
- ∫ₐᵃf(x)dx = 0
- यदि a·b=0 तो दोनों सदिश— लंबवत
- यदि a×b=0 तो दोनों सदिश— समांतर
- l²+m²+n² का मान— 1
- स्वतंत्र घटनाओं के लिए P(A∩B)= P(A)P(B)
- Bayes theorem conditional probability से संबंधित है।
रिक्त स्थान — उत्तर सहित
- Bijective function का inverse ________ होता है। — अस्तित्व रखता
- sin⁻¹x + cos⁻¹x = ________। — π/2
- सममित आव्यूह में Aᵀ = ________। — A
- 2×2 determinant |a b;c d| = ________। — ad−bc
- d/dx(xⁿ)= ________। — nxⁿ⁻¹
- ∫1/x dx = ________। — log|x|+C
- प्रथम कोटि linear DE का I.F. ________ है। — e^(∫Pdx)
- दो सदिशों का dot product ________ हो तो सदिश लंबवत होते हैं। — 0
- direction cosines के लिए l²+m²+n²= ________। — 1
- conditional probability P(A|B)= ________। — P(A∩B)/P(B)
सत्य / असत्य — उत्तर सहित
- हर relation एक function होता है। — असत्य
- Bijective function का inverse होता है। — सत्य
- हर differentiable function continuous होता है। — सत्य
- हर continuous function differentiable होता है। — असत्य
- यदि determinant zero है तो inverse अस्तित्व रखता है। — असत्य
- ∫ₐᵃf(x)dx=0। — सत्य
- यदि a·b=0 तो a,b हमेशा बराबर होते हैं। — असत्य
- यदि a×b=0 तो non-zero vectors parallel हो सकते हैं। — सत्य
- लॉजिस्टिक प्रोग्रामिंग और linear programming एक ही हैं। — असत्य
- Bayes theorem conditional probability पर आधारित है। — सत्य
सही जोड़ी — उत्तर सहित
| कॉलम A | कॉलम B |
|---|---|
| 1. f∘g | f(g(x)) |
| 2. Aᵀ=A | सममित आव्यूह |
| 3. ad−bc | 2×2 determinant |
| 4. 0 | दो लंबवत सदिशों का dot product |
| 5. e^(∫Pdx) | Linear DE का I.F. |
| 6. P(A∩B)/P(B) | Conditional probability |
| 7. p²+2pq+q² | H-W type probability identity |
एक वाक्य में उत्तर
- फलन क्या है? — ऐसा संबंध जिसमें domain के प्रत्येक तत्व की exactly one image हो।
- Bijective function क्या है? — जो one-one तथा onto दोनों हो।
- सममित आव्यूह क्या है? — Aᵀ=A वाला आव्यूह।
- Determinant क्या है? — वर्ग आव्यूह से संबद्ध एक संख्यात्मक राशि।
- सांतत्य की शर्त क्या है? — lim x→a f(x)=f(a)।
- अवकलज क्या है? — परिवर्तन की तात्कालिक दर।
- समाकलन क्या है? — अवकलन की प्रतिलोम प्रक्रिया।
- अवकल समीकरण क्या है? — चर और उनके derivatives वाला समीकरण।
- सदिश क्या है? — परिमाण और दिशा वाली राशि।
- direction cosine की शर्त क्या है? — l²+m²+n²=1।
- feasible region क्या है? — सभी constraints को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं का क्षेत्र।
- conditional probability क्या है? — एक घटना के घटित होने की शर्त पर दूसरी घटना की प्रायिकता।
अतिरिक्त महत्वपूर्ण संख्यात्मक प्रश्न — उत्तर सहित
प्रश्न 1. f(x)=x²+1 और g(x)=2x−3 के लिए (f∘g)(2) ज्ञात कीजिए।
g(2)=4−3=1।
f(1)=1²+1=2।
अतः (f∘g)(2)=2
f(1)=1²+1=2।
अतः (f∘g)(2)=2
प्रश्न 2. A=[[2,1],[3,4]] का determinant ज्ञात कीजिए।
|A|=2×4−1×3=5
प्रश्न 3. ∫(3x²+2x)dx ज्ञात कीजिए।
= x³+x²+C
उत्तर: x³+x²+C
उत्तर: x³+x²+C
प्रश्न 4. ∫₀² 3x² dx का मान ज्ञात कीजिए।
= [x³]₀² = 8
प्रश्न 5. y=x²+3x के लिए x=1 पर dy/dx ज्ञात कीजिए।
dy/dx=2x+3।
x=1 पर = 2+3=5
x=1 पर = 2+3=5
प्रश्न 6. यदि a=2i+j−k और b=i−2j+3k, तो a·b ज्ञात कीजिए।
a·b=2(1)+1(−2)+(−1)(3)=2−2−3=−3
प्रश्न 7. direction ratios 1,2,2 वाली रेखा के direction cosines ज्ञात कीजिए।
√(1+4+4)=3।
अतः 1/3, 2/3, 2/3
अतः 1/3, 2/3, 2/3
प्रश्न 8. एक सिक्का उछालने पर head आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
अनुकूल परिणाम=1, कुल परिणाम=2।
P(H)=1/2
P(H)=1/2
प्रश्न 9. एक पासे पर सम संख्या आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
अनुकूल परिणाम 2,4,6 = 3।
P(E)=3/6=1/2
P(E)=3/6=1/2
प्रश्न 10. Z=2x+3y के लिए (1,2) बिंदु पर objective function का मान ज्ञात कीजिए।
Z=2(1)+3(2)=2+6=8
कक्षा 12वीं गणित — 60 अत्यंत महत्वपूर्ण प्रश्न एवं सभी उत्तर
प्रश्न 1. संबंध की परिभाषा दीजिए।
दो समुच्चयों A और B के कार्तीय गुणनफल A×B के किसी उपसमुच्चय को A से B में संबंध कहते हैं।
यदि R ⊆ A×B हो, तो R एक संबंध है।
उदाहरण: यदि A={1,2,3} तथा B={2,4}, तो R={(1,2),(2,4)} एक संबंध है।
उदाहरण: यदि A={1,2,3} तथा B={2,4}, तो R={(1,2),(2,4)} एक संबंध है।
प्रश्न 2. फलन और संबंध में अंतर बताइए।
संबंध: A×B का कोई भी उपसमुच्चय संबंध हो सकता है। इसमें A के किसी तत्व की B में एक या एक से अधिक प्रतिच्छवियाँ हो सकती हैं या कोई भी नहीं हो सकती।
फलन: ऐसा विशेष संबंध जिसमें domain के प्रत्येक तत्व की codomain में ठीक एक image हो।
अतः प्रत्येक फलन संबंध है, लेकिन प्रत्येक संबंध फलन नहीं होता।
फलन: ऐसा विशेष संबंध जिसमें domain के प्रत्येक तत्व की codomain में ठीक एक image हो।
अतः प्रत्येक फलन संबंध है, लेकिन प्रत्येक संबंध फलन नहीं होता।
प्रश्न 3. one-one और onto फलन समझाइए।
One-One फलन: यदि f(a)=f(b) से a=b प्राप्त हो, तो फलन one-one कहलाता है। अर्थात् अलग-अलग elements की images अलग होती हैं।
Onto फलन: यदि codomain का प्रत्येक element कम-से-कम एक pre-image रखता हो, तो फलन onto कहलाता है।
जो फलन one-one तथा onto दोनों हो, उसे bijective function कहते हैं।
Onto फलन: यदि codomain का प्रत्येक element कम-से-कम एक pre-image रखता हो, तो फलन onto कहलाता है।
जो फलन one-one तथा onto दोनों हो, उसे bijective function कहते हैं।
प्रश्न 4. Composition of functions क्या है?
