अर्द्धवार्षिक परीक्षा 2026–27 | आदर्श-प्रश्नपत्र एवं मॉडल उत्तर
Time: 3 Hours
Max Marks: 75
Total Questions: 16
संक्षिप्त विवरण: यह MP Board के नवीनतम ब्लूप्रिंट (75 अंक) और निर्धारित अर्द्धवार्षिक पाठ्यक्रम (Bridge Course, Beehive, Moments, Grammar & Writing) पर आधारित अंग्रेजी विषय का अभ्यास मॉडल पेपर है।
विद्यार्थियों के लिए निर्देश: सभी प्रश्न अनिवार्य हैं। (निर्देशानुसार 2 अंक के प्रश्नों में 'अथवा/OR' का विकल्प नहीं दिया गया है)। पहले स्वयं प्रश्न हल करें, फिर “उत्तर देखें” बटन दबाकर अपने उत्तर का मिलान करें।
डिस्क्लेमर (Disclaimer): यह प्रश्नपत्र केवल विद्यार्थियों के अभ्यास और शैक्षणिक मार्गदर्शन हेतु तैयार किया गया एक संभावित मॉडल पेपर है। यह कोई असली या लीक हुआ पेपर नहीं है। कृपया परीक्षा के सटीक पाठ्यक्रम के लिए MP Board के निर्देशों का ही पालन करें।
अर्द्धवार्षिक परीक्षा 2026–27 | आदर्श-प्रश्नपत्र एवं मॉडल उत्तर
समय: 3 होराः (Hours)
पूर्णांक: 75
प्रश्न: 23 मुख्य प्रश्नाः
संक्षिप्त विवरण: यह MP Board के नवीनतम ब्लूप्रिंट (75 अंक) और निर्धारित अर्द्धवार्षिक पाठ्यक्रम (शेमुषी भाग-1 एवं व्याकरणवीथिः) पर आधारित कक्षा 9 संस्कृत का अभ्यास मॉडल पेपर है।
निर्देश: सर्वे प्रश्नाः अनिवार्याः सन्ति। (निर्देशानुसार खण्ड 'B' के 2 अंक वाले अति लघु-उत्तरीय प्रश्नों में 'अथवा' का विकल्प नहीं दिया गया है)। पहले स्वयं प्रश्न हल करें, फिर “Ans.” बटन दबाकर अपने उत्तर का मिलान करें।
वस्तुनिष्ठ प्रश्नाः (प्रश्न 1 तः 5)
कुल 30 वस्तुनिष्ठ प्रश्न हैं। प्रत्येक 1 अंक। (कुल 30 अंक)।
9. अद्यत्वे सङ्गणकस्य कृते अपि एषा भाषा उपयुक्ततमा अस्ति।
10. अतः अस्माभिः संस्कृतभाषा अवश्यमेव पठनीया।
अथवा: 'धेनुः' (गाय) इति विषये दश वाक्यानि लिखत।
उत्तर: (धेनुः)
1. धेनुः अस्माकं माता अस्ति।
2. धेनोः चत्वारः पादाः, द्वे शृङ्गे, एकं पुच्छं च भवति।
3. धेनुः तृणं खादति।
4. सा अस्मभ्यं मधुरं दुग्धं ददाति।
5. गोदुग्धं स्वास्थ्यकरं हितकरं च भवति।
6. धेनोः दुग्धेन दधि, नवनीतं, घृतं च निर्मीयते।
7. धेनोः गोमयेन उपलानि निर्मीयन्ते।
8. भारतीयाः धेनुं मातृवत् पूजयन्ति।
9. धेनोः वत्साः कृषि-कार्यं कुर्वन्ति।
10. अतः वयं धेनोः रक्षणं कुर्याम।
डिस्क्लेमर (Disclaimer): यह प्रश्नपत्र केवल विद्यार्थियों के अभ्यास और शैक्षणिक मार्गदर्शन हेतु तैयार किया गया एक संभावित मॉडल पेपर है। यह कोई असली या लीक हुआ पेपर नहीं है। कृपया परीक्षा के सटीक पाठ्यक्रम के लिए MP Board के निर्देशों का ही पालन करें।
अर्द्धवार्षिक परीक्षा 2026–27 | बेसिक एवं स्टैण्डर्ड मॉडल पेपर
