MP EDUCATION GYAN DEEP
कक्षा 11वीं — भौतिक विज्ञान (Physics)
अर्द्धवार्षिक परीक्षा 2026–27 | आदर्श-प्रश्नपत्र एवं मॉडल उत्तर
समय: 3 घंटे
पूर्णांक: 70
प्रश्न: 20 मुख्य प्रश्न
संक्षिप्त विवरण: यह MP Board के नवीनतम ब्लूप्रिंट (70 अंक) और निर्धारित अर्द्धवार्षिक पाठ्यक्रम (अध्याय 1 से 10 तक) पर आधारित कक्षा 11 भौतिक विज्ञान का अभ्यास मॉडल पेपर है।
विद्यार्थियों के लिए निर्देश: सभी प्रश्न अनिवार्य हैं। (नोट: निर्देशानुसार खण्ड 'B' के 2 अंक वाले अति लघु-उत्तरीय प्रश्नों में 'अथवा' का विकल्प नहीं दिया गया है)। पहले स्वयं प्रश्न हल करें, फिर “उत्तर देखें” बटन दबाकर अपने उत्तर का मिलान करें।
वस्तुनिष्ठ प्रश्न (प्रश्न 1 से 5)
कुल 28 वस्तुनिष्ठ प्रश्न हैं। प्रत्येक 1 अंक। (कुल 28 अंक)।
प्रश्न 1. सही विकल्प चुनकर लिखिए— 6 × 1 = 6
(1) प्रकाश वर्ष (Light year) मात्रक है:
मॉडल उत्तर:
(ख) दूरी का
(2) वेग-समय ग्राफ का ढाल (Slope) क्या प्रदर्शित करता है?
मॉडल उत्तर:
(ग) त्वरण
(3) रॉकेट नोदन (Rocket Propulsion) किस सिद्धांत पर आधारित है?
मॉडल उत्तर:
(ग) संवेग संरक्षण
(4) कार्य (Work) का SI मात्रक है:
मॉडल उत्तर:
(ख) जूल
(5) किसी पिंड का जड़त्व आघूर्ण (Moment of Inertia) निर्भर करता है:
मॉडल उत्तर:
(ग) द्रव्यमान और उसके वितरण पर
(6) गुरुत्वीय नियतांक (G) का मान होता है:
मॉडल उत्तर:
(ख) 6.67 × 10⁻¹¹ N m²/kg²
प्रश्न 2. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए— 6 × 1 = 6
(1) 1 पारसेक (Parsec) = _______ प्रकाश वर्ष होता है।
मॉडल उत्तर:
3.26
(2) बल = द्रव्यमान × _______।
मॉडल उत्तर:
त्वरण (Acceleration)
(3) पृथ्वी तल पर पलायन वेग (Escape velocity) का मान _______ किमी/सेकंड होता है।
मॉडल उत्तर:
11.2
(4) हुक के नियम के अनुसार, प्रत्यास्थता की सीमा में प्रतिबल _______ के अनुक्रमानुपाती होता है।
मॉडल उत्तर:
विकृति (Strain)
(5) पृष्ठ तनाव (Surface Tension) का SI मात्रक _______ है।
मॉडल उत्तर:
न्यूटन/मीटर (N/m)
(6) परम शून्य ताप (Absolute zero temperature) का मान केल्विन पैमाने पर _______ होता है।
मॉडल उत्तर:
0 K
प्रश्न 3. सत्य / असत्य लिखिए— 6 × 1 = 6
(1) विस्थापन का मान शून्य, धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है।
मॉडल उत्तर:
सत्य।
(2) घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य हमेशा धनात्मक होता है।
मॉडल उत्तर:
असत्य (घर्षण द्वारा किया गया कार्य ऋणात्मक होता है)।
(3) किसी पिंड का द्रव्यमान केंद्र (Center of Mass) सदैव पिंड के अंदर ही स्थित होता है।
मॉडल उत्तर:
असत्य (यह पिंड के बाहर भी हो सकता है, जैसे अंगूठी (Ring) में)।
(4) भू-स्थायी उपग्रह (Geostationary satellite) का परिक्रमण काल 24 घंटे होता है।
मॉडल उत्तर:
सत्य।
(5) जल की विशिष्ट ऊष्मा (Specific heat) बहुत कम होती है।
मॉडल उत्तर:
असत्य (जल की विशिष्ट ऊष्मा बहुत अधिक होती है)।
(6) हाइड्रोलिक लिफ्ट पास्कल के नियम पर कार्य करती है।
मॉडल उत्तर:
सत्य।
प्रश्न 4. सही जोड़ी बनाइए— 5 × 1 = 5
(1) शक्ति (Power) (सही जोड़ी का मिलान नीचे उत्तर में देखें)
मॉडल उत्तर:
वाट (Watt)
(2) कोणीय संवेग (Angular Momentum) (सही जोड़ी का मिलान नीचे उत्तर में देखें)
मॉडल उत्तर:
जूल-सेकंड (Joule-second)
(3) केप्लर (Kepler) (सही जोड़ी का मिलान नीचे उत्तर में देखें)
मॉडल उत्तर:
ग्रहों की गति के नियम
(4) बर्नूली का प्रमेय (Bernoulli's Theorem) (सही जोड़ी का मिलान नीचे उत्तर में देखें)
मॉडल उत्तर:
ऊर्जा संरक्षण (Conservation of Energy)
(5) प्रतिबल (Stress) (सही जोड़ी का मिलान नीचे उत्तर में देखें)
मॉडल उत्तर:
N/m² (न्यूटन/मीटर²)
प्रश्न 5. एक वाक्य/शब्द में उत्तर दीजिए— 5 × 1 = 5
(1) गतिज ऊर्जा (Kinetic Energy) का सूत्र लिखिए।
मॉडल उत्तर:
K.E. = ½ mv²
(2) गुरुत्वाकर्षण के सार्वत्रिक नियम का प्रतिपादन किसने किया था?
मॉडल उत्तर:
सर आइजैक न्यूटन ने।
(3) एकांक क्षेत्रफल पर लगने वाले प्रत्यानयन बल (Restoring force) को क्या कहते हैं?
मॉडल उत्तर:
प्रतिबल (Stress)।
(4) वायुमंडलीय दाब मापने वाले यंत्र का नाम क्या है?
मॉडल उत्तर:
बैरोमीटर (Barometer)।
(5) परम शून्य ताप का मान सेल्सियस पैमाने पर कितना होता है?
मॉडल उत्तर:
-273.15 °C
अति लघु-उत्तरीय प्रश्न (प्रश्न 6 से 12)
प्रत्येक प्रश्न 2 अंक का है। कुल 14 अंक। (इस खण्ड में कोई 'अथवा' प्रश्न नहीं है)
प्रश्न 6. विमीय विश्लेषण (Dimensional Analysis) के दो उपयोग लिखिए। 2 अंक
मॉडल उत्तर:
1. किसी भौतिक समीकरण की सत्यता (विमीय संतुलन) की जाँच करना।
2. किसी भौतिक राशि के मात्रक को एक पद्धति (जैसे MKS) से दूसरी पद्धति (जैसे CGS) में बदलना।
प्रश्न 7. दूरी (Distance) और विस्थापन (Displacement) में दो अंतर लिखिए। 2 अंक
मॉडल उत्तर:
1. परिभाषा: किसी वस्तु द्वारा तय किए गए पथ की कुल लंबाई दूरी कहलाती है, जबकि वस्तु की प्रारंभिक और अंतिम स्थिति के बीच की न्यूनतम दूरी विस्थापन कहलाती है।
