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कक्षा 9वीं — गणित (Mathematics)

अर्द्धवार्षिक परीक्षा 2026–27 | बेसिक एवं स्टैण्डर्ड मॉडल पेपर

निर्देश: नीचे 'बेसिक (Basic)' और 'स्टैण्डर्ड (Standard)' दोनों स्तरों के लिए अलग-अलग पूर्ण प्रश्नपत्र दिए गए हैं। निर्देशानुसार 2 अंक के प्रश्नों में 'अथवा' का विकल्प हटा दिया गया है। उत्तर देखने के लिए बटन दबाएँ।

पेपर 1 : गणित (बेसिक / Basic Level)

समय: 3 घंटे

पूर्णांक: 75

प्रश्न: 23 मुख्य प्रश्न

वस्तुनिष्ठ प्रश्न (प्रश्न 1 से 5)

प्रश्न 1. सही विकल्प चुनकर लिखिए— 6 × 1 = 6

(1) √3 एक संख्या है:

क) परिमेय

ख) अपरिमेय

ग) पूर्णांक

घ) प्राकृत

उत्तर: (ख) अपरिमेय

(2) बहुपद p(x) = 2x + 4 का शून्यक है:

क) 2

ख) -2

ग) 4

घ) 0

उत्तर: (ख) -2

(3) बिंदु (3, -2) की कोटि (y-निर्देशांक) क्या है?

क) 3

ख) -2

ग) 1

घ) 5

उत्तर: (ख) -2

(4) दो चरों वाले रैखिक समीकरण के कितने हल होते हैं?

क) एक

ख) दो

ग) कोई हल नहीं

घ) अपरिमित रूप से अनेक

उत्तर: (घ) अपरिमित रूप से अनेक

(5) त्रिभुज के तीनों अंतः कोणों का योग होता है:

क) 90°

ख) 180°

ग) 360°

घ) 270°

उत्तर: (ख) 180°

(6) (ब्रिज कोर्स) 10 - (-5) का मान होगा:

क) 5

ख) -5

ग) 15

घ) -15

उत्तर: (ग) 15

प्रश्न 2. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए— 6 × 1 = 6

(1) सबसे छोटी पूर्ण संख्या _______ है।

उत्तर: शून्य (0)

(2) बहुपद x³ + 1 की घात _______ है।

उत्तर: 3

(3) x-अक्ष का समीकरण _______ होता है।

उत्तर: y = 0

(4) दो प्रतिच्छेदी रेखाओं में अधिकतम _______ उभयनिष्ठ बिंदु हो सकता है।

उत्तर: एक (1)

(5) समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण _______ डिग्री का होता है।

उत्तर: 60°

(6) वृत्त की सबसे बड़ी जीवा वृत्त का _______ कहलाती है।

उत्तर: व्यास (Diameter)

प्रश्न 3. सत्य / असत्य लिखिए— 6 × 1 = 6

(1) प्रत्येक प्राकृत संख्या एक पूर्ण संख्या होती है।

उत्तर: सत्य

(2) x² + y² एक रैखिक बहुपद है।

उत्तर: असत्य (यह द्विघाती है)।

(3) मूल बिंदु के निर्देशांक (0,0) होते हैं।

उत्तर: सत्य

(4) समांतर रेखाएँ एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं।

उत्तर: असत्य

(5) समकोण का मान 90° होता है।

उत्तर: सत्य

(6) वृत्त की त्रिज्या, व्यास की आधी होती है।

उत्तर: सत्य

प्रश्न 4. सही जोड़ी बनाइए— 6 × 1 = 6

(1) (ब्रिज कोर्स) 0.5 + 0.2

उत्तर: 0.7

(2) x + y = 0

उत्तर: दो चरों वाला रैखिक समीकरण

(3) बिंदु (-1, 2)

उत्तर: द्वितीय चतुर्थांश

(4) न्यूनकोण (Acute angle)

उत्तर: 90° से कम

(5) आयत (Rectangle)

उत्तर: प्रत्येक कोण 90°

(6) अर्द्धवृत्त का कोण

उत्तर: 90° (समकोण)

प्रश्न 5. एक वाक्य/शब्द में उत्तर दीजिए— 6 × 1 = 6

(1) 1/√2 का परिमेयकारी गुणक (Rationalizing factor) क्या है?

उत्तर: √2

(2) बिंदु (0, 4) किस अक्ष पर स्थित है?

उत्तर: y-अक्ष पर।

(3) (a + b)² का सूत्र लिखिए।

उत्तर: a² + 2ab + b²

(4) रैखिक युग्म (Linear pair) के कोणों का योग कितना होता है?

उत्तर: 180°

(5) सर्वांगसमता के SAS नियम का पूरा नाम लिखिए।

उत्तर: भुजा-कोण-भुजा (Side-Angle-Side)

(6) किसी चतुर्भुज के चारों अंतः कोणों का योग कितना होता है?

उत्तर: 360°

अति लघु-उत्तरीय प्रश्न (प्रश्न 6 से 17)

प्रत्येक प्रश्न 2 अंक का है। (इस खण्ड में कोई 'अथवा' प्रश्न नहीं है)

प्रश्न 6. (ब्रिज कोर्स) 0.3 और 0.4 का योगफल ज्ञात कीजिए। 2 अंक

उत्तर: 0.3 + 0.4 = 0.7

प्रश्न 7. (ब्रिज कोर्स) यदि 1 पेन का मूल्य 12 रुपये है, तो 4 पेनों का मूल्य ज्ञात कीजिए। 2 अंक

उत्तर: 1 पेन का मूल्य = 12 रु.

अतः 4 पेनों का मूल्य = 12 × 4 = 48 रुपये।

प्रश्न 8. ज्ञात कीजिए: 64^1/2 2 अंक

उत्तर: 64 को 8² के रूप में लिखा जा सकता है।

अतः (8²)^1/2 = 8^{(2 × 1/2)} = 8¹ = 8.

प्रश्न 9. 1 / √5 के हर का परिमेयकरण कीजिए। 2 अंक

उत्तर: हर का परिमेयकरण करने के लिए अंश और हर में √5 से गुणा करेंगे:

= (1 / √5) × (√5 / √5) = √5 / 5.

प्रश्न 10. बहुपद p(x) = x² - x + 2 के लिए p(0) का मान ज्ञात कीजिए। 2 अंक

उत्तर: x = 0 रखने पर:

p(0) = (0)² - (0) + 2 = 0 - 0 + 2 = 2.

प्रश्न 11. x² + 5x + 6 के गुणनखंड कीजिए। 2 अंक

उत्तर: मध्य पद को तोड़ने पर:

x² + 2x + 3x + 6

= x(x + 2) + 3(x + 2)

= (x + 2)(x + 3).

प्रश्न 12. बिंदु (-3, -4) किस चतुर्थांश में स्थित है? कारण सहित लिखिए। 2 अंक

उत्तर: यह तृतीय (Third) चतुर्थांश में स्थित है क्योंकि इसके दोनों निर्देशांक (भुज और कोटि) ऋणात्मक हैं।

प्रश्न 13. रैखिक समीकरण x + y = 4 का एक हल लिखिए। 2 अंक

उत्तर: यदि x = 0 रखें, तो 0 + y = 4 ⇒ y = 4.