निर्देश: नीचे 'बेसिक (Basic)' और 'स्टैण्डर्ड (Standard)' दोनों स्तरों के लिए अलग-अलग पूर्ण प्रश्नपत्र दिए गए हैं। निर्देशानुसार 2 अंक के प्रश्नों में 'अथवा' का विकल्प हटा दिया गया है। उत्तर देखने के लिए बटन दबाएँ।
पेपर 1 : गणित (बेसिक / Basic Level)
समय: 3 घंटे
पूर्णांक: 75
प्रश्न: 23 मुख्य प्रश्न
वस्तुनिष्ठ प्रश्न (प्रश्न 1 से 5)
प्रश्न 1. सही विकल्प चुनकर लिखिए— 6 × 1 = 6
(1) √3 एक संख्या है:
क) परिमेय
ख) अपरिमेय
ग) पूर्णांक
घ) प्राकृत
उत्तर: (ख) अपरिमेय
(2) बहुपद p(x) = 2x + 4 का शून्यक है:
क) 2
ख) -2
ग) 4
घ) 0
उत्तर: (ख) -2
(3) बिंदु (3, -2) की कोटि (y-निर्देशांक) क्या है?
क) 3
ख) -2
ग) 1
घ) 5
उत्तर: (ख) -2
(4) दो चरों वाले रैखिक समीकरण के कितने हल होते हैं?
क) एक
ख) दो
ग) कोई हल नहीं
घ) अपरिमित रूप से अनेक
उत्तर: (घ) अपरिमित रूप से अनेक
(5) त्रिभुज के तीनों अंतः कोणों का योग होता है:
क) 90°
ख) 180°
ग) 360°
घ) 270°
उत्तर: (ख) 180°
(6) (ब्रिज कोर्स) 10 - (-5) का मान होगा:
क) 5
ख) -5
ग) 15
घ) -15
उत्तर: (ग) 15
प्रश्न 2. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए— 6 × 1 = 6
(1) सबसे छोटी पूर्ण संख्या _______ है।
उत्तर: शून्य (0)
(2) बहुपद x³ + 1 की घात _______ है।
उत्तर: 3
(3) x-अक्ष का समीकरण _______ होता है।
उत्तर: y = 0
(4) दो प्रतिच्छेदी रेखाओं में अधिकतम _______ उभयनिष्ठ बिंदु हो सकता है।
उत्तर: एक (1)
(5) समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण _______ डिग्री का होता है।
उत्तर: 60°
(6) वृत्त की सबसे बड़ी जीवा वृत्त का _______ कहलाती है।
उत्तर: व्यास (Diameter)
प्रश्न 3. सत्य / असत्य लिखिए— 6 × 1 = 6
(1) प्रत्येक प्राकृत संख्या एक पूर्ण संख्या होती है।
उत्तर: सत्य
(2) x² + y² एक रैखिक बहुपद है।
उत्तर: असत्य (यह द्विघाती है)।
(3) मूल बिंदु के निर्देशांक (0,0) होते हैं।
उत्तर: सत्य
(4) समांतर रेखाएँ एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं।
उत्तर: असत्य
(5) समकोण का मान 90° होता है।
उत्तर: सत्य
(6) वृत्त की त्रिज्या, व्यास की आधी होती है।
उत्तर: सत्य
प्रश्न 4. सही जोड़ी बनाइए— 6 × 1 = 6
(1) (ब्रिज कोर्स) 0.5 + 0.2
उत्तर: 0.7
(2) x + y = 0
उत्तर: दो चरों वाला रैखिक समीकरण
(3) बिंदु (-1, 2)
उत्तर: द्वितीय चतुर्थांश
(4) न्यूनकोण (Acute angle)
उत्तर: 90° से कम
(5) आयत (Rectangle)
उत्तर: प्रत्येक कोण 90°
(6) अर्द्धवृत्त का कोण
उत्तर: 90° (समकोण)
प्रश्न 5. एक वाक्य/शब्द में उत्तर दीजिए— 6 × 1 = 6
(1) 1/√2 का परिमेयकारी गुणक (Rationalizing factor) क्या है?