यदि f:A→B तथा g:B→C दो फलन हैं, तो g और f का संयोजन एक नया फलन बनाता है।
इसे (g∘f)(x)=g(f(x)) लिखा जाता है।
इसी प्रकार (f∘g)(x)=f(g(x))।
सामान्यतः f∘g ≠ g∘f।
इसे (g∘f)(x)=g(f(x)) लिखा जाता है।
इसी प्रकार (f∘g)(x)=f(g(x))।
सामान्यतः f∘g ≠ g∘f।
प्रश्न 5. Inverse function की शर्त क्या है?
किसी फलन का inverse तभी एक फलन के रूप में अस्तित्व रखता है जब मूल फलन bijective हो, अर्थात् वह one-one तथा onto दोनों हो।
यदि f:A→B bijective है, तो इसका inverse f⁻¹:B→A अस्तित्व रखता है और
f⁻¹(f(x))=x तथा f(f⁻¹(x))=x।
यदि f:A→B bijective है, तो इसका inverse f⁻¹:B→A अस्तित्व रखता है और
f⁻¹(f(x))=x तथा f(f⁻¹(x))=x।
प्रश्न 6. sin⁻¹x + cos⁻¹x का मान बताइए।
Principal values की सीमा को ध्यान में रखते हुए:
sin⁻¹x + cos⁻¹x = π/2
यह −1≤x≤1 के लिए सत्य है।
sin⁻¹x + cos⁻¹x = π/2
यह −1≤x≤1 के लिए सत्य है।
प्रश्न 7. tan⁻¹x + cot⁻¹x सिद्ध कीजिए।
मान लें tan⁻¹x=θ।
तब tanθ=x।
हम जानते हैं कि
cot⁻¹x = π/2 − tan⁻¹x
अतः
tan⁻¹x + cot⁻¹x = π/2।
हम जानते हैं कि
cot⁻¹x = π/2 − tan⁻¹x
अतः
tan⁻¹x + cot⁻¹x = π/2।
प्रश्न 8. आव्यूह के प्रकार लिखिए।
आव्यूह के प्रमुख प्रकार निम्न हैं:
1. पंक्ति आव्यूह
2. स्तंभ आव्यूह
3. वर्ग आव्यूह
4. शून्य आव्यूह
5. विकर्ण आव्यूह
6. अदिश आव्यूह
7. एकक आव्यूह
8. ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह
9. निचला त्रिकोणीय आव्यूह
10. सममित आव्यूह
11. विषम सममित आव्यूह
1. पंक्ति आव्यूह
2. स्तंभ आव्यूह
3. वर्ग आव्यूह
4. शून्य आव्यूह
5. विकर्ण आव्यूह
6. अदिश आव्यूह
7. एकक आव्यूह
8. ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह
9. निचला त्रिकोणीय आव्यूह
10. सममित आव्यूह
11. विषम सममित आव्यूह
प्रश्न 9. सममित और विषम सममित आव्यूह समझाइए।
यदि वर्ग आव्यूह A के लिए
Aᵀ=A
तो A सममित आव्यूह कहलाता है।
यदि
Aᵀ=−A
तो A विषम सममित आव्यूह कहलाता है।
विषम सममित आव्यूह के मुख्य विकर्ण के सभी अवयव शून्य होते हैं।
Aᵀ=A
तो A सममित आव्यूह कहलाता है।
यदि
Aᵀ=−A
तो A विषम सममित आव्यूह कहलाता है।
विषम सममित आव्यूह के मुख्य विकर्ण के सभी अवयव शून्य होते हैं।
प्रश्न 10. आव्यूह का inverse ज्ञात कीजिए।
यदि
A = [[a,b],[c,d]]
तो
|A|=ad−bc
यदि |A|≠0, तब
A⁻¹ = 1/(ad−bc) [[d,−b],[-c,a]]
अर्थात्
A⁻¹ = adj(A)/|A|।
A = [[a,b],[c,d]]
तो
|A|=ad−bc
यदि |A|≠0, तब
A⁻¹ = 1/(ad−bc) [[d,−b],[-c,a]]
अर्थात्
A⁻¹ = adj(A)/|A|।
प्रश्न 11. Determinant की परिभाषा दीजिए।
किसी वर्ग आव्यूह से संबद्ध एक निश्चित संख्यात्मक राशि को उस आव्यूह का सारणिक या determinant कहते हैं।
यदि A=[[a,b],[c,d]] तो
|A|=ad−bc।
Determinant का उपयोग inverse, क्षेत्रफल तथा रैखिक समीकरणों के हल के लिए किया जाता है।
यदि A=[[a,b],[c,d]] तो
|A|=ad−bc।
Determinant का उपयोग inverse, क्षेत्रफल तथा रैखिक समीकरणों के हल के लिए किया जाता है।
प्रश्न 12. Minor और Cofactor समझाइए।
किसी determinant के किसी अवयव aᵢⱼ की पंक्ति और स्तंभ को हटाकर प्राप्त determinant को उस अवयव का minor Mᵢⱼ कहते हैं।
उसका cofactor:
Cᵢⱼ=(−1)ⁱ⁺ʲMᵢⱼ
अर्थात् cofactor, minor के साथ (+) या (−) चिन्ह से संबंधित होता है।
उसका cofactor:
Cᵢⱼ=(−1)ⁱ⁺ʲMᵢⱼ
अर्थात् cofactor, minor के साथ (+) या (−) चिन्ह से संबंधित होता है।
प्रश्न 13. त्रिभुज का क्षेत्रफल determinant से निकालिए।
यदि त्रिभुज के शीर्ष
(x₁,y₁), (x₂,y₂), (x₃,y₃)
हैं, तो
Area = 1/2 |x₁(y₂−y₃)+x₂(y₃−y₁)+x₃(y₁−y₂)|
यदि क्षेत्रफल 0 आए, तो तीनों बिंदु collinear होंगे।
Area = 1/2 |x₁(y₂−y₃)+x₂(y₃−y₁)+x₃(y₁−y₂)|
यदि क्षेत्रफल 0 आए, तो तीनों बिंदु collinear होंगे।
प्रश्न 14. Cramer Rule समझाइए।
दो चर वाले समीकरण
a₁x+b₁y=c₁
a₂x+b₂y=c₂
के लिए
D = |a₁ b₁; a₂ b₂|
और
Dₓ = |c₁ b₁; c₂ b₂|
Dᵧ = |a₁ c₁; a₂ c₂|
यदि D≠0, तो
x=Dₓ/D तथा y=Dᵧ/D।
a₁x+b₁y=c₁
a₂x+b₂y=c₂
के लिए
D = |a₁ b₁; a₂ b₂|
और
Dₓ = |c₁ b₁; c₂ b₂|
Dᵧ = |a₁ c₁; a₂ c₂|
यदि D≠0, तो
x=Dₓ/D तथा y=Dᵧ/D।
प्रश्न 15. सांतत्य की परिभाषा दीजिए।
फलन f(x), x=a पर सतत है यदि:
1. f(a) अस्तित्व रखता हो।
2. lim(x→a) f(x) अस्तित्व रखती हो।
3. lim(x→a) f(x)=f(a) हो।
अर्थात्
lim(x→a)f(x)=f(a)।
1. f(a) अस्तित्व रखता हो।
2. lim(x→a) f(x) अस्तित्व रखती हो।
3. lim(x→a) f(x)=f(a) हो।
अर्थात्
lim(x→a)f(x)=f(a)।
प्रश्न 16. अवकलनीयता की परिभाषा दीजिए।
यदि
f'(a)=lim(h→0)[f(a+h)−f(a)]/h
अस्तित्व रखता है, तो f(x), x=a पर differentiable कहलाता है।
Differentiability से continuity अवश्य प्राप्त होती है।
f'(a)=lim(h→0)[f(a+h)−f(a)]/h
अस्तित्व रखता है, तो f(x), x=a पर differentiable कहलाता है।
Differentiability से continuity अवश्य प्राप्त होती है।
प्रश्न 17. सिद्ध कीजिए differentiability implies continuity.