अतः एक हल (0, 4) है। (आप (2,2) या (4,0) भी लिख सकते हैं)।

प्रश्न 14. यूक्लिड की पहली अभिगृहीत (Axiom) लिखिए। 2 अंक

उत्तर: "वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु के बराबर हों, वे एक-दूसरे के भी बराबर होती हैं।"

प्रश्न 15. संपूरक कोण (Supplementary Angles) किसे कहते हैं? 2 अंक

उत्तर: जब दो कोणों का योगफल 180° होता है, तो उन्हें एक-दूसरे का संपूरक कोण कहते हैं।

प्रश्न 16. त्रिभुजों की सर्वांगसमता का ASA नियम लिखिए। 2 अंक

उत्तर: ASA (कोण-भुजा-कोण) नियम: यदि एक त्रिभुज के दो कोण और उनके बीच की भुजा, दूसरे त्रिभुज के संगत दो कोणों और बीच की भुजा के बराबर हों, तो दोनों त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

प्रश्न 17. समचतुर्भुज (Rhombus) की कोई दो विशेषताएँ लिखिए। 2 अंक

उत्तर: 1. समचतुर्भुज की चारों भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं。

2. इसके विकर्ण एक-दूसरे को समकोण (90°) पर समद्विभाजित करते हैं।

लघु-उत्तरीय प्रश्न (प्रश्न 18 से 20)

प्रत्येक प्रश्न 3 अंक का है। (इनमें 'अथवा' विकल्प दिए गए हैं)

प्रश्न 18. सिद्ध कीजिए कि यदि दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, तो शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं। 3 अंक

उत्तर: माना AB और CD बिंदु O पर काटती हैं।

रैखिक युग्म से: ∠AOC + ∠AOD = 180° (समीकरण 1)

∠AOD + ∠BOD = 180° (समीकरण 2)

दोनों को बराबर रखने पर:

∠AOC + ∠AOD = ∠AOD + ∠BOD

दोनों ओर से ∠AOD हटाने पर ∠AOC = ∠BOD प्राप्त होता है। (सिद्ध हुआ)

अथवा: दो संपूरक कोणों का अनुपात 2:3 है। दोनों कोण ज्ञात कीजिए।

उत्तर: माना कोण 2x और 3x हैं।

संपूरक कोणों का योग = 180°

2x + 3x = 180° ⇒ 5x = 180° ⇒ x = 36°

पहला कोण = 2 × 36° = 72°

दूसरा कोण = 3 × 36° = 108°

प्रश्न 19. सिद्ध कीजिए कि आयत के विकर्ण बराबर होते हैं। 3 अंक

उत्तर: माना ABCD एक आयत है। त्रिभुज ABC और DCB में:

1. AB = DC (आयत की सम्मुख भुजाएँ)

2. ∠ABC = ∠DCB = 90° (आयत के कोण)

3. BC = CB (उभयनिष्ठ)

अतः SAS सर्वांगसमता से ΔABC ≅ ΔDCB।

इसलिए CPCT द्वारा AC = BD (विकर्ण बराबर हैं)।

अथवा: सिद्ध कीजिए कि किसी समद्विबाहु त्रिभुज में बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।

उत्तर: माना ΔABC में AB = AC है। ∠A का समद्विभाजक AD खींचा जो BC को D पर मिलता है।

ΔABD और ΔACD में:

AB = AC (दिया है)

∠BAD = ∠CAD (रचना से)

AD = AD (उभयनिष्ठ)

अतः SAS सर्वांगसमता से ΔABD ≅ ΔACD।

इसलिए CPCT द्वारा ∠B = ∠C (सिद्ध हुआ)।

प्रश्न 20. सिद्ध कीजिए कि वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। 3 अंक

उत्तर: माना वृत्त का केंद्र O और जीवा AB है। OM ⊥ AB खींचा।

ΔOMA और ΔOMB में:

∠OMA = ∠OMB = 90°

OA = OB (त्रिज्याएँ)

OM = OM (उभयनिष्ठ)

अतः RHS सर्वांगसमता से ΔOMA ≅ ΔOMB।

इसलिए CPCT से AM = MB। (सिद्ध हुआ)

अथवा: सिद्ध कीजिए कि वृत्त की समान जीवाएँ केंद्र पर समान कोण अंतरित करती हैं।

उत्तर: माना वृत्त के केंद्र O पर दो समान जीवाएँ AB = CD हैं।

ΔAOB और ΔCOD में:

OA = OC (त्रिज्या)

OB = OD (त्रिज्या)

AB = CD (दिया है)

अतः SSS सर्वांगसमता से ΔAOB ≅ ΔCOD।

इसलिए CPCT से ∠AOB = ∠COD। (सिद्ध हुआ)

दीर्घ-उत्तरीय प्रश्न (प्रश्न 21 से 23)

प्रत्येक प्रश्न 4 अंक का है।

प्रश्न 21. सर्वसमिका का प्रयोग करके (x + 2y + 4z)² का प्रसार कीजिए। 4 अंक

उत्तर: सूत्र: (a+b+c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca

यहाँ a=x, b=2y, c=4z

= (x)² + (2y)² + (4z)² + 2(x)(2y) + 2(2y)(4z) + 2(4z)(x)

= x² + 4y² + 16z² + 4xy + 16yz + 8zx

अथवा: उपयुक्त सर्वसमिका का प्रयोग करके (99)³ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 99 = 100 - 1

(100 - 1)³ = (a-b)³ = a³ - b³ - 3ab(a-b)

= (100)³ - (1)³ - 3(100)(1)(100 - 1)

= 1000000 - 1 - 300(99)

= 1000000 - 1 - 29700

= 1000000 - 29701 = 970299.

प्रश्न 22. सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज के तीनों अंतः कोणों का योग 180° होता है। 4 अंक

उत्तर: माना ΔPQR है। शीर्ष P से QR के समांतर एक रेखा XY खींची।

XY एक सरल रेखा है, अतः ∠XPQ + ∠QPR + ∠YPR = 180°

चूंकि XY || QR है, अतः एकांतर अंतः कोण बराबर होंगे:

∠XPQ = ∠PQR (∠Q) और ∠YPR = ∠PRQ (∠R)

मान रखने पर: ∠Q + ∠P + ∠R = 180°

अतः त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है।

अथवा: मध्य-बिंदु प्रमेय (Mid-point theorem) का कथन लिखिए एवं सिद्ध कीजिए।

उत्तर: कथन: त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर और आधा होता है।

प्रमाण: ΔABC में E, F क्रमशः AB, AC के मध्य बिंदु हैं। C से BA के समांतर रेखा खींची जो बढ़ाई गई EF को D पर काटती है।

ΔAEF और ΔCDF में: ∠AFE=∠CFD, AF=CF, ∠EAF=∠DCF

ASA से ΔAEF ≅ ΔCDF ⇒ AE=CD और EF=DF.

चूंकि AE=BE ⇒ BE=CD और BE||CD.

अतः BCDE समांतर चतुर्भुज है। इसलिए ED||BC ⇒ EF||BC.

और ED=BC ⇒ 2EF=BC ⇒ EF = ½ BC.

प्रश्न 23. सिद्ध कीजिए कि चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180° होता है। 4 अंक

उत्तर: माना ABCD चक्रीय चतुर्भुज है। O केंद्र है।

चाप BCD द्वारा केंद्र पर बना कोण = 2∠A (रिफ्लेक्स ∠BOD)

चाप DAB द्वारा केंद्र पर बना कोण = 2∠C (आंतरिक ∠BOD)

दोनों को जोड़ने पर: 2∠A + 2∠C = 360° (केंद्र के चारों ओर का कोण)

2(∠A + ∠C) = 360° ⇒ ∠A + ∠C = 180°.

