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कक्षा 11वीं — गणित (Mathematics)

अर्द्धवार्षिक परीक्षा 2026–27 | आदर्श-प्रश्नपत्र एवं मॉडल उत्तर

समय: 3 घंटे

पूर्णांक: 80

प्रश्न: 23 मुख्य प्रश्न

संक्षिप्त विवरण: यह MP Board के नवीनतम ब्लूप्रिंट (80 अंक) और निर्धारित अर्द्धवार्षिक पाठ्यक्रम (अध्याय 1 से 12 तक) पर आधारित कक्षा 11 गणित का अभ्यास मॉडल पेपर है।

विद्यार्थियों के लिए निर्देश: सभी प्रश्न अनिवार्य हैं। (नोट: निर्देशानुसार खण्ड 'B' के 2 अंक वाले प्रश्नों में 'अथवा' का विकल्प नहीं दिया गया है)। पहले स्वयं प्रश्न हल करें, फिर “उत्तर देखें” बटन दबाकर अपने उत्तर का मिलान करें।

वस्तुनिष्ठ प्रश्न (प्रश्न 1 से 5)

कुल 32 वस्तुनिष्ठ प्रश्न हैं। प्रत्येक 1 अंक। (कुल 32 अंक)।

प्रश्न 1. सही विकल्प चुनकर लिखिए— 6 × 1 = 6

(1) यदि A = {1, 2} तथा B = {3, 4} हो, तो A × B में अवयवों की कुल संख्या होगी:

क) 2

ख) 4

ग) 6

घ) 8

मॉडल उत्तर:

(ख) 4 (चूँकि n(A)=2, n(B)=2, अतः n(A×B) = 2×2 = 4)

(2) sin(π/3) का मान क्या होता है?

क) 1/2

ख) 1/√2

ग) √3/2

घ) 1

मॉडल उत्तर:

(ग) √3/2

(3) सम्मिश्र संख्या में i² का मान क्या होता है?

क) 1

ख) -1

ग) i

घ) -i

मॉडल उत्तर:

(ख) -1

(4) ⁿC₀ का मान होता है:

क) n

ख) 0

ग) 1

घ) n!

मॉडल उत्तर:

(ग) 1

(5) d/dx (sin x) का मान होता है:

क) cos x

ख) -cos x

ग) sec x

घ) -sin x

मॉडल उत्तर:

(क) cos x

(6) x-अक्ष पर स्थित किसी बिंदु का z-निर्देशांक होता है:

क) x

ख) y

ग) 1

घ) 0

मॉडल उत्तर:

(घ) 0

प्रश्न 2. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए— 6 × 1 = 6

(1) A ∪ A' का मान _______ होता है। (जहाँ A' पूरक समुच्चय है)

मॉडल उत्तर:

U (सार्वत्रिक समुच्चय)

(2) सम्मिश्र संख्या z = x + iy का मापांक _______ होता है।

मॉडल उत्तर:

√(x² + y²)

(3) 5! (फैक्टोरियल 5) का मान _______ होता है।

मॉडल उत्तर:

120

(4) अनुक्रम 2, 4, 6, 8, ... का nवाँ पद a_n = _______ होगा।

मॉडल उत्तर:

(5) सरल रेखा y = mx + c में m रेखा की _______ कहलाती है।

मॉडल उत्तर:

प्रवणता (या ढाल / Slope)

(6) lim (x→0) (sin x) / x का मान _______ होता है।

मॉडल उत्तर:

प्रश्न 3. सत्य / असत्य लिखिए— 6 × 1 = 6

(1) रिक्त समुच्चय (Null set) प्रत्येक समुच्चय का उपसमुच्चय होता है।

मॉडल उत्तर:

सत्य।

(2) cos(x + y) = cos x cos y + sin x sin y होता है।

मॉडल उत्तर:

असत्य (सही सूत्र: cos x cos y - sin x sin y होता है)।

(3) सम्मिश्र संख्याओं में i⁴ = 1 होता है।

मॉडल उत्तर:

सत्य।

(4) वृत्त x² + y² = a² की त्रिज्या 'a' होती है।

मॉडल उत्तर:

सत्य।

(5) (x + y)ⁿ के द्विपद प्रसार में पदों की कुल संख्या n होती है।

मॉडल उत्तर:

असत्य (पदों की संख्या n + 1 होती है)।

(6) d/dx (xⁿ) = n x^n-1 होता है।

मॉडल उत्तर:

सत्य।

प्रश्न 4. सही जोड़ी बनाइए— 7 × 1 = 7

(1) sin²x + cos²x (सही जोड़ी का मिलान नीचे उत्तर में देखें)

मॉडल उत्तर:

(2) 1 + tan²x (सही जोड़ी का मिलान नीचे उत्तर में देखें)

मॉडल उत्तर:

sec²x

(3) ⁿP_r का सूत्र (सही जोड़ी का मिलान नीचे उत्तर में देखें)

मॉडल उत्तर:

n! / (n - r)!

(4) ⁿC_r का सूत्र (सही जोड़ी का मिलान नीचे उत्तर में देखें)

मॉडल उत्तर:

n! / [r!(n - r)!]

(5) d/dx (e^x) (सही जोड़ी का मिलान नीचे उत्तर में देखें)

मॉडल उत्तर:

e^x

(6) d/dx (log x) (सही जोड़ी का मिलान नीचे उत्तर में देखें)

मॉडल उत्तर:

1 / x

(7) परवलय (Parabola) का मानक समीकरण (सही जोड़ी का मिलान नीचे उत्तर में देखें)

मॉडल उत्तर:

y² = 4ax

प्रश्न 5. एक वाक्य/शब्द में उत्तर दीजिए— 7 × 1 = 7

(1) यदि A ∩ B = φ (रिक्त समुच्चय) हो, तो A और B क्या कहलाते हैं?

मॉडल उत्तर:

असंयुक्त समुच्चय (Disjoint Sets)।

(2) तत्समक फलन (Identity function) f(x) = x का प्रान्त (Domain) क्या होता है?

मॉडल उत्तर:

R (सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय)।

(3) सम्मिश्र संख्या z = a + ib का संयुग्मी (Conjugate) लिखिए।

मॉडल उत्तर:

z̄ = a - ib

(4) बिंदु (2, 3) और (5, 7) के बीच की दूरी लिखिए।

मॉडल उत्तर:

5 इकाई (चूँकि √[(5-2)² + (7-3)²] = √(9+16) = √25 = 5)।

(5) (a + b)ⁿ के द्विपद प्रसार का व्यापक पद (General Term) T_r+1 लिखिए।

मॉडल उत्तर:

T_r+1 = ⁿC_r a^n-r b^r

(6) lim (x→a) (xⁿ - aⁿ) / (x - a) का मान लिखिए।

मॉडल उत्तर:

n a^n-1

(7) x-अक्ष और y-अक्ष दोनों के लंबवत (Perpendicular) कौन-सी अक्ष होती है?

मॉडल उत्तर:

z-अक्ष।

अति लघु-उत्तरीय प्रश्न (प्रश्न 6 से 15)

प्रत्येक प्रश्न 2 अंक का है। कुल 20 अंक। (इस खण्ड में कोई 'अथवा' प्रश्न नहीं है)

प्रश्न 6. यदि A = {1, 2, 3} और B = {2, 3, 4}, तो A ∪ B और A ∩ B ज्ञात कीजिए। 2 अंक

मॉडल उत्तर:

A ∪ B = {1, 2, 3, 4} (दोनों समुच्चयों के सभी अवयव, बिना दोहराए)

A ∩ B = {2, 3} (दोनों समुच्चयों के उभयनिष्ठ (Common) अवयव)

प्रश्न 7. यदि f(x) = x² + 2x + 1 है, तो f(2) का मान ज्ञात कीजिए। 2 अंक

मॉडल उत्तर:

दिया है: f(x) = x² + 2x + 1

x = 2 रखने पर:

f(2) = (2)² + 2(2) + 1

f(2) = 4 + 4 + 1

f(2) = 9

प्रश्न 8. 40° 20' (40 डिग्री 20 मिनट) को रेडियन माप में बदलिए। 2 अंक

मॉडल उत्तर:

हम जानते हैं कि 1° = 60'

अतः 20' = 20/60 = 1/3 डिग्री

40° 20' = (40 + 1/3)° = (121/3)°

रेडियन में बदलने के लिए (π/180) से गुणा करते हैं:

रेडियन माप = (121/3) × (π/180) = 121π / 540 रेडियन।

प्रश्न 9. सम्मिश्र संख्या z = 3 - 4i का मापांक (Modulus) ज्ञात कीजिए। 2 अंक

मॉडल उत्तर:

दिया है: z = 3 - 4i

यहाँ वास्तविक भाग x = 3 और काल्पनिक भाग y = -4

मापांक |z| = √(x² + y²)

|z| = √((3)² + (-4)²) = √(9 + 16) = √25

अतः |z| = 5

प्रश्न 10. रैखिक असमिका 3x - 5 < 4 को हल कीजिए, जहाँ x एक वास्तविक संख्या (Real number) है। 2 अंक

मॉडल उत्तर:

दिया है: 3x - 5 < 4

दोनों पक्षों में 5 जोड़ने पर: 3x < 4 + 5

3x < 9

दोनों पक्षों में 3 से भाग देने पर: x < 3

चूंकि x एक वास्तविक संख्या है, अतः हल समुच्चय = (-∞, 3) होगा।

प्रश्न 11. शब्द 'ROSE' के अक्षरों से बनने वाले 4 अक्षरों के क्रमचयों (Permutations) की संख्या ज्ञात कीजिए (अक्षरों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है)। 2 अंक

मॉडल उत्तर:

शब्द 'ROSE' में कुल 4 अक्षर (R, O, S, E) हैं और सभी भिन्न हैं।

अतः 4 अक्षरों को एक साथ लेकर बनने वाले क्रमचयों की कुल संख्या = ⁴P₄ या 4!

4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24.

अतः 24 शब्द बनाए जा सकते हैं।

प्रश्न 12. गुणोत्तर अनुक्रम (G.P.) 3, 6, 12, ... का 7वाँ पद ज्ञात कीजिए। 2 अंक

मॉडल उत्तर:

दिए गए अनुक्रम में:

प्रथम पद (a) = 3

सार्वानुपात (r) = 6/3 = 2

हम जानते हैं कि nवाँ पद a_n = a r^n-1 होता है。

अतः 7वाँ पद a₇ = 3 × (2)^7-1 = 3 × 2⁶

a₇ = 3 × 64 = 192.

प्रश्न 13. बिंदु (1, 2) से जाने वाली और प्रवणता (Slope) 3 वाली सरल रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए। 2 अंक

मॉडल उत्तर:

दिया है: बिंदु (x₁, y₁) = (1, 2) और प्रवणता m = 3

रेखा का बिंदु-ढाल रूप समीकरण: y - y₁ = m(x - x₁)

मान रखने पर: y - 2 = 3(x - 1)

y - 2 = 3x - 3

3x - y - 1 = 0

यही अभीष्ट सरल रेखा का समीकरण है।

प्रश्न 14. त्रिविमीय ज्यामिति में बिंदुओं (2, 3, 5) और (4, 3, 1) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। 2 अंक

मॉडल उत्तर:

दूरी सूत्र d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²]

d = √[(4 - 2)² + (3 - 3)² + (1 - 5)²]

d = √[(2)² + (0)² + (-4)²]

d = √(4 + 0 + 16) = √20 = 2√5 इकाई।

प्रश्न 15. फलन f(x) = x³ - 2x का x के सापेक्ष अवकलन (Derivative) ज्ञात कीजिए। 2 अंक

मॉडल उत्तर:

दिया है: f(x) = x³ - 2x

x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

f'(x) = d/dx (x³ - 2x)

f'(x) = d/dx (x³) - d/dx (2x)

f'(x) = 3x² - 2

लघु-उत्तरीय प्रश्न (प्रश्न 16 से 19)