यदि f'(a) अस्तित्व रखता है, तो
[f(a+h)−f(a)] = h × [(f(a+h)−f(a))/h]
अब h→0 करने पर derivative का मान सीमित रहता है जबकि h→0। अतः
f(a+h)−f(a)→0
अर्थात्
f(a+h)→f(a)
इसलिए
lim(x→a)f(x)=f(a)
अतः फलन x=a पर continuous है।
[f(a+h)−f(a)] = h × [(f(a+h)−f(a))/h]
अब h→0 करने पर derivative का मान सीमित रहता है जबकि h→0। अतः
f(a+h)−f(a)→0
अर्थात्
f(a+h)→f(a)
इसलिए
lim(x→a)f(x)=f(a)
अतः फलन x=a पर continuous है।
प्रश्न 18. लघुगणकीय अवकलन समझाइए।
जब फलन घात, गुणन या भाग के जटिल रूप में हो, तब दोनों पक्षों का logarithm लेकर सरल रूप प्राप्त किया जाता है।
उदाहरण:
y=xˣ
log y=x logx
अब दोनों पक्षों का अवकलन:
(1/y)dy/dx=logx+1
अतः
dy/dx=xˣ(logx+1)।
उदाहरण:
y=xˣ
log y=x logx
अब दोनों पक्षों का अवकलन:
(1/y)dy/dx=logx+1
अतः
dy/dx=xˣ(logx+1)।
प्रश्न 19. Parametric differentiation समझाइए।
यदि x तथा y दोनों किसी तीसरे चर t के फलन हों:
x=f(t), y=g(t)
तो
dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)
जहाँ dx/dt≠0।
x=f(t), y=g(t)
तो
dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)
जहाँ dx/dt≠0।
प्रश्न 20. Second derivative ज्ञात करने की विधि बताइए।
पहले प्रथम derivative ज्ञात करते हैं:
dy/dx
फिर प्राप्त derivative को x के सापेक्ष पुनः differentiate करते हैं:
d²y/dx²=d/dx(dy/dx)।
Second derivative का उपयोग maxima-minima तथा curve की concavity के अध्ययन में किया जाता है।
dy/dx
फिर प्राप्त derivative को x के सापेक्ष पुनः differentiate करते हैं:
d²y/dx²=d/dx(dy/dx)।
Second derivative का उपयोग maxima-minima तथा curve की concavity के अध्ययन में किया जाता है।
प्रश्न 21. Increasing/Decreasing function समझाइए।
यदि किसी अंतराल में x बढ़ने पर f(x) भी बढ़ता है, तो फलन increasing कहलाता है। यदि उस अंतराल में सामान्यतः
f'(x)>0
तो फलन increasing होता है।
यदि
f'(x)<0 b="">
तो फलन decreasing होता है।
f'(x)>0
तो फलन increasing होता है।
यदि
f'(x)<0 b="">
तो फलन decreasing होता है।
प्रश्न 22. Local maximum और minimum समझाइए।
यदि किसी बिंदु के आसपास f(a) का मान अपने आसपास के सभी मानों से अधिक हो, तो f(a) local maximum है।
यदि f(a) अपने आसपास के सभी मानों से कम हो, तो f(a) local minimum है।
प्रथम derivative test में:
+ से − ⇒ Maximum
− से + ⇒ Minimum
यदि f(a) अपने आसपास के सभी मानों से कम हो, तो f(a) local minimum है।
प्रथम derivative test में:
+ से − ⇒ Maximum
− से + ⇒ Minimum
प्रश्न 23. समाकलन की मानक संकल्पनाएँ लिखिए।
समाकलन अवकलन की प्रतिलोम प्रक्रिया है।
मुख्य सूत्र:
∫xⁿdx=xⁿ⁺¹/(n+1)+C
∫1/x dx=log|x|+C
∫eˣdx=eˣ+C
∫sinx dx=−cosx+C
∫cosx dx=sinx+C
मुख्य सूत्र:
∫xⁿdx=xⁿ⁺¹/(n+1)+C
∫1/x dx=log|x|+C
∫eˣdx=eˣ+C
∫sinx dx=−cosx+C
∫cosx dx=sinx+C
प्रश्न 24. Substitution method से integration कीजिए।
जटिल समाकलन में किसी अंदरूनी फलन को नया variable माना जाता है।
उदाहरण:
∫2x/(x²+1)dx
मान लें t=x²+1
dt=2x dx
अतः
∫dt/t=log|t|+C
इसलिए
उत्तर = log(x²+1)+C।
उदाहरण:
∫2x/(x²+1)dx
मान लें t=x²+1
dt=2x dx
अतः
∫dt/t=log|t|+C
इसलिए
उत्तर = log(x²+1)+C।
प्रश्न 25. Integration by parts समझाइए।
जब दो फलनों के गुणनफल का integration हो, तब by-parts विधि उपयोगी होती है।
मुख्य सूत्र:
∫u dv=uv−∫v du
उदाहरण:
∫xeˣdx
u=x, dv=eˣdx
du=dx, v=eˣ
अतः
=xeˣ−eˣ+C
=eˣ(x−1)+C।
मुख्य सूत्र:
∫u dv=uv−∫v du
उदाहरण:
∫xeˣdx
u=x, dv=eˣdx
du=dx, v=eˣ
अतः
=xeˣ−eˣ+C
=eˣ(x−1)+C।
प्रश्न 26. Definite integral के गुणधर्म लिखिए।
मुख्य गुणधर्म:
1. ∫ₐᵃf(x)dx=0
2. ∫ₐᵇf(x)dx=−∫ᵇₐf(x)dx
3. ∫ₐᵇ[f(x)+g(x)]dx=∫ₐᵇf(x)dx+∫ₐᵇg(x)dx
4. यदि c, a और b के बीच है तो
∫ₐᵇf(x)dx=∫ₐᶜf(x)dx+∫ᶜᵇf(x)dx।
1. ∫ₐᵃf(x)dx=0
2. ∫ₐᵇf(x)dx=−∫ᵇₐf(x)dx
3. ∫ₐᵇ[f(x)+g(x)]dx=∫ₐᵇf(x)dx+∫ₐᵇg(x)dx
4. यदि c, a और b के बीच है तो
∫ₐᵇf(x)dx=∫ₐᶜf(x)dx+∫ᶜᵇf(x)dx।
प्रश्न 27. Fundamental theorem of calculus समझाइए।
यदि F(x), f(x) का antiderivative है, अर्थात् F'(x)=f(x), तब
∫ₐᵇf(x)dx=F(b)−F(a)
इस प्रमेय से निश्चित समाकलन को सीधे antiderivative के माध्यम से हल किया जा सकता है।
∫ₐᵇf(x)dx=F(b)−F(a)
इस प्रमेय से निश्चित समाकलन को सीधे antiderivative के माध्यम से हल किया जा सकता है।
प्रश्न 28. वक्र के नीचे क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
यदि y=f(x), x=a से x=b तक x-अक्ष के ऊपर स्थित है, तो क्षेत्रफल:
Area=∫ₐᵇf(x)dx
यदि curve x-अक्ष के नीचे हो तो क्षेत्रफल के लिए absolute value या उचित सीमाएँ उपयोग की जाती हैं।
Area=∫ₐᵇf(x)dx