इसी प्रकार ∠B + ∠D = 180°. (सिद्ध हुआ)

अथवा: संख्या रेखा पर √3 का स्थान निर्धारण (Representation) कीजिए।

उत्तर: 1. संख्या रेखा पर O (शून्य) से 1 इकाई दूरी पर A बिंदु लें।

2. A पर लंब AB = 1 इकाई खींचें। पाइथागोरस प्रमेय से OB = √(1²+1²) = √2.

3. अब OB पर लंब BC = 1 इकाई खींचें।

4. O से C को मिलाएँ। पाइथागोरस प्रमेय से OC = √((√2)²+1²) = √3.

5. O को केंद्र और OC को त्रिज्या मानकर एक चाप खींचें जो संख्या रेखा को P पर काटे। बिंदु P, √3 को दर्शाता है।

पेपर 2 : गणित (स्टैण्डर्ड / Standard Level)

समय: 3 घंटे

पूर्णांक: 75

प्रश्न: 23 मुख्य प्रश्न

वस्तुनिष्ठ प्रश्न (प्रश्न 1 से 5)

प्रश्न 1. सही विकल्प चुनकर लिखिए— 6 × 1 = 6

(1) 0.3 का p/q रूप है:

क) 3/10

ख) 1/3

ग) 1/10

घ) 3/100

उत्तर: (ख) 1/3

(2) जब x³ + 1 को x + 1 से भाग दिया जाता है, तो शेषफल होता है:

क) 1

ख) 2

ग) 0

घ) -1

उत्तर: (ग) 0 (x=-1 रखने पर (-1)³+1 = 0)

(3) बिंदु (2, -3) का x-अक्ष के सापेक्ष प्रतिबिंब (Reflection) होगा:

क) (-2, 3)

ख) (2, 3)

ग) (-2, -3)

घ) (3, 2)

उत्तर: (ख) (2, 3)

(4) यदि x = 2, y = 1 समीकरण 2x + 3y = k का एक हल है, तो k का मान है:

क) 5

ख) 6

ग) 7

घ) 8

उत्तर: (ग) 7

(5) किसी त्रिभुज का बहिष्कोण (Exterior angle) अपने दोनों अंतः अभिमुख (Opposite) कोणों के _______ के बराबर होता है।

क) अंतर

ख) योग

ग) गुणनफल

घ) अनुपात

उत्तर: (ख) योग

(6) (ब्रिज कोर्स) 1/2 + 1/3 का मान होगा:

क) 2/5

ख) 1/6

ग) 5/6

घ) 1

उत्तर: (ग) 5/6

प्रश्न 2. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए— 6 × 1 = 6

(1) √2 × √8 का मान _______ होता है।

उत्तर: 4

(2) (x + 1)³ के प्रसार में x का गुणांक _______ है।

उत्तर: 3 (चूँकि प्रसार x³+3x²+3x+1 है)

(3) x-अक्ष के समांतर किसी रेखा का समीकरण _______ के रूप का होता है।

उत्तर: y = a

(4) रैखिक युग्म के कोणों के समद्विभाजक (Bisectors) परस्पर _______ डिग्री का कोण बनाते हैं।

उत्तर: 90°

(5) त्रिभुजों की SSS सर्वांगसमता का पूरा नाम _______ है।

उत्तर: भुजा-भुजा-भुजा

(6) वृत्त के एक ही खंड (Segment) के कोण परस्पर _______ होते हैं।

उत्तर: समान (बराबर)

प्रश्न 3. सत्य / असत्य लिखिए— 6 × 1 = 6

(1) π एक परिमेय संख्या है।

उत्तर: असत्य (यह अपरिमेय है)।

(2) बहुपद x² - 4 के शून्यक 2 और -2 हैं।

उत्तर: सत्य

(3) बिंदु (3, 0) y-अक्ष पर स्थित है।

उत्तर: असत्य (यह x-अक्ष पर है)।

(4) एक बिंदु की कोई विमा (Dimension) नहीं होती।

उत्तर: सत्य

(5) समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।

उत्तर: सत्य

(6) एक चक्रीय समांतर चतुर्भुज सदैव एक आयत होता है।

उत्तर: सत्य

प्रश्न 4. सही जोड़ी बनाइए— 6 × 1 = 6

(1) 125^1/3

उत्तर: 5

(2) x³ + y³

उत्तर: (x + y)(x² - xy + y²)

(3) y = x का ग्राफ

उत्तर: मूल बिंदु से होकर जाता है

(4) समांतर रेखाओं को तिर्यक रेखा काटे तो

उत्तर: एकांतर अंतः कोण बराबर होते हैं

(5) समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल

उत्तर: आधार × ऊंचाई

(6) अर्द्धवृत्त का कोण

उत्तर: समकोण

प्रश्न 5. एक वाक्य/शब्द में उत्तर दीजिए— 6 × 1 = 6

(1) (√5 - √3) का परिमेयकारी गुणक क्या है?

उत्तर: (√5 + √3)

(2) एक त्रिघाती बहुपद के अधिकतम कितने शून्यक हो सकते हैं?

उत्तर: तीन (3)

(3) बिंदु (-4, 5) का भुज (Abscissa) क्या है?

उत्तर: -4

(4) दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के उभयनिष्ठ बिंदु को क्या कहते हैं?

उत्तर: प्रतिच्छेद बिंदु (Point of intersection)

(5) समचतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र (विकर्णों के पदों में) लिखिए।

उत्तर: ½ × d₁ × d₂

(6) एक वृत्त में अधिकतम कितनी जीवाएँ खींची जा सकती हैं?

उत्तर: अनंत (अपरिमित रूप से अनेक)

अति लघु-उत्तरीय प्रश्न (प्रश्न 6 से 17)

प्रत्येक प्रश्न 2 अंक का है। (इस खण्ड में कोई 'अथवा' प्रश्न नहीं है)

प्रश्न 6. (ब्रिज कोर्स) 3/4 और 8/9 का गुणनफल ज्ञात कीजिए। 2 अंक

उत्तर: (3/4) × (8/9) = (3 × 8) / (4 × 9) = 24 / 36 = 2 / 3.

प्रश्न 7. (ब्रिज कोर्स) यदि 15 पुस्तकों का मूल्य 300 रुपये है, तो 1 पुस्तक का मूल्य ज्ञात कीजिए। 2 अंक

उत्तर: 15 पुस्तकों का मूल्य = 300 रु.

1 पुस्तक का मूल्य = 300 / 15 = 20 रुपये।

प्रश्न 8. 1 / (2 + √3) के हर का परिमेयकरण कीजिए। 2 अंक

उत्तर: अंश और हर में (2 - √3) से गुणा करने पर:

= [1 / (2 + √3)] × [(2 - √3) / (2 - √3)]

= (2 - √3) / (2² - (√3)²)

= (2 - √3) / (4 - 3) = 2 - √3.

प्रश्न 9. मान ज्ञात कीजिए: (64)^-1/3 2 अंक

उत्तर: 64 = 4³

(4³)^-1/3 = 4^{(3 × -1/3)} = 4^-1 = 1/4.

प्रश्न 10. बहुपद 2x² + 7x + 3 का गुणनखंडन कीजिए। 2 अंक

उत्तर: मध्य पद 7x को ऐसे तोड़ें कि गुणा करने पर 2×3=6 आए।

2x² + 6x + 1x + 3

= 2x(x + 3) + 1(x + 3)

= (2x + 1)(x + 3).

प्रश्न 11. शेषफल प्रमेय द्वारा ज्ञात कीजिए कि जब x³ - ax² + 6x - a को x - a से भाग दिया जाता है, तो शेषफल क्या होगा? 2 अंक

उत्तर: x - a = 0 ⇒ x = a रखने पर:

p(a) = a³ - a(a)² + 6(a) - a

= a³ - a³ + 6a - a = 5a.

अतः शेषफल 5a है।

प्रश्न 12. उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो y-अक्ष पर स्थित है और जिसकी मूल बिंदु से दूरी ऋणात्मक y-अक्ष की दिशा में 4 इकाई है। 2 अंक

उत्तर: y-अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु का x-निर्देशांक 0 होता है। चूँकि दूरी ऋणात्मक दिशा में 4 है, अतः y-निर्देशांक -4 होगा।

अतः निर्देशांक (0, -4) हैं।

प्रश्न 13. यदि x = 1, y = 2 समीकरण 3x + ky = 7 का एक हल है, तो k का मान ज्ञात कीजिए। 2 अंक

उत्तर: समीकरण 3x + ky = 7 में x=1 और y=2 रखने पर:

3(1) + k(2) = 7

3 + 2k = 7 ⇒ 2k = 4 ⇒ k = 2.