प्रत्येक प्रश्न 3 अंक का है। कुल 12 अंक। (इनमें 'अथवा' विकल्प दिए गए हैं)

प्रश्न 16. सिद्ध कीजिए: (cos x + cos y)² + (sin x - sin y)² = 4 cos²((x+y)/2) 3 अंक

मॉडल उत्तर:

LHS = (cos x + cos y)² + (sin x - sin y)²

विस्तार करने पर:

= (cos²x + cos²y + 2 cos x cos y) + (sin²x + sin²y - 2 sin x sin y)

पदों को व्यवस्थित करने पर:

= (cos²x + sin²x) + (cos²y + sin²y) + 2(cos x cos y - sin x sin y)

चूंकि sin²θ + cos²θ = 1 और cos(x+y) = cos x cos y - sin x sin y

= 1 + 1 + 2 cos(x+y) = 2 + 2 cos(x+y) = 2[1 + cos(x+y)]

चूंकि 1 + cos A = 2 cos²(A/2)

अतः = 2 [2 cos²((x+y)/2)] = 4 cos²((x+y)/2) = RHS. (सिद्ध हुआ)

अथवा: सिद्ध कीजिए कि: sin(x+y) / sin(x-y) = (tan x + tan y) / (tan x - tan y)

मॉडल उत्तर:

LHS = sin(x+y) / sin(x-y)

सूत्रों का प्रयोग करने पर:

= (sin x cos y + cos x sin y) / (sin x cos y - cos x sin y)

अंश और हर दोनों में (cos x cos y) का भाग देने पर:

= [ (sin x cos y)/(cos x cos y) + (cos x sin y)/(cos x cos y) ] / [ (sin x cos y)/(cos x cos y) - (cos x sin y)/(cos x cos y) ]

= [ (sin x/cos x) + (sin y/cos y) ] / [ (sin x/cos x) - (sin y/cos y) ]

= (tan x + tan y) / (tan x - tan y) = RHS. (सिद्ध हुआ)

प्रश्न 17. सम्मिश्र संख्या z = (1+i) / (1-i) को a + ib के रूप में व्यक्त कीजिए। 3 अंक

मॉडल उत्तर:

दिया है: z = (1+i) / (1-i)

हर का परिमेयकरण (Rationalization) करने के लिए अंश और हर में (1+i) से गुणा करते हैं:

z = [ (1+i)(1+i) ] / [ (1-i)(1+i) ]

z = (1 + i)² / (1² - i²)

z = (1 + i² + 2i) / (1 - (-1))

चूंकि i² = -1 होता है:

z = (1 - 1 + 2i) / 2 = 2i / 2 = i

अतः a+ib का रूप होगा: z = 0 + 1i (जहाँ a=0, b=1)।

अथवा: द्विघात समीकरण x² + x + 1 = 0 को हल कीजिए।

मॉडल उत्तर:

समीकरण: x² + x + 1 = 0

यहाँ a=1, b=1, c=1 है।

विविक्तकर (Discriminant) D = b² - 4ac = (1)² - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3

श्रीधराचार्य सूत्र से:

x = (-b ± √D) / 2a

x = (-1 ± √(-3)) / 2(1)

चूंकि √(-3) = √3 i

अतः x = (-1 ± √3 i) / 2

प्रश्न 18. द्विपद प्रमेय का उपयोग करके (x + 2y)⁵ का प्रसार कीजिए। 3 अंक

मॉडल उत्तर:

द्विपद प्रमेय: (a+b)ⁿ = ⁿC₀ aⁿ + ⁿC₁ a^n-1b + ... + ⁿC_n bⁿ

यहाँ a = x, b = 2y, n = 5

(x + 2y)⁵ = ⁵C₀(x)⁵(2y)⁰ + ⁵C₁(x)⁴(2y)¹ + ⁵C₂(x)³(2y)² + ⁵C₃(x)²(2y)³ + ⁵C₄(x)¹(2y)⁴ + ⁵C₅(x)⁰(2y)⁵