यदि curve x-अक्ष के नीचे हो तो क्षेत्रफल के लिए absolute value या उचित सीमाएँ उपयोग की जाती हैं।
प्रश्न 29. दो वक्रों के बीच क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
दो वक्रों के बीच क्षेत्रफल:
Area=∫ₐᵇ[Upper curve−Lower curve]dx
सबसे पहले दोनों curves के intersection points ज्ञात किए जाते हैं। फिर उपयुक्त अंतराल में ऊपरी और निचले curve की पहचान करके integration किया जाता है।
उदाहरण: y=x तथा y=x² के बीच x=0 से 1 तक:
Area=∫₀¹(x−x²)dx=1/6।
Area=∫ₐᵇ[Upper curve−Lower curve]dx
सबसे पहले दोनों curves के intersection points ज्ञात किए जाते हैं। फिर उपयुक्त अंतराल में ऊपरी और निचले curve की पहचान करके integration किया जाता है।
उदाहरण: y=x तथा y=x² के बीच x=0 से 1 तक:
Area=∫₀¹(x−x²)dx=1/6।
प्रश्न 30. अवकल समीकरण की परिभाषा और order लिखिए।
जिस समीकरण में independent variable, dependent variable तथा उनके derivatives उपस्थित हों, differential equation कहलाता है।
समीकरण में उपस्थित highest order derivative का order कहलाता है।
उदाहरण:
d²y/dx² + 3dy/dx + y=0
में order = 2।
समीकरण में उपस्थित highest order derivative का order कहलाता है।
उदाहरण:
d²y/dx² + 3dy/dx + y=0
में order = 2।
प्रश्न 31. General और Particular solution में अंतर बताइए।
General solution: इसमें arbitrary constants होते हैं और differential equation के सभी संभावित solutions को व्यक्त करता है।
Particular solution: प्रारंभिक या सीमा शर्तों से constants के विशेष मान ज्ञात कर जो विशिष्ट solution मिलता है, वह particular solution होता है।
Particular solution: प्रारंभिक या सीमा शर्तों से constants के विशेष मान ज्ञात कर जो विशिष्ट solution मिलता है, वह particular solution होता है।
प्रश्न 32. Variables separable differential equation हल कीजिए।
यदि
dy/dx=f(x)g(y)
तो variables अलग करते हैं:
dy/g(y)=f(x)dx
अब दोनों पक्षों का integration:
∫dy/g(y)=∫f(x)dx
उदाहरण:
dy/dx=2x
dy=2x dx
अतः
y=x²+C।
dy/dx=f(x)g(y)
तो variables अलग करते हैं:
dy/g(y)=f(x)dx
अब दोनों पक्षों का integration:
∫dy/g(y)=∫f(x)dx
उदाहरण:
dy/dx=2x
dy=2x dx
अतः
y=x²+C।
प्रश्न 33. Linear differential equation का I.F. लिखिए।
प्रथम कोटि रैखिक अवकल समीकरण का मानक रूप:
dy/dx+Py=Q
इसका integrating factor:
I.F.=e^(∫Pdx)
और general solution:
y(I.F.)=∫Q(I.F.)dx+C।
dy/dx+Py=Q
इसका integrating factor:
I.F.=e^(∫Pdx)
और general solution:
y(I.F.)=∫Q(I.F.)dx+C।
प्रश्न 34. सदिश की परिभाषा दीजिए।
जिस राशि का परिमाण और दिशा दोनों हों, उसे सदिश राशि कहते हैं।
उदाहरण: विस्थापन, वेग, बल।
सदिश को सामान्यतः
a=a₁i+a₂j+a₃k
रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
उदाहरण: विस्थापन, वेग, बल।
सदिश को सामान्यतः
a=a₁i+a₂j+a₃k
रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
प्रश्न 35. Unit vector और Zero vector समझाइए।
Unit vector: जिसका परिमाण 1 हो, unit vector कहलाता है।
किसी non-zero vector a की दिशा का unit vector:
â=a/|a|
Zero vector: जिसका परिमाण 0 हो, zero vector कहलाता है। इसकी दिशा निश्चित नहीं होती।
â=a/|a|
Zero vector: जिसका परिमाण 0 हो, zero vector कहलाता है। इसकी दिशा निश्चित नहीं होती।
प्रश्न 36. Dot product का ज्यामितीय अर्थ समझाइए।
दो सदिशों a और b का scalar product:
a·b=|a||b|cosθ
यह एक scalar राशि देता है। यदि θ=0°, तो dot product अधिकतम। यदि θ=90°, तो dot product शून्य। यदि θ=180°, तो dot product ऋणात्मक होता है।
a·b=|a||b|cosθ
यह एक scalar राशि देता है। यदि θ=0°, तो dot product अधिकतम। यदि θ=90°, तो dot product शून्य। यदि θ=180°, तो dot product ऋणात्मक होता है।
प्रश्न 37. Cross product समझाइए।
दो सदिशों a और b का vector product:
a×b=|a||b|sinθ n̂
जहाँ n̂ दोनों vectors के तल के लंबवत unit vector है। इसकी दिशा right hand thumb rule से ज्ञात होती है।
यदि θ=0° या 180°, तो cross product शून्य होगा।
a×b=|a||b|sinθ n̂
जहाँ n̂ दोनों vectors के तल के लंबवत unit vector है। इसकी दिशा right hand thumb rule से ज्ञात होती है।
यदि θ=0° या 180°, तो cross product शून्य होगा।
प्रश्न 38. दो सदिशों की perpendicularity की शर्त लिखिए।
यदि दो सदिश a और b परस्पर लंबवत हैं, तो इनके बीच कोण 90° होगा।
क्योंकि cos90°=0,
a·b=0
अतः दो non-zero vectors के लिए perpendicularity की आवश्यक एवं पर्याप्त शर्त:
a·b=0।
क्योंकि cos90°=0,
a·b=0
अतः दो non-zero vectors के लिए perpendicularity की आवश्यक एवं पर्याप्त शर्त:
a·b=0।
प्रश्न 39. Direction cosines क्या हैं?