प्रश्न 14. यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा (5th Postulate) संक्षेप में लिखिए। 2 अंक

उत्तर: यदि एक सीधी रेखा दो सीधी रेखाओं पर गिरकर अपने एक ही ओर दो अंतः कोण इस प्रकार बनाए कि इन दोनों कोणों का योग 180° से कम हो, तो वे दोनों रेखाएँ अनिश्चित रूप से बढ़ाए जाने पर उसी ओर मिलती हैं जिस ओर यह योग 180° से कम होता है।

प्रश्न 15. यदि एक कोण अपने पूरक कोण (Complement) के बराबर है, तो उस कोण का मान ज्ञात कीजिए। 2 अंक

उत्तर: माना कोण x है। इसका पूरक कोण (90° - x) होगा।

प्रश्नानुसार: x = 90° - x ⇒ 2x = 90° ⇒ x = 45°.

अतः वह कोण 45° है।

प्रश्न 16. त्रिभुजों की सर्वांगसमता का RHS (समकोण-कर्ण-भुजा) नियम लिखिए। 2 अंक

उत्तर: RHS नियम: यदि दो समकोण त्रिभुजों में, एक त्रिभुज का कर्ण और एक भुजा क्रमशः दूसरे त्रिभुज के कर्ण और संगत भुजा के बराबर हों, तो दोनों त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

प्रश्न 17. सिद्ध कीजिए कि समांतर चतुर्भुज का विकर्ण उसे दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है। 2 अंक

उत्तर: माना समांतर चतुर्भुज ABCD का विकर्ण AC है।

ΔABC और ΔCDA में:

∠BAC = ∠DCA (AB||DC, एकांतर कोण)

∠BCA = ∠DAC (BC||AD, एकांतर कोण)

AC = CA (उभयनिष्ठ)

अतः ASA नियम से ΔABC ≅ ΔCDA। (सिद्ध हुआ)

लघु-उत्तरीय प्रश्न (प्रश्न 18 से 20)

प्रत्येक प्रश्न 3 अंक का है। (इनमें 'अथवा' विकल्प दिए गए हैं)

प्रश्न 18. सिद्ध कीजिए कि वे रेखाएँ जो एक ही रेखा के समांतर हों, परस्पर समांतर होती हैं। 3 अंक

उत्तर: माना तीन रेखाएँ l, m, n हैं तथा एक तिर्यक रेखा t उन्हें काटती है।

दिया है: l || m और n || m.

सिद्ध करना है: l || n.

प्रमाण: चूंकि l || m, अतः संगत कोण ∠1 = ∠2 (समी 1)

चूंकि n || m, अतः संगत कोण ∠3 = ∠2 (समी 2)

समी 1 और 2 से, ∠1 = ∠3.

चूंकि ये संगत कोण हैं और बराबर हैं, अतः रेखा l और n परस्पर समांतर होंगी। (सिद्ध हुआ)

अथवा: किसी त्रिभुज ABC में भुजा AB = AC है। यदि ∠A = 50° हो, तो ∠B और ∠C का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: चूँकि AB = AC है, अतः इनके सम्मुख कोण बराबर होंगे (∠B = ∠C)।

त्रिभुज के कोणों का योग = 180°

∠A + ∠B + ∠C = 180°

50° + x + x = 180° (माना ∠B = ∠C = x)

2x = 130° ⇒ x = 65°

अतः ∠B = 65° और ∠C = 65°।

प्रश्न 19. मध्य-बिंदु प्रमेय (Mid-point theorem) का कथन लिखकर उसे सिद्ध कीजिए। 3 अंक

उत्तर: कथन: किसी त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर और आधा होता है।

प्रमाण: ΔABC में AB का मध्य बिंदु E और AC का मध्य बिंदु F है। C से BA के समांतर एक रेखा खींची जो बढ़ाई गई EF को D पर काटती है।

ΔAEF और ΔCDF में:

∠AFE = ∠CFD (शीर्षाभिमुख)

AF = CF (F मध्य बिंदु है)

∠FAE = ∠FCD (एकांतर कोण)

ASA से ΔAEF ≅ ΔCDF ⇒ AE = CD और EF = DF.

चूंकि AE = BE ⇒ BE = CD और BE || CD.

अतः BCDE एक समांतर चतुर्भुज है। इसलिए ED || BC ⇒ EF || BC.

तथा ED = BC ⇒ EF+FD = BC ⇒ 2EF = BC ⇒ EF = ½ BC. (सिद्ध हुआ)

अथवा: सिद्ध कीजिए कि किसी समांतर चतुर्भुज के कोणों के समद्विभाजक (Bisectors) एक आयत बनाते हैं।

उत्तर: माना ABCD समांतर चतुर्भुज है। कोणों A, B, C, D के समद्विभाजक चतुर्भुज PQRS बनाते हैं।

आसन्न कोणों का योग ∠A + ∠B = 180°.

इनके समद्विभाजकों का योग ½∠A + ½∠B = 90°.

त्रिभुज ΔAPB में, ∠P = 180° - (½∠A + ½∠B) = 180° - 90° = 90°.

इसी प्रकार चतुर्भुज PQRS के सभी कोण 90° सिद्ध किए जा सकते हैं। जिस चतुर्भुज के सभी कोण 90° हों, वह आयत होता है। (सिद्ध हुआ)

प्रश्न 20. सिद्ध कीजिए कि वृत्त की समान जीवाएँ (Equal Chords) केंद्र से समान दूरी पर होती हैं। 3 अंक

उत्तर: माना केंद्र O वाले वृत्त में समान जीवाएँ AB = CD हैं। O से AB पर लंब OM और CD पर लंब ON खींचे गए।

सिद्ध करना है: OM = ON.

लंब जीवा को समद्विभाजित करता है, अतः AM = ½ AB और CN = ½ CD. चूंकि AB=CD ⇒ AM=CN.

ΔOMA और ΔONC में:

∠OMA = ∠ONC = 90°

OA = OC (त्रिज्या)

AM = CN (ऊपर सिद्ध किया)

अतः RHS से ΔOMA ≅ ΔONC ⇒ OM = ON (CPCT). (सिद्ध हुआ)

अथवा: सिद्ध कीजिए कि एक चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण, वृत्त के शेष भाग के किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है।

उत्तर: माना चाप PQ केंद्र O पर ∠POQ बनाता है और परिधि के बिंदु A पर ∠PAQ बनाता है।

A से O को मिलाते हुए आगे बढ़ाया। ΔAOP में, OA = OP (त्रिज्या) ⇒ ∠OAP = ∠OPA.

बहिष्कोण प्रमेय से, ∠1 (बाहरी) = ∠OAP + ∠OPA = 2∠OAP.

इसी प्रकार ΔAOQ में, ∠2 (बाहरी) = 2∠OAQ.

कुल केंद्र कोण ∠POQ = ∠1 + ∠2 = 2∠OAP + 2∠OAQ = 2(∠OAP + ∠OAQ) = 2∠PAQ.

(सिद्ध हुआ)

दीर्घ-उत्तरीय प्रश्न (प्रश्न 21 से 23)

प्रत्येक प्रश्न 4 अंक का है।

प्रश्न 21. गुणनखंड प्रमेय की सहायता से बहुपद x³ - 23x² + 142x - 120 का गुणनखंडन कीजिए। 4 अंक

उत्तर: माना p(x) = x³ - 23x² + 142x - 120.

x = 1 रखने पर: p(1) = 1 - 23 + 142 - 120 = 143 - 143 = 0.

अतः (x - 1), p(x) का एक गुणनखंड है।

अब p(x) को (x - 1) से भाग देने पर भागफल x² - 22x + 120 प्राप्त होता है।

अब x² - 22x + 120 के गुणनखंड करेंगे (मध्य पद को तोड़कर):

x² - 10x - 12x + 120 = x(x - 10) - 12(x - 10) = (x - 10)(x - 12).

अतः पूर्ण गुणनखंड: p(x) = (x - 1)(x - 10)(x - 12).