2. राशि: दूरी एक अदिश (Scalar) राशि है, जबकि विस्थापन एक सदिश (Vector) राशि है।
प्रश्न 8. जड़त्व (Inertia) किसे कहते हैं? 2 अंक
मॉडल उत्तर:
किसी वस्तु का वह अंतर्निहित गुण जिसके कारण वह स्वतः अपनी विरामावस्था (Rest) या एकसमान गति की अवस्था (Motion) में परिवर्तन का विरोध करती है, जड़त्व कहलाता है। यह वस्तु के द्रव्यमान पर निर्भर करता है।
प्रश्न 9. शक्ति (Power) की परिभाषा एवं SI मात्रक लिखिए। 2 अंक
मॉडल उत्तर:
किसी कर्ता या मशीन द्वारा कार्य करने की दर को शक्ति कहते हैं। (P = W/t)।
शक्ति का SI मात्रक 'वाट' (Watt) या जूल/सेकंड (J/s) होता है।
प्रश्न 10. कोणीय संवेग संरक्षण का नियम (Law of Conservation of Angular Momentum) लिखिए। 2 अंक
मॉडल उत्तर:
इस नियम के अनुसार, "यदि किसी घूमते हुए निकाय (System) पर लगने वाला बाह्य बल आघूर्ण (External Torque) शून्य हो, तो उस निकाय का कुल कोणीय संवेग (Angular Momentum) नियत (Constant) रहता है।" (अर्थात् τ = 0 तो L = Iω = नियतांक)।
प्रश्न 11. गुरुत्वाकर्षण का सार्वत्रिक नियम (Universal Law of Gravitation) लिखिए। 2 अंक
मॉडल उत्तर:
न्यूटन के अनुसार, "ब्रह्मांड में किन्हीं दो पिंडों के बीच लगने वाला आकर्षण बल उनके द्रव्यमानों के गुणनफल के अनुक्रमानुपाती और उनके बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है।" (F = G m₁m₂ / r²)।
प्रश्न 12. पास्कल का नियम (Pascal's Law) लिखिए। 2 अंक
मॉडल उत्तर:
पास्कल के नियमानुसार, "यदि गुरुत्वीय प्रभाव को नगण्य मान लिया जाए, तो संतुलन की अवस्था में किसी बंद द्रव के किसी एक भाग पर लगाया गया दाब, द्रव द्वारा सभी दिशाओं में समान रूप से संचरित (Transmitted) हो जाता है।"
लघु-उत्तरीय प्रश्न (प्रश्न 13 से 16)
प्रत्येक प्रश्न 3 अंक का है। कुल 12 अंक। (इनमें 'अथवा' विकल्प दिए गए हैं)
प्रश्न 13. प्रक्षेप्य गति (Projectile Motion) किसे कहते हैं? सिद्ध कीजिए कि प्रक्षेप्य का पथ परवलयाकार (Parabolic) होता है। 3 अंक
मॉडल उत्तर:
परिभाषा: जब किसी पिंड को क्षैतिज से कोई कोण बनाते हुए गुरुत्वीय क्षेत्र में फेंका जाता है, तो वह गुरुत्व के अधीन एक वक्र पथ पर गति करता है। इस गति को प्रक्षेप्य गति कहते हैं。
सिद्ध करना: माना किसी पिंड को u वेग से क्षैतिज से θ कोण पर फेंका गया है।
क्षैतिज वेग घटक u_x = u cosθ, ऊर्ध्वाधर वेग घटक u_y = u sinθ.