किसी रेखा द्वारा x, y और z अक्षों के साथ बनाए गए कोण α, β तथा γ के cosines को क्रमशः direction cosines कहते हैं।
यदि
l=cosα, m=cosβ, n=cosγ
तो
l²+m²+n²=1।
यदि
l=cosα, m=cosβ, n=cosγ
तो
l²+m²+n²=1।
प्रश्न 40. Direction ratios क्या हैं?
ऐसी तीन संख्याएँ जो किसी रेखा की दिशा को निरूपित करती हैं, direction ratios कहलाती हैं।
यदि direction ratios a,b,c हैं, तो उनके अनुरूप direction cosines:
l=a/√(a²+b²+c²)
m=b/√(a²+b²+c²)
n=c/√(a²+b²+c²)।
यदि direction ratios a,b,c हैं, तो उनके अनुरूप direction cosines:
l=a/√(a²+b²+c²)
m=b/√(a²+b²+c²)
n=c/√(a²+b²+c²)।
प्रश्न 41. 3-D में रेखा का समीकरण लिखिए।
यदि रेखा बिंदु (x₁,y₁,z₁) से गुजरती है और उसके direction ratios l,m,n हैं, तो:
(x−x₁)/l = (y−y₁)/m = (z−z₁)/n
यह रेखा का symmetric form है।
(x−x₁)/l = (y−y₁)/m = (z−z₁)/n
यह रेखा का symmetric form है।
प्रश्न 42. दो रेखाओं के बीच कोण का सूत्र लिखिए।
यदि दो रेखाओं के direction ratios क्रमशः
(l₁,m₁,n₁) तथा (l₂,m₂,n₂)
हैं, तो:
cosθ = (l₁l₂+m₁m₂+n₁n₂) / [√(l₁²+m₁²+n₁²) × √(l₂²+m₂²+n₂²)]
यदि numerator 0 हो तो रेखाएँ परस्पर लंबवत होंगी।
cosθ = (l₁l₂+m₁m₂+n₁n₂) / [√(l₁²+m₁²+n₁²) × √(l₂²+m₂²+n₂²)]
यदि numerator 0 हो तो रेखाएँ परस्पर लंबवत होंगी।
प्रश्न 43. Skew lines की न्यूनतम दूरी की अवधारणा समझाइए।
त्रि-विमीय अंतरिक्ष में दो non-parallel और non-intersecting lines को skew lines कहते हैं।
इनके बीच कई दूरी हो सकती हैं, लेकिन shortest distance वह लंबवत दूरी है जो दोनों रेखाओं को जोड़ती है।
Vector form में सामान्यतः:
Shortest distance = | (a₂−a₁)·(b₁×b₂) | / |b₁×b₂|
जहाँ a₁,a₂ रेखाओं के बिंदु vector तथा b₁,b₂ उनके direction vectors हैं।
Vector form में सामान्यतः:
Shortest distance = | (a₂−a₁)·(b₁×b₂) | / |b₁×b₂|
जहाँ a₁,a₂ रेखाओं के बिंदु vector तथा b₁,b₂ उनके direction vectors हैं।
प्रश्न 44. LPP क्या है?
Linear Programming Problem ऐसी optimization समस्या है जिसमें objective function और constraints linear होते हैं।
उद्देश्य किसी quantity को अधिकतम या न्यूनतम करना होता है, जैसे:
Z=ax+by
इसके साथ linear inequalities constraints के रूप में दी जाती हैं।
उद्देश्य किसी quantity को अधिकतम या न्यूनतम करना होता है, जैसे:
Z=ax+by
इसके साथ linear inequalities constraints के रूप में दी जाती हैं।
प्रश्न 45. Objective function क्या है?
LPP में जिस quantity को maximize या minimize करना होता है उसे objective function कहते हैं।
दो variables वाली सामान्य form:
Z=ax+by
उदाहरण: लाभ अधिकतम करना या लागत न्यूनतम करना।
दो variables वाली सामान्य form:
Z=ax+by
उदाहरण: लाभ अधिकतम करना या लागत न्यूनतम करना।
प्रश्न 46. Constraints और Feasible Region समझाइए।
Constraints: वे linear inequalities या equations जो समस्या की वास्तविक सीमाओं को व्यक्त करती हैं।
उदाहरण:
x+y≤10, x≥0, y≥0।
Feasible region: सभी constraints को एक साथ संतुष्ट करने वाले सभी बिंदुओं का साझा क्षेत्र feasible region कहलाता है।
उदाहरण:
x+y≤10, x≥0, y≥0।
Feasible region: सभी constraints को एक साथ संतुष्ट करने वाले सभी बिंदुओं का साझा क्षेत्र feasible region कहलाता है।
प्रश्न 47. Graphical method से LPP हल करने के चरण लिखिए।
1. सभी constraints को linear equations के रूप में boundary lines में बदलें।
2. प्रत्येक boundary line का graph बनाएं।
3. inequalities के अनुसार feasible region पहचानें।
4. feasible region के corner points ज्ञात करें।
5. प्रत्येक corner point पर objective function Z का मान निकालें।
6. maximum या minimum value वाले point को optimum solution चुनें।
2. प्रत्येक boundary line का graph बनाएं।
3. inequalities के अनुसार feasible region पहचानें।
4. feasible region के corner points ज्ञात करें।
5. प्रत्येक corner point पर objective function Z का मान निकालें।
6. maximum या minimum value वाले point को optimum solution चुनें।
प्रश्न 48. Conditional probability क्या है?