अथवा: सत्यापित कीजिए: x³ + y³ + z³ - 3xyz = ½ (x+y+z) [(x-y)² + (y-z)² + (z-x)²]

उत्तर: RHS = ½ (x+y+z) [(x²-2xy+y²) + (y²-2yz+z²) + (z²-2zx+x²)]

= ½ (x+y+z) [2x² + 2y² + 2z² - 2xy - 2yz - 2zx]

कोष्ठक से 2 कॉमन लेने पर:

= ½ × 2 (x+y+z) [x² + y² + z² - xy - yz - zx]

= (x+y+z) [x² + y² + z² - xy - yz - zx]

यह सर्वसमिका x³ + y³ + z³ - 3xyz का मानक सूत्र है।

अतः RHS = LHS (सत्यापित)।

प्रश्न 22. सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज के तीनों अंतः कोणों का योग 180° होता है। 4 अंक

उत्तर: माना ΔPQR है। शीर्ष P से आधार QR के समांतर एक रेखा XY खींची।

XY एक सरल रेखा है, अतः ∠XPQ + ∠QPR + ∠YPR = 180° ... (1)

चूंकि XY || QR और PQ तिर्यक रेखा है, अतः एकांतर कोण ∠XPQ = ∠PQR (∠Q).

इसी प्रकार XY || QR और PR तिर्यक रेखा है, अतः एकांतर कोण ∠YPR = ∠PRQ (∠R).

समीकरण (1) में ये मान रखने पर:

∠Q + ∠P + ∠R = 180°

अतः त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है। (सिद्ध हुआ)

अथवा: यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा को बढ़ाया जाए, तो इस प्रकार बना बहिष्कोण (Exterior angle) अपने दोनों अंतः अभिमुख (Interior opposite) कोणों के योग के बराबर होता है। सिद्ध कीजिए।

उत्तर: माना ΔABC की भुजा BC को D तक बढ़ाया गया है, जिससे बहिष्कोण ∠ACD बनता है।

सिद्ध करना है: ∠ACD = ∠A + ∠B.

प्रमाण: एक सरल रेखा पर बने कोणों का योग 180° होता है, अतः:

∠ACB + ∠ACD = 180° ... (1)

त्रिभुज के अंतः कोणों का योग 180° होता है, अतः:

∠A + ∠B + ∠ACB = 180° ... (2)

समीकरण (1) और (2) की तुलना करने पर:

∠ACB + ∠ACD = ∠A + ∠B + ∠ACB

दोनों ओर से ∠ACB घटाने पर:

∠ACD = ∠A + ∠B.

(सिद्ध हुआ)

प्रश्न 23. यदि किसी चक्रीय चतुर्भुज (Cyclic quadrilateral) की एक भुजा बढ़ाई जाए, तो सिद्ध कीजिए कि बहिष्कोण अपने सम्मुख अंतः कोण (Interior opposite angle) के बराबर होता है। 4 अंक

उत्तर: माना ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है और इसकी भुजा AB को E तक बढ़ाया गया है, जिससे बहिष्कोण ∠CBE बनता है।

सिद्ध करना है: ∠CBE = ∠ADC (सम्मुख अंतः कोण)।

प्रमाण: सरल रेखा ABE पर, ∠ABC + ∠CBE = 180° (रैखिक युग्म) ... (1)

हम जानते हैं कि चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180° होता है। अतः:

∠ABC + ∠ADC = 180° ... (2)

समीकरण (1) और (2) से:

∠ABC + ∠CBE = ∠ABC + ∠ADC

दोनों ओर से ∠ABC हटाने पर:

∠CBE = ∠ADC

(सिद्ध हुआ)

अथवा: सिद्ध कीजिए कि वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। (चित्र का वर्णन भी करें)

उत्तर: चित्र वर्णन: एक वृत्त बनाएँ जिसका केंद्र O हो। एक जीवा AB खींचें। O से AB पर लंब OM खींचें, जो AB को M पर मिलता है। OA और OB को मिलाएँ (ये त्रिज्याएँ हैं)।

दिया है: केंद्र O वाला वृत्त, जीवा AB, और OM ⊥ AB (∠OMA = ∠OMB = 90°)।
सिद्ध करना है: AM = MB.
प्रमाण: समकोण ΔOMA और ΔOMB में:

1. ∠OMA = ∠OMB = 90° (दिया है)

2. कर्ण OA = कर्ण OB (वृत्त की त्रिज्याएँ)

3. भुजा OM = OM (उभयनिष्ठ)

अतः RHS (समकोण-कर्ण-भुजा) सर्वांगसमता नियम से:

ΔOMA ≅ ΔOMB.

CPCT (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) से:

AM = MB.

अतः केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। (सिद्ध हुआ)

डिस्क्लेमर (Disclaimer): यह प्रश्नपत्र केवल विद्यार्थियों के अभ्यास और शैक्षणिक मार्गदर्शन हेतु तैयार किया गया एक संभावित मॉडल पेपर है। यह कोई असली या लीक हुआ पेपर नहीं है। कृपया परीक्षा के सटीक पाठ्यक्रम के लिए MP Board के निर्देशों का ही पालन करें।

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MP EDUCATION GYAN DEEP

कक्षा 9वीं — विज्ञान (Science)

अर्द्धवार्षिक परीक्षा 2026–27 | आदर्श-प्रश्नपत्र एवं मॉडल उत्तर

समय: 3 घंटे

पूर्णांक: 75

प्रश्न: 23 मुख्य प्रश्न

संक्षिप्त विवरण: यह MP Board के नवीनतम ब्लूप्रिंट (75 अंक) और निर्धारित अर्द्धवार्षिक पाठ्यक्रम (अध्याय 1 से 10 तक) पर आधारित कक्षा 9 विज्ञान का अभ्यास मॉडल पेपर है।

विद्यार्थियों के लिए निर्देश: सभी प्रश्न अनिवार्य हैं। (नोट: निर्देशानुसार खण्ड 'B' के 2 अंक वाले अति लघु-उत्तरीय प्रश्नों में 'अथवा' का विकल्प नहीं दिया गया है)। पहले स्वयं प्रश्न हल करें, फिर “उत्तर देखें” बटन दबाकर अपने उत्तर का मिलान करें।

वस्तुनिष्ठ प्रश्न (प्रश्न 1 से 5)

कुल 30 वस्तुनिष्ठ प्रश्न हैं। प्रत्येक 1 अंक। (कुल 30 अंक)।

प्रश्न 1. सही विकल्प चुनकर लिखिए— 6 × 1 = 6

(1) पदार्थ की किस अवस्था में कणों के मध्य न्यूनतम रिक्त स्थान होता है?

क) ठोस

ख) द्रव

ग) गैस

घ) जल

मॉडल उत्तर:

(क) ठोस

(2) निम्नलिखित में से कौन-सा रासायनिक परिवर्तन है?

क) बर्फ का पिघलना

ख) दूध से दही बनना

ग) बुरादे का बनना

घ) जल का उबलना

मॉडल उत्तर:

(ख) दूध से दही बनना

(3) 'कोशिका का पावर हाउस' (बिजलीघर) किसे कहा जाता है?

क) राइबोसोम

ख) माइटोकॉन्ड्रिया

ग) लाइसोसोम

घ) गॉल्जी उपकरण

मॉडल उत्तर:

(ख) माइटोकॉन्ड्रिया

(4) वेग में परिवर्तन की दर कहलाती है:

क) चाल

ख) विस्थापन

ग) त्वरण

घ) दूरी

मॉडल उत्तर:

(ग) त्वरण (Acceleration)

(5) बल का SI मात्रक क्या है?