मान रखने पर:

= 1·x⁵·1 + 5·x⁴·(2y) + 10·x³·(4y²) + 10·x²·(8y³) + 5·x·(16y⁴) + 1·1·(32y⁵)

= x⁵ + 10x⁴y + 40x³y² + 80x²y³ + 80xy⁴ + 32y⁵

अथवा: (x - 1/x)⁶ के प्रसार में मध्य पद (Middle term) ज्ञात कीजिए।

मॉडल उत्तर:

यहाँ n = 6 (सम संख्या है)।

अतः प्रसार में कुल पद n+1 = 7 होंगे, जो विषम है।

अतः मध्य पद = (n/2 + 1) वाँ पद = (6/2 + 1) = 4था पद (T₄)।

हम जानते हैं T_r+1 = ⁿC_r x^n-r y^r

यहाँ r = 3, n = 6, x = x, y = (-1/x)

T₄ = T₃₊₁ = ⁶C₃ (x)^6-3 (-1/x)³

= 20 · x³ · (-1 / x³)

= -20.

अतः मध्य पद -20 है।

प्रश्न 19. उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केंद्र (2, -3) है और त्रिज्या 5 है। 3 अंक

मॉडल उत्तर:

वृत्त का मानक समीकरण: (x - h)² + (y - k)² = r²

यहाँ केंद्र (h, k) = (2, -3) और त्रिज्या r = 5

मान रखने पर: (x - 2)² + (y - (-3))² = (5)²

(x - 2)² + (y + 3)² = 25

विस्तार करने पर: (x² - 4x + 4) + (y² + 6y + 9) = 25

x² + y² - 4x + 6y + 13 - 25 = 0

x² + y² - 4x + 6y - 12 = 0

यही वृत्त का अभीष्ट समीकरण है।

अथवा: परवलय y² = 12x की नाभि के निर्देशांक, नियता का समीकरण और नाभिलम्ब जीवा (Latus rectum) की लम्बाई ज्ञात कीजिए।

मॉडल उत्तर:

दिए गए परवलय का समीकरण y² = 12x है।

इसकी तुलना मानक रूप y² = 4ax से करने पर:

4a = 12 ⇒ a = 3

चूंकि यह x-अक्ष की धनात्मक दिशा में खुलता है, अतः:

1. नाभि (Focus): (a, 0) = (3, 0)

2. नियता (Directrix) का समीकरण: x = -a ⇒ x = -3 या x + 3 = 0

3. नाभिलम्ब जीवा (Latus Rectum) की लम्बाई: 4a = 12 इकाई।

दीर्घ-उत्तरीय प्रश्न (प्रश्न 20 से 23)

प्रत्येक प्रश्न 4 अंक का है। कुल 16 अंक।

प्रश्न 20. एक कक्षा के 35 विद्यार्थियों में से 24 क्रिकेट खेलना पसंद करते हैं और 16 फुटबॉल खेलना पसंद करते हैं। प्रत्येक विद्यार्थी कम से कम एक खेल अवश्य खेलना पसंद करता है। ज्ञात कीजिए कि कितने विद्यार्थी दोनों खेल खेलना पसंद करते हैं? 4 अंक

मॉडल उत्तर:

माना क्रिकेट खेलने वाले विद्यार्थियों का समुच्चय C और फुटबॉल खेलने वाले विद्यार्थियों का समुच्चय F है।

दिया है:

कुल विद्यार्थी n(C ∪ F) = 35

क्रिकेट खेलने वाले n(C) = 24

फुटबॉल खेलने वाले n(F) = 16

हमें दोनों खेल खेलने वाले विद्यार्थियों की संख्या n(C ∩ F) ज्ञात करनी है।

समुच्चय सिद्धांत के सूत्र से:

n(C ∪ F) = n(C) + n(F) - n(C ∩ F)

मान रखने पर:

35 = 24 + 16 - n(C ∩ F)