घटना B के घटित होने की शर्त पर घटना A के घटित होने की प्रायिकता को conditional probability कहते हैं।
यदि P(B)≠0, तो:
P(A|B)=P(A∩B)/P(B)
यदि P(B)≠0, तो:
P(A|B)=P(A∩B)/P(B)
प्रश्न 49. Multiplication theorem लिखिए।
दो घटनाओं A और B के लिए:
P(A∩B)=P(A)P(B|A)
या,
P(A∩B)=P(B)P(A|B)।
यदि घटनाएँ स्वतंत्र हों, तो:
P(A∩B)=P(A)P(B)।
P(A∩B)=P(A)P(B|A)
या,
P(A∩B)=P(B)P(A|B)।
यदि घटनाएँ स्वतंत्र हों, तो:
P(A∩B)=P(A)P(B)।
प्रश्न 50. Independent events क्या हैं?
यदि एक घटना का घटित होना दूसरी घटना की प्रायिकता को प्रभावित न करे, तो घटनाएँ स्वतंत्र कहलाती हैं।
गणितीय रूप से:
P(A∩B)=P(A)P(B)
तुल्य रूप में P(A|B)=P(A) और P(B|A)=P(B)।
गणितीय रूप से:
P(A∩B)=P(A)P(B)
तुल्य रूप में P(A|B)=P(A) और P(B|A)=P(B)।
प्रश्न 51. Bayes theorem लिखिए।
यदि B₁,B₂,...,Bₙ परस्पर अपवर्जी तथा exhaustive घटनाएँ हैं और A एक घटना है, तो:
P(Bᵢ|A)= [P(Bᵢ)P(A|Bᵢ)] / [ΣP(Bⱼ)P(A|Bⱼ)]
यह theorem किसी परिणाम के ज्ञात होने के बाद उसके संभावित कारण की probability ज्ञात करने में उपयोगी है।
P(Bᵢ|A)= [P(Bᵢ)P(A|Bᵢ)] / [ΣP(Bⱼ)P(A|Bⱼ)]
यह theorem किसी परिणाम के ज्ञात होने के बाद उसके संभावित कारण की probability ज्ञात करने में उपयोगी है।
प्रश्न 52. Bayes theorem का एक अनुप्रयोग बताइए।
Bayes theorem का उपयोग medical diagnosis में किया जा सकता है। यदि किसी व्यक्ति का test positive आया है, तो उस positive result के आधार पर वास्तव में रोग होने की probability ज्ञात की जा सकती है।
इसके अलावा spam filtering, machine learning, fault diagnosis और decision making में भी इसका उपयोग होता है।
इसके अलावा spam filtering, machine learning, fault diagnosis और decision making में भी इसका उपयोग होता है।
प्रश्न 53. दिए गए data से conditional probability निकालिए।
मान लें P(A∩B)=0.2 तथा P(B)=0.5।
Conditional probability:
P(A|B)=P(A∩B)/P(B)
=0.2/0.5
=0.4
अतः B के घटित होने पर A की प्रायिकता 0.4 है।
Conditional probability:
P(A|B)=P(A∩B)/P(B)
=0.2/0.5
=0.4
अतः B के घटित होने पर A की प्रायिकता 0.4 है।
प्रश्न 54. दो स्वतंत्र घटनाओं की संयुक्त प्रायिकता निकालिए।
मान लें P(A)=0.4 तथा P(B)=0.5 और A,B स्वतंत्र हैं।
P(A∩B)=P(A)P(B)
=0.4×0.5
=0.20
P(A∩B)=P(A)P(B)
=0.4×0.5
=0.20
प्रश्न 55. LPP में corner point method समझाइए।
Linear programming की graphical method में feasible region के सभी vertices/corner points महत्वपूर्ण होते हैं।
यदि objective function linear है, तो optimum value सामान्यतः feasible region के किसी corner point पर प्राप्त होती है।
इसलिए सभी corner points के लिए Z की values निकालकर:
सबसे बड़ी value = maximum
सबसे छोटी value = minimum
निर्धारित की जाती है।
यदि objective function linear है, तो optimum value सामान्यतः feasible region के किसी corner point पर प्राप्त होती है।
इसलिए सभी corner points के लिए Z की values निकालकर:
सबसे बड़ी value = maximum
सबसे छोटी value = minimum
निर्धारित की जाती है।
प्रश्न 56. Maximum/Minimum के लिए second derivative test लिखिए।
पहले f'(x)=0 से critical point x=a ज्ञात करें।
फिर f''(a) निकालें।
यदि:
f''(a)>0 ⇒ local minimum
f''(a)<0 b="" local="" maximum="">
यदि f''(a)=0 हो, तो second derivative test निर्णायक नहीं होता और अन्य परीक्षण करना पड़ता है।
फिर f''(a) निकालें।
यदि:
f''(a)>0 ⇒ local minimum
f''(a)<0 b="" local="" maximum="">
यदि f''(a)=0 हो, तो second derivative test निर्णायक नहीं होता और अन्य परीक्षण करना पड़ता है।
प्रश्न 57. समाकलन द्वारा क्षेत्रफल का सूत्र समझाइए।
यदि y=f(x) वक्र x=a से x=b तक x-अक्ष के ऊपर है, तो उसका क्षेत्रफल:
Area=∫ₐᵇf(x)dx
दो curves y=f(x) तथा y=g(x) के बीच:
Area=∫ₐᵇ[f(x)−g(x)]dx
जहाँ f(x) ऊपर तथा g(x) नीचे हो।
Area=∫ₐᵇf(x)dx
दो curves y=f(x) तथा y=g(x) के बीच:
Area=∫ₐᵇ[f(x)−g(x)]dx
जहाँ f(x) ऊपर तथा g(x) नीचे हो।
प्रश्न 58. Direction cosine relation सिद्ध कीजिए।
मान लें रेखा x, y और z अक्षों के साथ α, β, γ कोण बनाती है।
तब:
l=cosα, m=cosβ, n=cosγ
Direction vector की unit length के कारण:
l²+m²+n²
=cos²α+cos²β+cos²γ
=1
अतः
l²+m²+n²=1।
तब:
l=cosα, m=cosβ, n=cosγ
Direction vector की unit length के कारण:
l²+m²+n²
=cos²α+cos²β+cos²γ
=1
अतः
l²+m²+n²=1।
प्रश्न 59. Matrix inverse का सूत्र लिखिए।
किसी non-singular square matrix A के लिए:
A⁻¹=adj(A)/|A|
जहाँ |A|≠0 होना आवश्यक है।
साथ ही:
AA⁻¹=A⁻¹A=I।
A⁻¹=adj(A)/|A|
जहाँ |A|≠0 होना आवश्यक है।
साथ ही:
AA⁻¹=A⁻¹A=I।
प्रश्न 60. Determinant के महत्वपूर्ण गुणधर्म लिखिए।
सारणिक के प्रमुख गुण:
1. यदि किसी determinant की दो पंक्तियाँ या स्तंभ समान हों, तो उसका मान 0 होता है।
2. दो पंक्तियों या स्तंभों की अदला-बदली करने पर determinant का चिन्ह बदल जाता है।
3. किसी एक पंक्ति/स्तंभ के सभी अवयवों को k से गुणा करने पर determinant k गुना हो जाता है।
4. यदि एक पंक्ति दूसरी पंक्ति का गुणज हो, तो determinant 0 होता है।
5. किसी पंक्ति में दूसरी पंक्ति का गुणज जोड़ने पर determinant का मान नहीं बदलता।
6. transpose लेने पर determinant का मान नहीं बदलता:
|Aᵀ|=|A|।
1. यदि किसी determinant की दो पंक्तियाँ या स्तंभ समान हों, तो उसका मान 0 होता है।
2. दो पंक्तियों या स्तंभों की अदला-बदली करने पर determinant का चिन्ह बदल जाता है।
3. किसी एक पंक्ति/स्तंभ के सभी अवयवों को k से गुणा करने पर determinant k गुना हो जाता है।
4. यदि एक पंक्ति दूसरी पंक्ति का गुणज हो, तो determinant 0 होता है।
5. किसी पंक्ति में दूसरी पंक्ति का गुणज जोड़ने पर determinant का मान नहीं बदलता।
6. transpose लेने पर determinant का मान नहीं बदलता:
|Aᵀ|=|A|।
इन 60 प्रश्नों की तैयारी कैसे करें?