क) जूल

ख) न्यूटन

ग) पास्कल

घ) मीटर/सेकंड

मॉडल उत्तर:

(ख) न्यूटन (Newton)

(6) गुरुत्वाकर्षण बल का कारण है:

क) द्रव्यमान

ख) आयतन

ग) आवेश

घ) चुम्बकत्व

मॉडल उत्तर:

(क) द्रव्यमान

प्रश्न 2. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए— 6 × 1 = 6

(1) सभी द्रव्य (पदार्थ) _______ से मिलकर बने होते हैं।

मॉडल उत्तर:

कणों (Particles)

(2) टिंडल प्रभाव _______ विलयन द्वारा प्रदर्शित किया जाता है।

मॉडल उत्तर:

कोलाइडल (Colloidal)

(3) परमाणु के नाभिक की खोज _______ ने की थी।

मॉडल उत्तर:

अर्नेस्ट रदरफोर्ड

(4) पौधों में जल एवं खनिज लवणों का संवहन _______ ऊतक द्वारा होता है।

मॉडल उत्तर:

जाइलम (Xylem)

(5) गुरुत्वीय त्वरण (g) का मान पृथ्वी के विषुवत वृत्त (Equator) की अपेक्षा ध्रुवों (Poles) पर _______ होता है।

मॉडल उत्तर:

अधिक (Maximum)

(6) कार्य = बल × _______।

मॉडल उत्तर:

विस्थापन (Displacement)

प्रश्न 3. सत्य / असत्य लिखिए— 6 × 1 = 6

(1) वाष्पीकरण से शीतलता उत्पन्न होती है।

मॉडल उत्तर:

सत्य।

(2) निलंबन (Suspension) एक समांगी मिश्रण है।

मॉडल उत्तर:

असत्य (यह एक विषमांगी मिश्रण है)।

(3) लाइसोसोम को कोशिका की 'आत्मघाती थैली' कहा जाता है।

मॉडल उत्तर:

सत्य।

(4) विस्थापन (Displacement) एक अदिश (Scalar) राशि है।

मॉडल उत्तर:

असत्य (विस्थापन एक सदिश राशि है)।

(5) क्रिया एवं प्रतिक्रिया बल हमेशा एक ही वस्तु पर कार्य करते हैं।

मॉडल उत्तर:

असत्य (ये हमेशा दो अलग-अलग वस्तुओं पर कार्य करते हैं)।

(6) ऊर्जा न तो उत्पन्न की जा सकती है और न ही नष्ट की जा सकती है।

मॉडल उत्तर:

सत्य (यह ऊर्जा संरक्षण का नियम है)।

प्रश्न 4. सही जोड़ी बनाइए— 6 × 1 = 6

(1) इलेक्ट्रॉन की खोज (सही जोड़ी का मिलान नीचे उत्तर में देखें)

मॉडल उत्तर:

जे. जे. टॉमसन

(2) फ्लोएम (Phloem) (सही जोड़ी का मिलान नीचे उत्तर में देखें)

मॉडल उत्तर:

भोजन का संवहन

(3) चाल (Speed) (सही जोड़ी का मिलान नीचे उत्तर में देखें)

मॉडल उत्तर:

अदिश राशि (Scalar Quantity)

(4) संवेग (Momentum) (सही जोड़ी का मिलान नीचे उत्तर में देखें)

मॉडल उत्तर:

द्रव्यमान × वेग (p = mv)

(5) सार्वत्रिक गुरुत्वीय नियतांक (G) (सही जोड़ी का मिलान नीचे उत्तर में देखें)

मॉडल उत्तर:

6.67 × 10⁻¹¹ N m²/kg²

(6) गतिज ऊर्जा (Kinetic Energy) (सही जोड़ी का मिलान नीचे उत्तर में देखें)

मॉडल उत्तर:

½ mv²

प्रश्न 5. एक वाक्य/शब्द में उत्तर दीजिए— 6 × 1 = 6

(1) ठोस का सीधे गैस में बदलना क्या कहलाता है?

मॉडल उत्तर:

ऊर्ध्वपातन (Sublimation)।

(2) पीतल (Brass) किन धातुओं की मिश्र धातु है?

मॉडल उत्तर:

तांबा (Copper) और जस्ता (Zinc)।

(3) जल का रासायनिक सूत्र लिखिए。

मॉडल उत्तर:

H₂O

(4) मानव शरीर की सबसे लंबी कोशिका कौन-सी है?

मॉडल उत्तर:

तंत्रिका कोशिका (Nerve cell / Neuron)।

(5) किसी वस्तु का भार पृथ्वी के केंद्र पर कितना होता है?

मॉडल उत्तर:

शून्य (Zero)।

(6) ऊर्जा का व्यावसायिक मात्रक क्या है?

मॉडल उत्तर:

किलोवाट-घंटा (kWh) या यूनिट।

अति लघु-उत्तरीय प्रश्न (प्रश्न 6 से 17)

प्रत्येक प्रश्न 2 अंक का है। कुल 24 अंक। (इस खण्ड में कोई 'अथवा' प्रश्न नहीं है)

प्रश्न 6. गुप्त ऊष्मा (Latent Heat) किसे कहते हैं? 2 अंक

मॉडल उत्तर:

पदार्थ की अवस्था परिवर्तन (जैसे ठोस से द्रव या द्रव से गैस) के दौरान दी गई ऊष्मा, जो तापमान में कोई वृद्धि नहीं करती, गुप्त ऊष्मा कहलाती है। यह ऊष्मा कणों के बीच के आकर्षण बल को तोड़ने में खर्च हो जाती है।

प्रश्न 7. धातु और अधातु में कोई दो अंतर लिखिए। 2 अंक

मॉडल उत्तर:

1. चमक: धातुओं में धात्विक चमक होती है, जबकि अधातुओं में चमक नहीं होती (आयोडीन को छोड़कर)।

2. चालकता: धातुएं ऊष्मा और विद्युत की सुचालक होती हैं, जबकि अधातुएं कुचालक होती हैं (ग्रेफाइट को छोड़कर)।

प्रश्न 8. समस्थानिक (Isotopes) किसे कहते हैं? 2 अंक

मॉडल उत्तर:

एक ही तत्व के वे परमाणु जिनकी परमाणु संख्या (Atomic Number) समान होती है, लेकिन द्रव्यमान संख्या (Mass Number) भिन्न-भिन्न होती है, समस्थानिक कहलाते हैं। (उदाहरण: कार्बन-12 और कार्बन-14)।

प्रश्न 9. रदरफोर्ड के परमाणु मॉडल की दो कमियाँ (दोष) लिखिए। 2 अंक

मॉडल उत्तर:

1. यह मॉडल परमाणु के स्थायित्व (Stability) को नहीं समझा सका (घूमता हुआ इलेक्ट्रॉन ऊर्जा खोकर नाभिक में गिर जाना चाहिए)।

2. यह मॉडल परमाणुओं के रेखीय स्पेक्ट्रम (Line spectrum) की व्याख्या नहीं कर सका।

प्रश्न 10. माइटोकॉन्ड्रिया को कोशिका का 'बिजलीघर' (Powerhouse) क्यों कहते हैं? 2 अंक

मॉडल उत्तर:

माइटोकॉन्ड्रिया में कोशिकीय श्वसन की प्रक्रिया होती है, जिससे भोजन का ऑक्सीकरण होकर ऊर्जा ATP (Adenosine Triphosphate) के रूप में मुक्त होती है। इसी ऊर्जा से कोशिका के सभी कार्य होते हैं, इसलिए इसे कोशिका का बिजलीघर कहते हैं।

प्रश्न 11. पादप कोशिका और जंतु कोशिका में कोई दो अंतर लिखिए। 2 अंक

मॉडल उत्तर:

1. पादप कोशिका में कोशिका भित्ति (Cell wall) पाई जाती है, जबकि जंतु कोशिका में यह नहीं पाई जाती।

2. पादप कोशिका में हरितलवक (Chloroplast) पाया जाता है, जंतु कोशिका में हरितलवक अनुपस्थित होता है।

प्रश्न 12. जाइलम (Xylem) और फ्लोएम (Phloem) में दो अंतर लिखिए। 2 अंक

मॉडल उत्तर:

1. कार्य: जाइलम जड़ों से जल और खनिज लवणों को पौधे के विभिन्न भागों तक पहुँचाता है, जबकि फ्लोएम पत्तियों में बने भोजन को पौधे के अन्य भागों तक पहुँचाता है。