t समय बाद क्षैतिज दूरी x = u cosθ × t ⇒ t = x / (u cosθ)
t समय बाद ऊर्ध्वाधर दूरी y = u_y t - ½ gt²
y = (u sinθ)(x / u cosθ) - ½ g (x / u cosθ)²
y = x tanθ - [g / (2u² cos²θ)] x²
यह समीकरण y = ax - bx² के रूप का है, जो एक परवलय (Parabola) का समीकरण है। अतः सिद्ध होता है कि प्रक्षेप्य का पथ परवलयाकार होता है।
अथवा: वृत्तीय गति में अभिकेंद्र त्वरण (Centripetal Acceleration) का व्यंजक ज्ञात कीजिए।
मॉडल उत्तर:
जब कोई कण त्रिज्या r के वृत्तीय पथ पर एकसमान चाल v से गति करता है, तो वेग की दिशा लगातार बदलने के कारण केंद्र की ओर एक त्वरण कार्य करता है, जिसे अभिकेंद्र त्वरण (a_c) कहते हैं。
माना कण सूक्ष्म समय Δt में P से Q तक Δs दूरी तय करता है, जिससे केंद्र पर Δθ कोण बनता है।
Δθ = चाप/त्रिज्या = Δs / r
वेग सदिशों के आरेख से, Δv / v ≈ Δθ (सूक्ष्म कोण के लिए)
Δv = v Δθ = v (Δs / r)
त्वरण a_c = lim(Δt→0) Δv / Δt = (v/r) [lim Δs / Δt]
चूंकि lim Δs / Δt = v (रेखीय चाल)
अतः a_c = v² / r
चूंकि v = ωr (जहाँ ω कोणीय वेग है), इसलिए a_c = ω²r।
प्रश्न 14. कार्य-ऊर्जा प्रमेय (Work-Energy Theorem) लिखिए एवं सिद्ध कीजिए। 3 अंक
मॉडल उत्तर:
प्रमेय: किसी वस्तु पर लगाए गए परिणामी बल द्वारा किया गया कार्य, उस वस्तु की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है। (W = ΔK)
सिद्ध करना: माना m द्रव्यमान की वस्तु पर F बल लगाने से उसका वेग u से बढ़कर v हो जाता है, और विस्थापन s होता है।
गति के तृतीय समीकरण से: v² = u² + 2as ⇒ a = (v² - u²) / 2s
न्यूटन के द्वितीय नियम से बल F = ma
F = m [(v² - u²) / 2s]
बल द्वारा किया गया कार्य W = F × s
W = m [(v² - u²) / 2s] × s = ½ mv² - ½ mu²
चूंकि ½ mv² = अंतिम गतिज ऊर्जा (K_f) और ½ mu² = प्रारंभिक गतिज ऊर्जा (K_i)
अतः W = K_f - K_i = ΔK (सिद्ध हुआ)।
अथवा: गतिज ऊर्जा (Kinetic Energy) और स्थितिज ऊर्जा (Potential Energy) में तीन अंतर लिखिए।
मॉडल उत्तर:
1. कारण: गतिज ऊर्जा किसी वस्तु में उसकी गति (Motion) के कारण होती है। स्थितिज ऊर्जा वस्तु की विशेष स्थिति या आकार (Position/Configuration) के कारण होती है。
2. सूत्र: गतिज ऊर्जा का सूत्र K.E. = ½ mv² होता है। गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा का सूत्र P.E. = mgh होता है。
3. शून्यता: यदि वस्तु स्थिर (वेग शून्य) है, तो गतिज ऊर्जा शून्य होती है। स्थितिज ऊर्जा संदर्भ बिंदु (Reference point) पर निर्भर करती है, यह ऊंचाई या खिंचाव होने पर ही विद्यमान रहती है।
प्रश्न 15. पलायन वेग (Escape Velocity) किसे कहते हैं? पृथ्वी तल से पलायन वेग का व्यंजक निगमित कीजिए। 3 अंक
मॉडल उत्तर:
परिभाषा: पलायन वेग वह न्यूनतम वेग है जिससे किसी पिंड को पृथ्वी की सतह से ऊपर फेंकने पर वह पृथ्वी के गुरुत्वीय क्षेत्र को पार कर जाए और कभी वापस लौटकर न आए。
व्यंजक: माना पृथ्वी का द्रव्यमान M, त्रिज्या R और पिंड का द्रव्यमान m है।
पृथ्वी तल पर पिंड की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा U = -GMm/R
पिंड को अनंत तक भेजने के लिए आवश्यक गतिज ऊर्जा (K) स्थितिज ऊर्जा के परिमाण के बराबर होनी चाहिए।
K = ½ m v_e² (जहाँ v_e पलायन वेग है)
½ m v_e² = GMm / R
v_e² = 2GM / R ⇒ v_e = √(2GM / R)
चूंकि g = GM/R² ⇒ GM = gR²
अतः v_e = √(2gR)।
अथवा: कृत्रिम उपग्रह (Artificial Satellite) किसे कहते हैं? इसके दो उपयोग लिखिए।
मॉडल उत्तर:
परिभाषा: मनुष्य द्वारा निर्मित वे पिंड जो पृथ्वी या किसी अन्य ग्रह के चारों ओर एक निश्चित कक्षा में चक्कर लगाते हैं, कृत्रिम उपग्रह कहलाते हैं (जैसे- आर्यभट्ट, इनसैट)।
उपयोग:
1. संचार (Communication): टेलीविजन, रेडियो प्रसारण और टेलीफोन (मोबाइल) नेटवर्क के सिग्नलों को एक स्थान से दूसरे स्थान तक भेजने में।
2. मौसम की भविष्यवाणी (Weather forecasting): बादलों की तस्वीरें लेने और मौसम (तूफान, बारिश) की पूर्व जानकारी देने में।
प्रश्न 16. हुक का नियम (Hooke's Law) लिखिए तथा प्रत्यास्थता गुणांक को समझाइए। 3 अंक
मॉडल उत्तर:
हुक का नियम: "प्रत्यास्थता की सीमा (Elastic limit) के भीतर, किसी वस्तु में उत्पन्न प्रतिबल (Stress) उसमें उत्पन्न विकृति (Strain) के अनुक्रमानुपाती होता है।"
प्रतिबल ∝ विकृति ⇒ प्रतिबल = E × विकृति
प्रत्यास्थता गुणांक (E): प्रतिबल और विकृति के अनुपात को उस पदार्थ का प्रत्यास्थता गुणांक (Modulus of Elasticity) कहते हैं।
E = प्रतिबल / विकृति
इसका SI मात्रक N/m² या पास्कल (Pa) होता है। यह पदार्थ की प्रकृति पर निर्भर करता है।
अथवा: पृष्ठ तनाव (Surface Tension) किसे कहते हैं? इसे प्रभावित करने वाले दो कारक लिखिए।
मॉडल उत्तर:
पृष्ठ तनाव: किसी द्रव के मुक्त पृष्ठ (Free surface) का वह गुण जिसके कारण वह एक तनी हुई झिल्ली की तरह व्यवहार करता है और अपना पृष्ठीय क्षेत्रफल न्यूनतम रखने का प्रयास करता है, पृष्ठ तनाव कहलाता है। (T = F/L)
प्रभावित करने वाले कारक:
1. तापमान: द्रव का ताप बढ़ाने पर उसका पृष्ठ तनाव कम हो जाता है।
2. अशुद्धियां: यदि द्रव में घुलनशील अशुद्धि (जैसे साबुन या नमक) मिलाई जाए, तो पृष्ठ तनाव बदल जाता है (साबुन मिलाने पर पृष्ठ तनाव कम हो जाता है)।
दीर्घ-उत्तरीय प्रश्न (प्रश्न 17 से 20)
प्रत्येक प्रश्न 4 अंक का है। कुल 16 अंक।
प्रश्न 17. न्यूटन के गति का द्वितीय नियम लिखिए एवं सिद्ध कीजिए कि F = ma. 4 अंक
मॉडल उत्तर:
न्यूटन का द्वितीय नियम: "किसी वस्तु के संवेग में परिवर्तन की दर उस पर लगाए गए बाह्य असंतुलित बल के अनुक्रमानुपाती होती है, और यह परिवर्तन बल की दिशा में ही होता है।"
सिद्ध करना: माना m द्रव्यमान की कोई वस्तु u वेग से गतिमान है। उस पर F बल Δt समय तक लगाने से उसका वेग v हो जाता है。
प्रारंभिक संवेग p₁ = mu, अंतिम संवेग p₂ = mv
संवेग में परिवर्तन Δp = p₂ - p₁ = mv - mu = m(v - u)
संवेग परिवर्तन की दर = Δp / Δt = m(v - u) / Δt
चूंकि त्वरण a = (v - u) / Δt होता है, अतः संवेग परिवर्तन की दर = ma
न्यूटन के द्वितीय नियम से: F ∝ Δp / Δt
F ∝ ma ⇒ F = kma (जहाँ k अनुक्रमानुपाती नियतांक है)
SI पद्धति में k = 1 माना जाता है। अतः F = ma (बल = द्रव्यमान × त्वरण)।
अथवा: घर्षण (Friction) किसे कहते हैं? घर्षण के दो लाभ और दो हानियाँ लिखिए।
मॉडल उत्तर:
घर्षण: जब दो वस्तुएं एक-दूसरे के संपर्क में आकर गति करती हैं या गति करने का प्रयास करती हैं, तो उनके संपर्क तलों के बीच एक विरोधी बल कार्य करता है जो उनकी सापेक्ष गति का विरोध करता है। इसे घर्षण बल कहते हैं。
घर्षण के दो लाभ:
1. घर्षण के कारण ही हम ज़मीन पर बिना फिसले चल पाते हैं।
2. वाहनों के ब्रेक घर्षण के कारण ही काम करते हैं और वाहन रुक पाता है。
घर्षण की दो हानियाँ:
1. मशीनों के कलपुर्जे घर्षण के कारण घिस जाते हैं और टूट-फूट जाते हैं।
2. घर्षण के विरुद्ध कार्य करने में ऊर्जा का बड़ा हिस्सा ऊष्मा के रूप में नष्ट हो जाता है, जिससे मशीन की दक्षता घट जाती है।
प्रश्न 18. जड़त्व आघूर्ण से संबंधित समांतर अक्षों की प्रमेय (Theorem of Parallel Axes) लिखिए एवं सिद्ध कीजिए। 4 अंक
मॉडल उत्तर:
समांतर अक्षों की प्रमेय: किसी पिंड का किसी भी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण (I), उस पिंड के द्रव्यमान केंद्र (Center of mass) से गुजरने वाले समांतर अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण (I_cm) तथा पिंड के कुल द्रव्यमान (M) और दोनों अक्षों के बीच की लंबवत दूरी (a) के वर्ग के गुणनफल के योग के बराबर होता है।
सूत्र: I = I_cm + Ma²
सिद्ध करना: माना एक पिंड कई कणों से मिलकर बना है। द्रव्यमान केंद्र (CM) से गुजरने वाला अक्ष AB है और इसके समांतर अक्ष CD है (बीच की दूरी a)। माना एक कण m, AB से x दूरी पर है।
CD अक्ष से इस कण की दूरी = (x + a)
CD के परितः जड़त्व आघूर्ण I = Σ m(x + a)² = Σ m(x² + a² + 2ax)
I = Σ mx² + Σ ma² + Σ 2max
चूंकि Σ mx² = I_cm (AB के परितः जड़त्व आघूर्ण)
Σ ma² = a² Σ m = Ma² (चूंकि Σm = M)
द्रव्यमान केंद्र के परितः कणों के आघूर्णों का बीजीय योग शून्य होता है, अतः Σ mx = 0 ⇒ 2a Σ mx = 0