उत्तर: √2
(2) बिंदु (0, 4) किस अक्ष पर स्थित है?
उत्तर: y-अक्ष पर।
(3) (a + b)² का सूत्र लिखिए।
उत्तर: a² + 2ab + b²
(4) रैखिक युग्म (Linear pair) के कोणों का योग कितना होता है?
उत्तर: 180°
(5) सर्वांगसमता के SAS नियम का पूरा नाम लिखिए।
उत्तर: भुजा-कोण-भुजा (Side-Angle-Side)
(6) किसी चतुर्भुज के चारों अंतः कोणों का योग कितना होता है?
उत्तर: 360°
अति लघु-उत्तरीय प्रश्न (प्रश्न 6 से 17)
प्रत्येक प्रश्न 2 अंक का है। (इस खण्ड में कोई 'अथवा' प्रश्न नहीं है)
प्रश्न 6. (ब्रिज कोर्स) 0.3 और 0.4 का योगफल ज्ञात कीजिए। 2 अंक
उत्तर: 0.3 + 0.4 = 0.7
प्रश्न 7. (ब्रिज कोर्स) यदि 1 पेन का मूल्य 12 रुपये है, तो 4 पेनों का मूल्य ज्ञात कीजिए। 2 अंक
उत्तर: 1 पेन का मूल्य = 12 रु.
अतः 4 पेनों का मूल्य = 12 × 4 = 48 रुपये।
प्रश्न 8. ज्ञात कीजिए: 641/22 अंक
उत्तर: 64 को 82 के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः (82)1/2 = 8(2 × 1/2) = 81 = 8.
प्रश्न 9. 1 / √5 के हर का परिमेयकरण कीजिए। 2 अंक
उत्तर: हर का परिमेयकरण करने के लिए अंश और हर में √5 से गुणा करेंगे:
= (1 / √5) × (√5 / √5) = √5 / 5.
प्रश्न 10. बहुपद p(x) = x² - x + 2 के लिए p(0) का मान ज्ञात कीजिए। 2 अंक
उत्तर: x = 0 रखने पर:
p(0) = (0)² - (0) + 2 = 0 - 0 + 2 = 2.
प्रश्न 11. x² + 5x + 6 के गुणनखंड कीजिए। 2 अंक
उत्तर: मध्य पद को तोड़ने पर:
x² + 2x + 3x + 6
= x(x + 2) + 3(x + 2)
= (x + 2)(x + 3).
प्रश्न 12. बिंदु (-3, -4) किस चतुर्थांश में स्थित है? कारण सहित लिखिए। 2 अंक
उत्तर: यह तृतीय (Third) चतुर्थांश में स्थित है क्योंकि इसके दोनों निर्देशांक (भुज और कोटि) ऋणात्मक हैं।
प्रश्न 13. रैखिक समीकरण x + y = 4 का एक हल लिखिए। 2 अंक
उत्तर: यदि x = 0 रखें, तो 0 + y = 4 ⇒ y = 4.