2. प्रवाह की दिशा: जाइलम में पदार्थों का प्रवाह केवल ऊपर की ओर (एकदिशीय) होता है, जबकि फ्लोएम में प्रवाह ऊपर और नीचे दोनों ओर (द्विदिशीय) होता है।

प्रश्न 13. चाल (Speed) और वेग (Velocity) में दो अंतर लिखिए। 2 अंक

मॉडल उत्तर:

1. परिभाषा: किसी वस्तु द्वारा एकांक समय में तय की गई दूरी को चाल कहते हैं, जबकि एकांक समय में निश्चित दिशा में तय की गई दूरी (विस्थापन) को वेग कहते हैं。

2. राशि: चाल एक अदिश (Scalar) राशि है, जबकि वेग एक सदिश (Vector) राशि है।

प्रश्न 14. न्यूटन का गति का प्रथम नियम लिखिए। 2 अंक

मॉडल उत्तर:

न्यूटन के प्रथम नियम (जड़त्व के नियम) के अनुसार: "यदि कोई वस्तु विराम अवस्था में है तो वह विराम में ही रहेगी, और यदि वह एकसमान गति से चल रही है तो उसी गति से चलती रहेगी, जब तक कि उस पर कोई बाह्य असंतुलित बल न लगाया जाए।"

प्रश्न 15. संवेग (Momentum) किसे कहते हैं? इसका मात्रक लिखिए। 2 अंक

मॉडल उत्तर:

किसी वस्तु के द्रव्यमान (m) और उसके वेग (v) के गुणनफल को उस वस्तु का संवेग (p) कहते हैं। यह एक सदिश राशि है। (p = m × v)।

इसका SI मात्रक किलोग्राम-मीटर प्रति सेकंड (kg·m/s) है।

प्रश्न 16. गुरुत्वाकर्षण का सार्वत्रिक नियम लिखिए। 2 अंक

मॉडल उत्तर:

न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण नियम के अनुसार: "ब्रह्मांड में किन्हीं दो पिंडों के बीच लगने वाला आकर्षण बल उनके द्रव्यमानों के गुणनफल के समानुपाती और उनके बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है।" (F = G m₁m₂ / r²).

प्रश्न 17. गतिज ऊर्जा (Kinetic Energy) किसे कहते हैं? सूत्र लिखिए। 2 अंक

मॉडल उत्तर:

किसी वस्तु में उसकी गति के कारण जो कार्य करने की क्षमता होती है, उसे उस वस्तु की गतिज ऊर्जा कहते हैं।

सूत्र: K.E. = ½ mv² (जहाँ m = द्रव्यमान और v = वेग है)।

लघु-उत्तरीय प्रश्न (प्रश्न 18 से 20)

प्रत्येक प्रश्न 3 अंक का है। कुल 9 अंक। (इनमें 'अथवा' विकल्प दिए गए हैं)

प्रश्न 18. यौगिक (Compound) और मिश्रण (Mixture) में तीन अंतर लिखिए। 3 अंक

मॉडल उत्तर:

1. निर्माण: यौगिक दो या दो से अधिक तत्वों के एक निश्चित अनुपात में रासायनिक संयोग से बनते हैं। मिश्रण दो या दो से अधिक पदार्थों को किसी भी अनुपात में (बिना रासायनिक क्रिया के) मिलाने से बनता है。

2. गुणधर्म: यौगिक के गुण उसके घटक तत्वों के गुणों से पूरी तरह भिन्न होते हैं। मिश्रण में उसके घटक पदार्थों के गुण विद्यमान रहते हैं。

3. पृथक्करण: यौगिक के घटकों को भौतिक विधियों द्वारा अलग नहीं किया जा सकता (रासायनिक विधि चाहिए)। मिश्रण के घटकों को भौतिक विधियों (जैसे छानना, वाष्पीकरण) द्वारा आसानी से अलग किया जा सकता है।

अथवा: डाल्टन के परमाणु सिद्धांत के तीन प्रमुख बिंदु लिखिए।

मॉडल उत्तर:

डाल्टन के परमाणु सिद्धांत के तीन प्रमुख बिंदु निम्नलिखित हैं:

1. सभी द्रव्य (पदार्थ) अत्यंत सूक्ष्म कणों से मिलकर बने होते हैं, जिन्हें परमाणु (Atom) कहते हैं।

2. परमाणु अविभाज्य (Indivisible) सूक्ष्म कण होते हैं, जो किसी रासायनिक अभिक्रिया में न तो उत्पन्न होते हैं और न ही नष्ट होते हैं (द्रव्यमान संरक्षण)।

3. एक ही तत्व के सभी परमाणुओं का द्रव्यमान और रासायनिक गुणधर्म समान होते हैं, जबकि अलग-अलग तत्वों के परमाणुओं के गुण और द्रव्यमान अलग-अलग होते हैं।

प्रश्न 19. प्रोकैरियोटिक और यूकैरियोटिक कोशिका में तीन अंतर लिखिए। 3 अंक

मॉडल उत्तर:

1. केंद्रक (Nucleus): प्रोकैरियोटिक कोशिका में स्पष्ट और झिल्ली-युक्त केंद्रक नहीं पाया जाता है (केवल न्यूक्लिओइड होता है)। यूकैरियोटिक कोशिका में झिल्ली से घिरा हुआ सुविकसित केंद्रक होता है。

2. कोशिकांग: प्रोकैरियोटिक में झिल्ली-युक्त कोशिकांग (जैसे माइटोकॉन्ड्रिया, गॉल्जीकाय, लाइसोसोम) अनुपस्थित होते हैं। यूकैरियोटिक में ये सभी कोशिकांग पाए जाते हैं。

3. आकार और उदाहरण: प्रोकैरियोटिक कोशिकाएं आकार में छोटी (1-10 µm) होती हैं (उदा. जीवाणु/Bacteria)। यूकैरियोटिक कोशिकाएं बड़ी (5-100 µm) होती हैं (उदा. पादप और जंतु कोशिकाएं)।

अथवा: रक्त (Blood) के तीन प्रमुख कार्य लिखिए।

मॉडल उत्तर:

रक्त एक तरल संयोजी ऊतक है। इसके तीन प्रमुख कार्य निम्न हैं:

1. ऑक्सीजन का परिवहन: रक्त फेफड़ों से ऑक्सीजन (O₂) लेकर शरीर की सभी कोशिकाओं तक पहुँचाता है और वहाँ से कार्बन डाइऑक्साइड (CO₂) वापस फेफड़ों तक लाता है。

2. पोषक तत्वों का संवहन: पचे हुए भोजन (पोषक तत्वों) को छोटी आंत से अवशोषित करके शरीर के विभिन्न भागों तक पहुँचाता है。

3. रोगों से बचाव और ताप नियंत्रण: रक्त में मौजूद श्वेत रक्त कणिकाएं (WBC) बीमारियों (रोगाणुओं) से लड़ती हैं। साथ ही, रक्त शरीर के तापमान को नियंत्रित और समान बनाए रखने में मदद करता है।

प्रश्न 20. द्रव्यमान (Mass) और भार (Weight) में तीन अंतर लिखिए। 3 अंक

मॉडल उत्तर:

1. परिभाषा: किसी वस्तु में उपस्थित पदार्थ की कुल मात्रा को उसका द्रव्यमान कहते हैं। पृथ्वी जिस गुरुत्वाकर्षण बल से किसी वस्तु को अपने केंद्र की ओर खींचती है, उसे वस्तु का भार कहते हैं (W = mg)।

2. मान में परिवर्तन: वस्तु का द्रव्यमान सभी जगह (पृथ्वी, चंद्रमा, अंतरिक्ष) स्थिर रहता है, यह कभी नहीं बदलता। भार गुरुत्वीय त्वरण (g) पर निर्भर करता है, इसलिए स्थान बदलने पर भार बदल जाता है。