1. पहले परिभाषाएँ और सूत्र याद करें।
2. फिर प्रत्येक प्रश्न के कम से कम 2 उदाहरण स्वयं हल करें।
3. 3 और 4 अंक वाले प्रश्नों में पूरा समाधान लिखने का अभ्यास करें।
4. केवल अंतिम answer याद न करें; method + formula + steps + final answer याद करें।
1. पहले परिभाषाएँ और सूत्र याद करें।
2. फिर प्रत्येक प्रश्न के कम से कम 2 उदाहरण स्वयं हल करें।
3. 3 और 4 अंक वाले प्रश्नों में पूरा समाधान लिखने का अभ्यास करें।
4. केवल अंतिम answer याद न करें; method + formula + steps + final answer याद करें।
अध्यायवार अतिरिक्त संख्यात्मक अभ्यास — उत्तर सहित
प्रश्न 1. यदि f(x)=3x−2 है, तो f(4) तथा f⁻¹(10) ज्ञात कीजिए।
f(4)=3×4−2=10
y=3x−2
y+2=3x
x=(y+2)/3
अतः f⁻¹(10)=(10+2)/3=4।
y=3x−2
y+2=3x
x=(y+2)/3
अतः f⁻¹(10)=(10+2)/3=4।
प्रश्न 2. A=[[1,2],[3,4]] का inverse ज्ञात कीजिए।
|A|=1×4−2×3=−2
adj(A)=[[4,−2],[−3,1]]
अतः
A⁻¹ = −1/2 [[4,−2],[−3,1]]
= [[-2,1],[3/2,−1/2]]
adj(A)=[[4,−2],[−3,1]]
अतः
A⁻¹ = −1/2 [[4,−2],[−3,1]]
= [[-2,1],[3/2,−1/2]]
प्रश्न 3. f(x)=x³−3x+2 के critical points ज्ञात कीजिए।
f'(x)=3x²−3
=3(x²−1)
अतः f'(x)=0 ⇒ x=±1।
f''(x)=6x।
x=1 पर f''(1)=6>0 ⇒ local minimum।
x=−1 पर f''(−1)=−6<0 ⇒ local maximum।
=3(x²−1)
अतः f'(x)=0 ⇒ x=±1।
f''(x)=6x।
x=1 पर f''(1)=6>0 ⇒ local minimum।
x=−1 पर f''(−1)=−6<0 ⇒ local maximum।
प्रश्न 4. ∫(2x+3)² dx ज्ञात कीजिए।
मान लें t=2x+3।
dt=2dx ⇒ dx=dt/2।
∫(2x+3)²dx =1/2∫t²dt =1/2×t³/3+C
=(2x+3)³/6+C
dt=2dx ⇒ dx=dt/2।
∫(2x+3)²dx =1/2∫t²dt =1/2×t³/3+C
=(2x+3)³/6+C
प्रश्न 5. ∫₀^π sinx dx ज्ञात कीजिए।
∫₀^πsinx dx=[−cosx]₀^π
=−cosπ−(−cos0)
=1+1
=2
=−cosπ−(−cos0)
=1+1
=2
प्रश्न 6. dy/dx = y/x को हल कीजिए।
dy/y=dx/x
∫dy/y=∫dx/x
log y=log x+C
अतः
y=Cx
∫dy/y=∫dx/x
log y=log x+C
अतः
y=Cx
प्रश्न 7. a=2i−j+2k का magnitude ज्ञात कीजिए।
|a|=√(2²+(−1)²+2²)
=√(4+1+4)
=3
=√(4+1+4)
=3
प्रश्न 8. a=i+j तथा b=i−j के बीच कोण ज्ञात कीजिए।
a·b=1×1+1×(−1)=0
अतः θ=90°
दोनों vectors perpendicular हैं।
अतः θ=90°
दोनों vectors perpendicular हैं।
प्रश्न 9. यदि P(A)=0.6 और P(B|A)=0.5 हो तो P(A∩B) ज्ञात कीजिए।
P(A∩B)=P(A)P(B|A)
=0.6×0.5
=0.3
=0.6×0.5
=0.3
प्रश्न 10. एक LPP में corner points (0,0),(2,0),(3,1),(0,4) हैं तथा Z=4x+3y है। maximum value ज्ञात कीजिए।
Z(0,0)=0
Z(2,0)=8
Z(3,1)=12+3=15
Z(0,4)=12
अतः अधिकतम मान 15 है और यह (3,1) पर प्राप्त होता है।
Z(2,0)=8
Z(3,1)=12+3=15
Z(0,4)=12
अतः अधिकतम मान 15 है और यह (3,1) पर प्राप्त होता है।
गणित — अंतिम परीक्षा रिवीजन चार्ट
| अध्याय | अंतिम बार क्या अवश्य दोहराएँ? |
|---|---|
| 1. संबंध एवं फलन | One-One, Onto, Bijective, Composition, Inverse |
| 2. प्रतिलोम त्रिकोणमिति | Principal values, identities, tan⁻¹ formulas |
| 3. आव्यूह | Types, transpose, multiplication, symmetric/skew, inverse |
| 4. सारणिक | Properties, minors, cofactors, area, Cramer rule |
| 5. सांतत्य एवं अवकलनीयता | Limits, continuity, derivatives, logarithmic/parametric differentiation |
| 6. अवकलज के अनुप्रयोग | Increasing/decreasing, critical points, maxima-minima |
| 7. समाकलन | Standard integrals, substitution, by parts, definite integral properties |
| 8. समाकलनों के अनुप्रयोग | Area under curve, area between curves |
| 9. अवकल समीकरण | Order, degree, general solution, variable separable, linear DE |
| 10. सदिश बीजगणित | Magnitude, unit vector, dot/cross product |
| 11. त्रि-विमीय ज्यामिति | DR, DC, line equation, angle, shortest distance |
| 12. रैखिक प्रोग्रामन | Objective, constraints, feasible region, corner point method |
| 13. प्रायिकता | Conditional probability, multiplication theorem, independence, Bayes |
अंतिम सलाह: गणित में केवल theory पढ़ना पर्याप्त नहीं है। प्रत्येक अध्याय से कम-से-कम 5–10 प्रश्न स्वयं हल करें। विशेष रूप से अवकलन, समाकलन, अवकल समीकरण, सदिश, 3-D, LPP और प्रायिकता के प्रश्नों में steps लिखने का अभ्यास करें।
एक नजर में — पूरे गणित का त्वरित रिवीजन
अध्याय 1
Relation • Function • One-One • Onto • Composite • Inverse
Relation • Function • One-One • Onto • Composite • Inverse
अध्याय 2
sin⁻¹ • cos⁻¹ • tan⁻¹ • identities • principal values
sin⁻¹ • cos⁻¹ • tan⁻¹ • identities • principal values
अध्याय 3
Matrix • Types • Operations • Transpose • Inverse
Matrix • Types • Operations • Transpose • Inverse
अध्याय 4
Determinant • Minor • Cofactor • Area • Cramer Rule
Determinant • Minor • Cofactor • Area • Cramer Rule
अध्याय 5
Continuity • Differentiability • Log differentiation • Parametric • Second derivative
Continuity • Differentiability • Log differentiation • Parametric • Second derivative