अतः एक हल (0, 4) है। (आप (2,2) या (4,0) भी लिख सकते हैं)।
प्रश्न 14. यूक्लिड की पहली अभिगृहीत (Axiom) लिखिए। 2 अंक
उत्तर: "वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु के बराबर हों, वे एक-दूसरे के भी बराबर होती हैं।"
प्रश्न 15. संपूरक कोण (Supplementary Angles) किसे कहते हैं? 2 अंक
उत्तर: जब दो कोणों का योगफल 180° होता है, तो उन्हें एक-दूसरे का संपूरक कोण कहते हैं।
प्रश्न 16. त्रिभुजों की सर्वांगसमता का ASA नियम लिखिए। 2 अंक
उत्तर: ASA (कोण-भुजा-कोण) नियम: यदि एक त्रिभुज के दो कोण और उनके बीच की भुजा, दूसरे त्रिभुज के संगत दो कोणों और बीच की भुजा के बराबर हों, तो दोनों त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।
प्रश्न 17. समचतुर्भुज (Rhombus) की कोई दो विशेषताएँ लिखिए। 2 अंक
उत्तर: 1. समचतुर्भुज की चारों भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं。
2. इसके विकर्ण एक-दूसरे को समकोण (90°) पर समद्विभाजित करते हैं।
लघु-उत्तरीय प्रश्न (प्रश्न 18 से 20)
प्रत्येक प्रश्न 3 अंक का है। (इनमें 'अथवा' विकल्प दिए गए हैं)
प्रश्न 18. सिद्ध कीजिए कि यदि दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, तो शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं। 3 अंक
उत्तर: माना AB और CD बिंदु O पर काटती हैं।
रैखिक युग्म से: ∠AOC + ∠AOD = 180° (समीकरण 1)
∠AOD + ∠BOD = 180° (समीकरण 2)
दोनों को बराबर रखने पर:
∠AOC + ∠AOD = ∠AOD + ∠BOD
दोनों ओर से ∠AOD हटाने पर ∠AOC = ∠BOD प्राप्त होता है। (सिद्ध हुआ)
अथवा: दो संपूरक कोणों का अनुपात 2:3 है। दोनों कोण ज्ञात कीजिए।
उत्तर: माना कोण 2x और 3x हैं।
संपूरक कोणों का योग = 180°
2x + 3x = 180° ⇒ 5x = 180° ⇒ x = 36°
पहला कोण = 2 × 36° = 72°
दूसरा कोण = 3 × 36° = 108°
प्रश्न 19. सिद्ध कीजिए कि आयत के विकर्ण बराबर होते हैं। 3 अंक
उत्तर: माना ABCD एक आयत है। त्रिभुज ABC और DCB में:
1. AB = DC (आयत की सम्मुख भुजाएँ)
2. ∠ABC = ∠DCB = 90° (आयत के कोण)
3. BC = CB (उभयनिष्ठ)
अतः SAS सर्वांगसमता से ΔABC ≅ ΔDCB।
इसलिए CPCT द्वारा AC = BD (विकर्ण बराबर हैं)।
अथवा: सिद्ध कीजिए कि किसी समद्विबाहु त्रिभुज में बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
उत्तर: माना ΔABC में AB = AC है। ∠A का समद्विभाजक AD खींचा जो BC को D पर मिलता है।
ΔABD और ΔACD में:
AB = AC (दिया है)
∠BAD = ∠CAD (रचना से)
AD = AD (उभयनिष्ठ)
अतः SAS सर्वांगसमता से ΔABD ≅ ΔACD।
इसलिए CPCT द्वारा ∠B = ∠C (सिद्ध हुआ)।
प्रश्न 20. सिद्ध कीजिए कि वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। 3 अंक
उत्तर: माना वृत्त का केंद्र O और जीवा AB है। OM ⊥ AB खींचा।
ΔOMA और ΔOMB में:
∠OMA = ∠OMB = 90°
OA = OB (त्रिज्याएँ)
OM = OM (उभयनिष्ठ)
अतः RHS सर्वांगसमता से ΔOMA ≅ ΔOMB।
इसलिए CPCT से AM = MB। (सिद्ध हुआ)
अथवा: सिद्ध कीजिए कि वृत्त की समान जीवाएँ केंद्र पर समान कोण अंतरित करती हैं।
उत्तर: माना वृत्त के केंद्र O पर दो समान जीवाएँ AB = CD हैं।
ΔAOB और ΔCOD में:
OA = OC (त्रिज्या)
OB = OD (त्रिज्या)
AB = CD (दिया है)
अतः SSS सर्वांगसमता से ΔAOB ≅ ΔCOD।
इसलिए CPCT से ∠AOB = ∠COD। (सिद्ध हुआ)
दीर्घ-उत्तरीय प्रश्न (प्रश्न 21 से 23)
प्रत्येक प्रश्न 4 अंक का है।
प्रश्न 21. सर्वसमिका का प्रयोग करके (x + 2y + 4z)² का प्रसार कीजिए। 4 अंक
प्रश्न 7. (ब्रिज कोर्स) यदि 15 पुस्तकों का मूल्य 300 रुपये है, तो 1 पुस्तक का मूल्य ज्ञात कीजिए। 2 अंक
उत्तर: 15 पुस्तकों का मूल्य = 300 रु.