35 = 40 - n(C ∩ F)

n(C ∩ F) = 40 - 35 = 5

अतः 5 विद्यार्थी दोनों खेल खेलना पसंद करते हैं।

अथवा: यदि U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {2, 4, 6, 8} और B = {2, 3, 5, 7} है, तो डी-मॉर्गन के नियम (A ∪ B)' = A' ∩ B' को सत्यापित कीजिए।

मॉडल उत्तर:

दिया है: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

A = {2, 4, 6, 8}

B = {2, 3, 5, 7}

LHS की गणना:

A ∪ B (A और B के सभी अवयव) = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

(A ∪ B)' (U के वे अवयव जो A ∪ B में नहीं हैं) = {1, 9} ... (समीकरण 1)

RHS की गणना:

A' (U के वे अवयव जो A में नहीं हैं) = {1, 3, 5, 7, 9}

B' (U के वे अवयव जो B में नहीं हैं) = {1, 4, 6, 8, 9}

A' ∩ B' (A' और B' के उभयनिष्ठ अवयव) = {1, 9} ... (समीकरण 2)

समीकरण 1 और 2 से स्पष्ट है कि LHS = RHS. (सत्यापित)

प्रश्न 21. यदि किसी समांतर श्रेढ़ी (A.P.) का mवाँ पद 1/n तथा nवाँ पद 1/m हो, तो सिद्ध कीजिए कि mnवाँ पद 1 होगा। 4 अंक

मॉडल उत्तर:

माना समांतर श्रेढ़ी का प्रथम पद a और सार्वअंतर d है।

दिया है:

mवाँ पद a_m = a + (m-1)d = 1/n ...(1)

nवाँ पद a_n = a + (n-1)d = 1/m ...(2)

समीकरण (1) में से (2) घटाने पर:

[a + (m-1)d] - [a + (n-1)d] = 1/n - 1/m

(m - 1 - n + 1)d = (m - n) / mn

(m - n)d = (m - n) / mn

चूँकि m ≠ n है, अतः d = 1/mn

d का मान समीकरण (1) में रखने पर:

a + (m-1)(1/mn) = 1/n

a + 1/n - 1/mn = 1/n

a - 1/mn = 0 ⇒ a = 1/mn

अब, mnवाँ पद a_mn = a + (mn - 1)d

= 1/mn + (mn - 1)(1/mn)

= 1/mn + 1 - 1/mn = 1

अतः mnवाँ पद 1 होगा। (सिद्ध हुआ)

अथवा: श्रेणी 5 + 55 + 555 + ... के n पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।

मॉडल उत्तर:

माना योगफल S_n = 5 + 55 + 555 + ... n पदों तक

5 कॉमन लेने पर: S_n = 5 (1 + 11 + 111 + ... n पदों तक)

9 से गुणा और भाग करने पर: S_n = 5/9 (9 + 99 + 999 + ... n पदों तक)

इन्हें 10 की घात के रूप में लिखने पर:

S_n = 5/9 [(10 - 1) + (100 - 1) + (1000 - 1) + ... n पदों तक]

पदों को अलग-अलग करने पर:

S_n = 5/9 [ (10 + 10² + 10³ + ... 10ⁿ) - (1 + 1 + 1 ... n बार) ]

प्रथम भाग एक G.P. है जिसका प्रथम पद a = 10 और r = 10 है।

G.P. के n पदों का योग = a(rⁿ - 1)/(r - 1) = 10(10ⁿ - 1)/(10 - 1) = (10/9)(10ⁿ - 1)

दूसरा भाग n बार 1 जोड़ने पर n होगा।

अतः S_n = 5/9 [ (10/9)(10ⁿ - 1) - n ]

= (50/81)(10ⁿ - 1) - (5/9)n

प्रश्न 22. रेखा 3x - 4y + 2 = 0 की मूल बिंदु (0, 0) से लंबिक दूरी (Perpendicular Distance) ज्ञात कीजिए। 4 अंक

मॉडल उत्तर:

हम जानते हैं कि बिंदु (x₁, y₁) से रेखा Ax + By + C = 0 की लंबिक दूरी d का सूत्र है:

d = |Ax₁ + By₁ + C| / √(A² + B²)