अध्याय 6
Rate • Increasing/Decreasing • Maxima • Minima
Rate • Increasing/Decreasing • Maxima • Minima
अध्याय 7
Indefinite • Definite • Substitution • By Parts • FTC • Properties
Indefinite • Definite • Substitution • By Parts • FTC • Properties
अध्याय 8
Area under curve • Area between curves
Area under curve • Area between curves
अध्याय 9
Differential equation • General/Particular solution • Variable separable • Linear DE
Differential equation • General/Particular solution • Variable separable • Linear DE
अध्याय 10
Vectors • Magnitude • Dot • Cross • Applications
Vectors • Magnitude • Dot • Cross • Applications
अध्याय 11
3-D line • Direction cosines • Direction ratios • Angle • Distance
3-D line • Direction cosines • Direction ratios • Angle • Distance
अध्याय 12
LPP • Objective function • Constraints • Feasible region • Corner points
LPP • Objective function • Constraints • Feasible region • Corner points
अध्याय 13
Conditional probability • Multiplication theorem • Independence • Bayes
Conditional probability • Multiplication theorem • Independence • Bayes
परीक्षा-पूर्व अंतिम चेकलिस्ट
- सभी standard formulas एक अलग formula-sheet से दोहराएँ।
- प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों की principal values याद करें।
- 2×2 तथा 3×3 matrices और determinants का लगातार अभ्यास करें।
- continuity और differentiability में अंतर अच्छी तरह समझें।
- logarithmic, parametric तथा second-order differentiation का अभ्यास करें।
- maximum-minimum में critical points और sign test पर ध्यान दें।
- integration के standard forms, substitution और by-parts याद करें।
- definite integration के सभी properties दोहराएँ।
- area under curve के लिए graph बनाकर limits तय करना सीखें।
- differential equations में variable separable और linear method विशेष रूप से तैयार करें।
- vector के dot और cross product को सूत्र तथा geometrical meaning दोनों से तैयार करें।
- 3-D geometry में direction ratios/cosines और line equation का अभ्यास करें।
- LPP में graph, feasible region और corner points की गलतियाँ न करें।
- probability में conditional probability, multiplication theorem और Bayes theorem का numerical अभ्यास करें।
- हर 2 अंक के प्रश्न के लिए कम-से-कम 2 steps लिखें।
- 3 अंक के प्रश्नों में formula/मुख्य steps/अंतिम परिणाम दें।
- 4 अंक के numerical में पूरा derivation/steps दिखाएँ।
- अंतिम उत्तर को box या underline करके स्पष्ट करें।
गणित में अंक बढ़ाने की सर्वोत्तम रणनीति: केवल उत्तर याद न करें। हर प्रश्न को Given → Formula → Substitution → Simplification → Final Answer क्रम में हल करें। सिद्ध करने वाले प्रश्नों में हर algebraic step लिखें और graph/LPP/geometry वाले प्रश्नों में आवश्यक चित्र अवश्य बनाएं।
इस अध्ययन सामग्री की मुख्य विशेषताएँ
- ब्लूप्रिंट एवं संशोधित पाठ्यक्रम अनुरूप: 80 अंक की सैद्धांतिक परीक्षा के लिए 1, 2, 3 एवं 4/5 अंक वाले प्रश्नों का ब्लूप्रिंट के अनुसार सटीक विभाजन।
- सम्पूर्ण सूत्र संग्रह (All Formulae Sheet): अवकलन, समाकलन, त्रिविमीय ज्यामिति और आव्यूह-सारणिक के सभी महत्वपूर्ण सूत्रों का एक ही स्थान पर संकलन।
- चरणबद्ध हल (Step-by-Step Solutions): बोर्ड परीक्षा में स्टेप मार्किंग के महत्व को ध्यान में रखते हुए मानक हल विधि।
- महत्वपूर्ण प्रमेय एवं अनुप्रयोग: रोले तथा मध्यमान प्रमेय, समाकलन के गुणधर्म, आव्यूह विधि से समीकरण हल करना और रैखिक प्रोग्रामन के आलेखीय हल।
परीक्षा-उपयोगी प्रश्न बैंक:
- वस्तुनिष्ठ प्रश्न (MCQ / रिक्त स्थान / सही जोड़ी / एक शब्द उत्तर): फॉर्मूला-आधारित सीधे प्रश्न।
- अति लघु उत्तरीय प्रश्न (2 अंक): सरल गणनात्मक और 2-3 स्टेप्स वाले मानक प्रश्न।
- लघु उत्तरीय प्रश्न (3 अंक): मानक विधियों और प्रमेयों के अनुप्रयोग पर आधारित प्रश्न।
- दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (4/5 अंक): समाकलन, अवकल समीकरण, त्रिविमीय ज्यामिति (दो रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी) एवं LPP के विस्तृत हल।
डिस्क्लेमर (Disclaimer)
अस्वीकरण (Disclaimer): इस पोस्ट में उपलब्ध कराई गई अंक योजना, पाठ्यक्रम और अध्ययन सामग्री माध्यमिक शिक्षा मण्डल, मध्यप्रदेश (MPBSE) के आधिकारिक दिशा-निर्देशों एवं सत्र 2026-27 के शैक्षणिक प्रारूप पर आधारित है। यह सामग्री केवल विद्यार्थियों के स्व-अध्ययन, अभ्यास और मार्गदर्शन के उद्देश्य से तैयार की गई है। परीक्षा से संबंधित किसी भी प्रकार के आधिकारिक संशोधन, प्रायोगिक/आंतरिक मूल्यांकन दिशा-निर्देश अथवा अंतिम घोषणा के लिए माध्यमिक शिक्षा मण्डल, म.प्र. की आधिकारिक वेबसाइट (`mpbse.nic.in`) पर जारी सूचनाओं को ही अंतिम रूप से प्रामाणिक माना जाए।