1 पुस्तक का मूल्य = 300 / 15 = 20 रुपये।
प्रश्न 8. 1 / (2 + √3) के हर का परिमेयकरण कीजिए। 2 अंक
उत्तर: अंश और हर में (2 - √3) से गुणा करने पर:
= [1 / (2 + √3)] × [(2 - √3) / (2 - √3)]
= (2 - √3) / (2² - (√3)²)
= (2 - √3) / (4 - 3) = 2 - √3.
प्रश्न 9. मान ज्ञात कीजिए: (64)-1/32 अंक
उत्तर: 64 = 4³
(4³)-1/3 = 4(3 × -1/3) = 4-1 = 1/4.
प्रश्न 10. बहुपद 2x² + 7x + 3 का गुणनखंडन कीजिए। 2 अंक
उत्तर: मध्य पद 7x को ऐसे तोड़ें कि गुणा करने पर 2×3=6 आए।
2x² + 6x + 1x + 3
= 2x(x + 3) + 1(x + 3)
= (2x + 1)(x + 3).
प्रश्न 11. शेषफल प्रमेय द्वारा ज्ञात कीजिए कि जब x³ - ax² + 6x - a को x - a से भाग दिया जाता है, तो शेषफल क्या होगा? 2 अंक
उत्तर: x - a = 0 ⇒ x = a रखने पर:
p(a) = a³ - a(a)² + 6(a) - a
= a³ - a³ + 6a - a = 5a.
अतः शेषफल 5a है।
प्रश्न 12. उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो y-अक्ष पर स्थित है और जिसकी मूल बिंदु से दूरी ऋणात्मक y-अक्ष की दिशा में 4 इकाई है। 2 अंक
उत्तर: y-अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु का x-निर्देशांक 0 होता है। चूँकि दूरी ऋणात्मक दिशा में 4 है, अतः y-निर्देशांक -4 होगा।
अतः निर्देशांक (0, -4) हैं।
प्रश्न 13. यदि x = 1, y = 2 समीकरण 3x + ky = 7 का एक हल है, तो k का मान ज्ञात कीजिए। 2 अंक
उत्तर: समीकरण 3x + ky = 7 में x=1 और y=2 रखने पर:
3(1) + k(2) = 7
3 + 2k = 7 ⇒ 2k = 4 ⇒ k = 2.
प्रश्न 14. यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा (5th Postulate) संक्षेप में लिखिए। 2 अंक
उत्तर: यदि एक सीधी रेखा दो सीधी रेखाओं पर गिरकर अपने एक ही ओर दो अंतः कोण इस प्रकार बनाए कि इन दोनों कोणों का योग 180° से कम हो, तो वे दोनों रेखाएँ अनिश्चित रूप से बढ़ाए जाने पर उसी ओर मिलती हैं जिस ओर यह योग 180° से कम होता है।
प्रश्न 15. यदि एक कोण अपने पूरक कोण (Complement) के बराबर है, तो उस कोण का मान ज्ञात कीजिए। 2 अंक
उत्तर: माना कोण x है। इसका पूरक कोण (90° - x) होगा।
प्रश्नानुसार: x = 90° - x ⇒ 2x = 90° ⇒ x = 45°.