अतः I = I_cm + Ma² (सिद्ध हुआ)।
अथवा: बल आघूर्ण (Torque) एवं कोणीय संवेग (Angular Momentum) में संबंध स्थापित कीजिए।
मॉडल उत्तर:
हम जानते हैं कि कोणीय संवेग (L) का सूत्र L = Iω होता है (जहाँ I जड़त्व आघूर्ण और ω कोणीय वेग है)।
समीकरण का समय (t) के सापेक्ष अवकलन (Differentiation) करने पर:
dL/dt = d(Iω)/dt
चूंकि किसी दृढ़ पिंड का जड़त्व आघूर्ण (I) नियत रहता है:
dL/dt = I (dω/dt)
हम जानते हैं कि कोणीय वेग में परिवर्तन की दर (dω/dt) कोणीय त्वरण (α) कहलाती है।
अतः dL/dt = Iα
न्यूटन के घूर्णन गति के नियम से, बल आघूर्ण τ = Iα होता है।
मान रखने पर: τ = dL/dt
निष्कर्ष: किसी पिंड पर लगने वाला बाह्य बल आघूर्ण, उस पिंड के कोणीय संवेग में परिवर्तन की समय दर के बराबर होता है। (यह घूर्णी गति का न्यूटन का द्वितीय नियम है)।
प्रश्न 19. बर्नूली का प्रमेय (Bernoulli's Theorem) लिखिए एवं सिद्ध कीजिए। 4 अंक
मॉडल उत्तर:
प्रमेय: "जब कोई असंपीड्य (Incompressible) और अश्यान (Non-viscous) द्रव किसी नली में धारा-रेखीय प्रवाह (Streamline flow) में बहता है, तो उसके मार्ग के प्रत्येक बिंदु पर एकांक आयतन की कुल ऊर्जा (दाब ऊर्जा, गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग) नियत रहती है।"
सूत्र: P + ½ ρv² + ρgh = नियतांक
सिद्ध करना: माना एक असमान अनुप्रस्थ काट वाली नली AB है। सिरे A की ऊंचाई h₁, क्षेत्रफल A₁, दाब P₁ और द्रव का वेग v₁ है। सिरे B के लिए ये मान h₂, A₂, P₂ और v₂ हैं।
1 सेकंड में A से प्रवेश करने वाले द्रव पर किया गया कार्य W₁ = P₁A₁v₁
B से निकलने वाले द्रव द्वारा किया गया कार्य W₂ = P₂A₂v₂
द्रव पर किया गया नेट कार्य W = P₁A₁v₁ - P₂A₂v₂ = (P₁ - P₂)m/ρ (सांतत्य समीकरण A₁v₁ = A₂v₂ = m/ρ से)
गतिज ऊर्जा में वृद्धि ΔK = ½ mv₂² - ½ mv₁²
स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि ΔU = mgh₂ - mgh₁
कार्य-ऊर्जा प्रमेय से: नेट कार्य = कुल ऊर्जा में वृद्धि
(P₁ - P₂)m/ρ = (½ mv₂² - ½ mv₁²) + (mgh₂ - mgh₁)
m से भाग देने और ρ का गुणा करने पर:
P₁ - P₂ = ½ ρv₂² - ½ ρv₁² + ρgh₂ - ρgh₁
P₁ + ½ ρv₁² + ρgh₁ = P₂ + ½ ρv₂² + ρgh₂
अतः P + ½ ρv² + ρgh = नियतांक।
अथवा: सीमान्त वेग (Terminal Velocity) किसे कहते हैं? स्टोक के नियम की सहायता से सीमान्त वेग का व्यंजक ज्ञात कीजिए।
मॉडल उत्तर:
सीमान्त वेग: जब कोई गोलाकार वस्तु किसी श्यान द्रव (Viscous fluid) में गिरती है, तो शुरुआत में उसका वेग बढ़ता है, लेकिन कुछ समय बाद श्यान बल और उत्प्लावन बल मिलकर वस्तु के भार को संतुलित कर देते हैं। इसके बाद वस्तु एक नियत (Constant) अधिकतम वेग से गिरने लगती है, जिसे सीमान्त वेग (v) कहते हैं。