यहाँ बिंदु मूल बिंदु (0, 0) है। अतः x₁ = 0, y₁ = 0

रेखा का समीकरण: 3x - 4y + 2 = 0

यहाँ A = 3, B = -4, C = 2

मान रखने पर:

d = |3(0) - 4(0) + 2| / √((3)² + (-4)²)

d = |0 - 0 + 2| / √(9 + 16)

d = |2| / √25

d = 2 / 5 इकाई।

अतः लंबिक दूरी 2/5 इकाई है।

अथवा: उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो x-अक्ष और y-अक्ष पर क्रमशः 3 और -4 के अंतःखंड (Intercepts) काटती है।

मॉडल उत्तर:

रेखा का अंतःखंड रूप (Intercept form) समीकरण होता है:

x/a + y/b = 1

जहाँ 'a' x-अक्ष पर अंतःखंड है और 'b' y-अक्ष पर अंतःखंड है।

प्रश्न के अनुसार, a = 3 और b = -4

मान रखने पर:

x/3 + y/(-4) = 1

x/3 - y/4 = 1

लघुत्तम (LCM) 12 से पूरे समीकरण को गुणा करने पर:

4x - 3y = 12

या 4x - 3y - 12 = 0

यही रेखा का अभीष्ट समीकरण है।

प्रश्न 23. प्रथम सिद्धांत (First Principle) से f(x) = sin x का अवकलन (Derivative) ज्ञात कीजिए। 4 अंक

मॉडल उत्तर:

प्रथम सिद्धांत के अनुसार किसी फलन f(x) का अवकलज:

f'(x) = lim (h→0) [ f(x+h) - f(x) ] / h

दिया है f(x) = sin x, अतः f(x+h) = sin(x+h)

f'(x) = lim (h→0) [ sin(x+h) - sin x ] / h

त्रिकोणमिति के सूत्र sin C - sin D = 2 cos((C+D)/2) sin((C-D)/2) का प्रयोग करने पर:

C = x+h, D = x

sin(x+h) - sin x = 2 cos((x+h+x)/2) sin((x+h-x)/2)

= 2 cos(x + h/2) sin(h/2)

अतः f'(x) = lim (h→0) [ 2 cos(x + h/2) sin(h/2) ] / h

= lim (h→0) cos(x + h/2) · [ sin(h/2) / (h/2) ]

हम जानते हैं कि lim (θ→0) (sin θ / θ) = 1 होता है (यहाँ θ = h/2)

अतः f'(x) = cos(x + 0/2) · (1)

f'(x) = cos x

अतः d/dx (sin x) = cos x (सिद्ध हुआ)।

अथवा: मान ज्ञात कीजिए: lim (x→0) (sin 4x) / (sin 2x)

मॉडल उत्तर:

सीमा ज्ञात करनी है: L = lim (x→0) (sin 4x) / (sin 2x)

अंश और हर में x से भाग देने पर:

L = lim (x→0) [ (sin 4x)/x ] / [ (sin 2x)/x ]

अंश में 4 से गुणा और भाग करने तथा हर में 2 से गुणा और भाग करने पर:

L = lim (x→0) [ 4 · (sin 4x)/(4x) ] / [ 2 · (sin 2x)/(2x) ]

हम जानते हैं कि lim (y→0) (sin y)/y = 1 होता है।

अतः lim (x→0) (sin 4x)/(4x) = 1 और lim (x→0) (sin 2x)/(2x) = 1

मान रखने पर:

L = (4 × 1) / (2 × 1) = 4/2 = 2.

अतः सीमा का मान 2 है।

डिस्क्लेमर (Disclaimer): यह प्रश्नपत्र केवल विद्यार्थियों के अभ्यास और शैक्षणिक मार्गदर्शन हेतु तैयार किया गया एक संभावित मॉडल पेपर है। यह कोई असली या लीक हुआ पेपर नहीं है। कृपया परीक्षा के सटीक पाठ्यक्रम के लिए MP Board के निर्देशों का ही पालन करें।

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