अतः वह कोण 45° है।
प्रश्न 16. त्रिभुजों की सर्वांगसमता का RHS (समकोण-कर्ण-भुजा) नियम लिखिए। 2 अंक
उत्तर: RHS नियम: यदि दो समकोण त्रिभुजों में, एक त्रिभुज का कर्ण और एक भुजा क्रमशः दूसरे त्रिभुज के कर्ण और संगत भुजा के बराबर हों, तो दोनों त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।
प्रश्न 17. सिद्ध कीजिए कि समांतर चतुर्भुज का विकर्ण उसे दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है। 2 अंक
उत्तर: माना समांतर चतुर्भुज ABCD का विकर्ण AC है।
ΔABC और ΔCDA में:
∠BAC = ∠DCA (AB||DC, एकांतर कोण)
∠BCA = ∠DAC (BC||AD, एकांतर कोण)
AC = CA (उभयनिष्ठ)
अतः ASA नियम से ΔABC ≅ ΔCDA। (सिद्ध हुआ)
लघु-उत्तरीय प्रश्न (प्रश्न 18 से 20)
प्रत्येक प्रश्न 3 अंक का है। (इनमें 'अथवा' विकल्प दिए गए हैं)
प्रश्न 18. सिद्ध कीजिए कि वे रेखाएँ जो एक ही रेखा के समांतर हों, परस्पर समांतर होती हैं। 3 अंक
उत्तर: माना तीन रेखाएँ l, m, n हैं तथा एक तिर्यक रेखा t उन्हें काटती है।
दिया है: l || m और n || m.
सिद्ध करना है: l || n.
प्रमाण: चूंकि l || m, अतः संगत कोण ∠1 = ∠2 (समी 1)
चूंकि n || m, अतः संगत कोण ∠3 = ∠2 (समी 2)
समी 1 और 2 से, ∠1 = ∠3.
चूंकि ये संगत कोण हैं और बराबर हैं, अतः रेखा l और n परस्पर समांतर होंगी। (सिद्ध हुआ)
अथवा: किसी त्रिभुज ABC में भुजा AB = AC है। यदि ∠A = 50° हो, तो ∠B और ∠C का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर: चूँकि AB = AC है, अतः इनके सम्मुख कोण बराबर होंगे (∠B = ∠C)।
त्रिभुज के कोणों का योग = 180°
∠A + ∠B + ∠C = 180°
50° + x + x = 180° (माना ∠B = ∠C = x)
2x = 130° ⇒ x = 65°
अतः ∠B = 65° और ∠C = 65°।
प्रश्न 19. मध्य-बिंदु प्रमेय (Mid-point theorem) का कथन लिखकर उसे सिद्ध कीजिए। 3 अंक
उत्तर:कथन: किसी त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर और आधा होता है।
प्रमाण: ΔABC में AB का मध्य बिंदु E और AC का मध्य बिंदु F है। C से BA के समांतर एक रेखा खींची जो बढ़ाई गई EF को D पर काटती है।
ΔAEF और ΔCDF में:
∠AFE = ∠CFD (शीर्षाभिमुख)
AF = CF (F मध्य बिंदु है)
∠FAE = ∠FCD (एकांतर कोण)
ASA से ΔAEF ≅ ΔCDF ⇒ AE = CD और EF = DF.
चूंकि AE = BE ⇒ BE = CD और BE || CD.
अतः BCDE एक समांतर चतुर्भुज है। इसलिए ED || BC ⇒ EF || BC.
तथा ED = BC ⇒ EF+FD = BC ⇒ 2EF = BC ⇒ EF = ½ BC. (सिद्ध हुआ)
अथवा: सिद्ध कीजिए कि किसी समांतर चतुर्भुज के कोणों के समद्विभाजक (Bisectors) एक आयत बनाते हैं।
उत्तर: माना ABCD समांतर चतुर्भुज है। कोणों A, B, C, D के समद्विभाजक चतुर्भुज PQRS बनाते हैं।
उत्तर: RHS = ½ (x+y+z) [(x²-2xy+y²) + (y²-2yz+z²) + (z²-2zx+x²)]
= ½ (x+y+z) [2x² + 2y² + 2z² - 2xy - 2yz - 2zx]
कोष्ठक से 2 कॉमन लेने पर:
= ½ × 2 (x+y+z) [x² + y² + z² - xy - yz - zx]
= (x+y+z) [x² + y² + z² - xy - yz - zx]
यह सर्वसमिका x³ + y³ + z³ - 3xyz का मानक सूत्र है।
अतः RHS = LHS (सत्यापित)।
प्रश्न 22. सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज के तीनों अंतः कोणों का योग 180° होता है। 4 अंक
उत्तर: माना ΔPQR है। शीर्ष P से आधार QR के समांतर एक रेखा XY खींची।
XY एक सरल रेखा है, अतः ∠XPQ + ∠QPR + ∠YPR = 180° ... (1)
चूंकि XY || QR और PQ तिर्यक रेखा है, अतः एकांतर कोण ∠XPQ = ∠PQR (∠Q).