व्यंजक: माना r त्रिज्या और ρ घनत्व का एक गोला σ घनत्व और η श्यानता वाले द्रव में गिर रहा है।
गोले का वास्तविक भार (नीचे की ओर) W = Vρg = (4/3)πr³ρg
द्रव का उत्प्लावन बल (ऊपर की ओर) U = Vσg = (4/3)πr³σg
स्टोक के नियम से श्यान बल (ऊपर की ओर) F = 6πηrv
संतुलन की अवस्था (सीमान्त वेग) में: कुल ऊपर का बल = नीचे का बल
F + U = W
6πηrv + (4/3)πr³σg = (4/3)πr³ρg
6πηrv = (4/3)πr³(ρ - σ)g
v = [2r²(ρ - σ)g] / 9η
यही सीमान्त वेग का व्यंजक है।
प्रश्न 20. ऊष्मा चालकता गुणांक (Coefficient of Thermal Conductivity) किसे कहते हैं? इसका सूत्र एवं मात्रक लिखिए। 4 अंक
मॉडल उत्तर:
परिभाषा: किसी पदार्थ का ऊष्मा चालकता गुणांक उस ऊष्मा की मात्रा के बराबर होता है जो स्थायी अवस्था में उस पदार्थ के 1 मीटर लंबे और 1 वर्ग मीटर अनुप्रस्थ काट वाले गुटके के दो विपरीत फलकों के बीच 1 सेकंड में प्रवाहित होती है, जबकि दोनों फलकों के बीच का तापांतर 1 डिग्री सेल्सियस (या 1 केल्विन) हो। इसे 'K' से प्रदर्शित करते हैं。
सूत्र: यदि क्षेत्रफल A, मोटाई x, तापांतर (θ₁ - θ₂) और समय t हो, तो प्रवाहित ऊष्मा Q ∝ A(θ₁ - θ₂)t / x
Q = K [A(θ₁ - θ₂)t] / x
अतः K = (Q·x) / [A(θ₁ - θ₂)t]
मात्रक: SI पद्धति में इसका मात्रक जूल/(मीटर·सेकंड·केल्विन) (J/m·s·K) या वाट/(मीटर·केल्विन) (W/m·K) होता है। विमीय सूत्र [MLT⁻³θ⁻¹] है।
अथवा: रैखिक, क्षेत्रीय और आयतन प्रसार गुणांक में संबंध (α:β:γ = 1:2:3) स्थापित कीजिए।
मॉडल उत्तर:
माना किसी ठोस पदार्थ का रैखिक प्रसार गुणांक α, क्षेत्रीय (पृष्ठीय) प्रसार गुणांक β और आयतन प्रसार गुणांक γ है。
α और β में संबंध:
माना एक वर्गाकार पटल की भुजा 1 है। इसका प्रारंभिक क्षेत्रफल = 1² = 1.
1°C ताप बढ़ाने पर नई भुजा = (1 + α)
नया क्षेत्रफल = (1 + α)² = 1 + 2α + α²
चूंकि α बहुत छोटा है, α² को नगण्य मानने पर नया क्षेत्रफल = 1 + 2α
क्षेत्रफल में वृद्धि (β) = (1 + 2α) - 1 = 2α ⇒ β = 2α
α और γ में संबंध:
माना एक घन की भुजा 1 है। इसका प्रारंभिक आयतन = 1³ = 1.
1°C ताप बढ़ाने पर नई भुजा = (1 + α)
नया आयतन = (1 + α)³ = 1 + 3α + 3α² + α³
α² और α³ को नगण्य मानने पर नया आयतन = 1 + 3α
आयतन में वृद्धि (γ) = (1 + 3α) - 1 = 3α ⇒ γ = 3α
अतः α = α, β = 2α, γ = 3α
अनुपात: α : β : γ = α : 2α : 3α = 1 : 2 : 3 (सिद्ध हुआ)।
डिस्क्लेमर (Disclaimer): यह प्रश्नपत्र केवल विद्यार्थियों के अभ्यास और शैक्षणिक मार्गदर्शन हेतु तैयार किया गया एक संभावित मॉडल पेपर है। यह कोई असली या लीक हुआ पेपर नहीं है। कृपया परीक्षा के सटीक पाठ्यक्रम के लिए MP Board के निर्देशों का ही पालन करें।
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