इसी प्रकार XY || QR और PR तिर्यक रेखा है, अतः एकांतर कोण ∠YPR = ∠PRQ (∠R).
समीकरण (1) में ये मान रखने पर:
∠Q + ∠P + ∠R = 180°
अतः त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है। (सिद्ध हुआ)
अथवा: यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा को बढ़ाया जाए, तो इस प्रकार बना बहिष्कोण (Exterior angle) अपने दोनों अंतः अभिमुख (Interior opposite) कोणों के योग के बराबर होता है। सिद्ध कीजिए।
उत्तर: माना ΔABC की भुजा BC को D तक बढ़ाया गया है, जिससे बहिष्कोण ∠ACD बनता है।
सिद्ध करना है: ∠ACD = ∠A + ∠B.
प्रमाण: एक सरल रेखा पर बने कोणों का योग 180° होता है, अतः:
∠ACB + ∠ACD = 180° ... (1)
त्रिभुज के अंतः कोणों का योग 180° होता है, अतः:
∠A + ∠B + ∠ACB = 180° ... (2)
समीकरण (1) और (2) की तुलना करने पर:
∠ACB + ∠ACD = ∠A + ∠B + ∠ACB
दोनों ओर से ∠ACB घटाने पर:
∠ACD = ∠A + ∠B.
(सिद्ध हुआ)
प्रश्न 23. यदि किसी चक्रीय चतुर्भुज (Cyclic quadrilateral) की एक भुजा बढ़ाई जाए, तो सिद्ध कीजिए कि बहिष्कोण अपने सम्मुख अंतः कोण (Interior opposite angle) के बराबर होता है। 4 अंक
उत्तर: माना ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है और इसकी भुजा AB को E तक बढ़ाया गया है, जिससे बहिष्कोण ∠CBE बनता है।
हम जानते हैं कि चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180° होता है। अतः:
∠ABC + ∠ADC = 180° ... (2)
समीकरण (1) और (2) से:
∠ABC + ∠CBE = ∠ABC + ∠ADC
दोनों ओर से ∠ABC हटाने पर:
∠CBE = ∠ADC
(सिद्ध हुआ)
अथवा: सिद्ध कीजिए कि वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। (चित्र का वर्णन भी करें)
उत्तर:चित्र वर्णन: एक वृत्त बनाएँ जिसका केंद्र O हो। एक जीवा AB खींचें। O से AB पर लंब OM खींचें, जो AB को M पर मिलता है। OA और OB को मिलाएँ (ये त्रिज्याएँ हैं)।
दिया है: केंद्र O वाला वृत्त, जीवा AB, और OM ⊥ AB (∠OMA = ∠OMB = 90°)।
सिद्ध करना है: AM = MB.
प्रमाण: समकोण ΔOMA और ΔOMB में:
1. ∠OMA = ∠OMB = 90° (दिया है)
2. कर्ण OA = कर्ण OB (वृत्त की त्रिज्याएँ)
3. भुजा OM = OM (उभयनिष्ठ)
अतः RHS (समकोण-कर्ण-भुजा) सर्वांगसमता नियम से:
ΔOMA ≅ ΔOMB.
CPCT (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) से:
AM = MB.
अतः केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। (सिद्ध हुआ)
डिस्क्लेमर (Disclaimer): यह प्रश्नपत्र केवल विद्यार्थियों के अभ्यास और शैक्षणिक मार्गदर्शन हेतु तैयार किया गया एक संभावित मॉडल पेपर है। यह कोई असली या लीक हुआ पेपर नहीं है। कृपया परीक्षा के सटीक पाठ्यक्रम के लिए MP Board के निर्देशों का ही पालन करें।