3. मात्रक और राशि: द्रव्यमान का SI मात्रक किलोग्राम (kg) है और यह एक अदिश राशि है। भार का SI मात्रक न्यूटन (N) है और यह एक सदिश राशि है।

अथवा: आर्किमिडीज का सिद्धांत क्या है? इसके दो अनुप्रयोग (उपयोग) लिखिए।

मॉडल उत्तर:

आर्किमिडीज का सिद्धांत: "जब किसी वस्तु को किसी तरल (द्रव या गैस) में पूर्ण या आंशिक रूप से डुबोया जाता है, तो वह ऊपर की ओर एक बल (उत्प्लावन बल) का अनुभव करती है। यह बल वस्तु द्वारा हटाए गए तरल के भार के बराबर होता है।"
अनुप्रयोग (उपयोग):

1. जलयानों (Ships) और पनडुब्बियों (Submarines) की डिजाइन बनाने में इसी सिद्धांत का उपयोग किया जाता है।

2. दूध की शुद्धता मापने वाले यंत्र (लैक्टोमीटर) और द्रवों का घनत्व मापने वाले यंत्र (हाइड्रोमीटर) इसी सिद्धांत पर कार्य करते हैं।

दीर्घ-उत्तरीय प्रश्न (प्रश्न 21 से 23)

प्रत्येक प्रश्न 4 अंक का है। कुल 12 अंक।

प्रश्न 21. गति के तीनों समीकरण लिखिए एवं प्रथम समीकरण (v = u + at) की व्युत्पत्ति कीजिए। 4 अंक

मॉडल उत्तर:

गति के तीन समीकरण:

1. प्रथम समीकरण: v = u + at

2. द्वितीय समीकरण: s = ut + ½ at²

3. तृतीय समीकरण: v² = u² + 2as

प्रथम समीकरण की व्युत्पत्ति:

माना कोई वस्तु प्रारंभिक वेग 'u' से चलना प्रारंभ करती है।

उस पर एकसमान त्वरण 'a' कार्य कर रहा है।

't' समय बाद उस वस्तु का अंतिम वेग 'v' हो जाता है।

हम जानते हैं कि त्वरण की परिभाषा के अनुसार: त्वरण = वेग में परिवर्तन / लिया गया समय

त्वरण (a) = (अंतिम वेग - प्रारंभिक वेग) / समय

a = (v - u) / t

तिर्यक गुणा (Cross multiply) करने पर:

at = v - u

पक्षांतर करने पर:

v = u + at

यही गति का प्रथम समीकरण है।

अथवा: न्यूटन के गति के द्वितीय नियम की सहायता से सिद्ध कीजिए कि F = ma.

मॉडल उत्तर:

न्यूटन का द्वितीय नियम: "किसी वस्तु के संवेग में परिवर्तन की दर उस पर लगाए गए बाह्य असंतुलित बल के अनुक्रमानुपाती होती है।"
सिद्ध करना: माना m द्रव्यमान की कोई वस्तु u वेग से गतिमान है। उस पर F बल t समय तक लगाने से उसका वेग v हो जाता है。

प्रारंभिक संवेग p₁ = mu

अंतिम संवेग p₂ = mv

संवेग में परिवर्तन Δp = p₂ - p₁ = mv - mu = m(v - u)

संवेग परिवर्तन की दर = Δp / t = m(v - u) / t

हम जानते हैं कि त्वरण (a) = (v - u) / t होता है। अतः संवेग परिवर्तन की दर = m × a

न्यूटन के द्वितीय नियम से: बल (F) ∝ संवेग परिवर्तन की दर

F ∝ ma

F = kma (जहाँ k एक अनुक्रमानुपाती नियतांक है)

SI पद्धति में k = 1 माना जाता है।

अतः F = ma (बल = द्रव्यमान × त्वरण)। (सिद्ध हुआ)।

प्रश्न 22. बोर (Bohr) के परमाणु मॉडल की प्रमुख अवधारणाएं (Postulates) लिखिए। 4 अंक

मॉडल उत्तर:

नील्स बोर ने रदरफोर्ड के मॉडल की कमियों को दूर करने के लिए अपना परमाणु मॉडल प्रस्तुत किया। इसकी प्रमुख अवधारणाएं निम्नलिखित हैं:

1. निश्चित कक्षाएं: इलेक्ट्रॉन नाभिक के चारों ओर केवल कुछ निश्चित वृत्ताकार कक्षाओं में ही चक्कर लगा सकते हैं। इन कक्षाओं को विविक्त कक्षाएं (Discrete orbits) या ऊर्जा स्तर (Energy levels) कहते हैं।

2. ऊर्जा का ह्रास नहीं: जब इलेक्ट्रॉन इन निश्चित कक्षाओं (K, L, M, N...) में चक्कर लगाते हैं, तो वे अपनी ऊर्जा का विकिरण (हानि) नहीं करते। इसलिए परमाणु स्थायी होता है।

3. ऊर्जा स्तरों का नामकरण: इन कक्षाओं को n = 1, 2, 3, 4 या K, L, M, N अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है, जहाँ n कक्षा की संख्या है। किसी कक्षा में अधिकतम 2n² इलेक्ट्रॉन हो सकते हैं।

4. ऊर्जा का अवशोषण या उत्सर्जन: इलेक्ट्रॉन ऊर्जा का अवशोषण करके उच्च कक्षा में कूद सकता है, और उच्च कक्षा से निम्न कक्षा में लौटते समय ऊर्जा का विकिरण (उत्सर्जन) करता है।

अथवा: निम्नलिखित के रासायनिक सूत्र लिखिए:

(a) सोडियम ऑक्साइड

(b) एल्युमिनियम क्लोराइड

(d) मैग्नीशियम हाइड्रॉक्साइड

मॉडल उत्तर:

संयोजकता के आधार पर रासायनिक सूत्र निर्माण:

(a) सोडियम ऑक्साइड: Na की संयोजकता 1, O की संयोजकता 2। क्रॉस करने पर सूत्र = Na₂O

(b) एल्युमिनियम क्लोराइड: Al की संयोजकता 3, Cl की संयोजकता 1। क्रॉस करने पर सूत्र = AlCl₃

(d) मैग्नीशियम हाइड्रॉक्साइड: Mg की संयोजकता 2, OH की संयोजकता 1। क्रॉस करने पर सूत्र = Mg(OH)₂

प्रश्न 23. कार्य-ऊर्जा प्रमेय लिखिए तथा सिद्ध कीजिए। 4 अंक

मॉडल उत्तर:

कार्य-ऊर्जा प्रमेय: किसी वस्तु पर लगाए गए परिणामी बल द्वारा किया गया कार्य, उस वस्तु की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है। (W = ΔK)
सिद्ध करना: माना m द्रव्यमान की वस्तु पर F बल लगाने से उसका वेग u से बढ़कर v हो जाता है, और विस्थापन s होता है।

गति के तृतीय समीकरण से: v² = u² + 2as ⇒ a = (v² - u²) / 2s

न्यूटन के द्वितीय नियम से बल F = ma

F = m [(v² - u²) / 2s]

बल द्वारा किया गया कार्य W = बल × विस्थापन = F × s

W = m [(v² - u²) / 2s] × s

W = ½ mv² - ½ mu²

चूंकि ½ mv² = अंतिम गतिज ऊर्जा (K_f) और ½ mu² = प्रारंभिक गतिज ऊर्जा (K_i)

अतः W = K_f - K_i

अर्थात किया गया कार्य = गतिज ऊर्जा में परिवर्तन (ΔK)। (सिद्ध हुआ)।

अथवा: स्थितिज ऊर्जा किसे कहते हैं? m द्रव्यमान की वस्तु को h ऊँचाई तक उठाने में संचित स्थितिज ऊर्जा (E_p = mgh) का व्यंजक ज्ञात कीजिए।

मॉडल उत्तर:

परिभाषा: किसी वस्तु की विशिष्ट स्थिति (Position) या उसके आकार (Configuration) में परिवर्तन के कारण उसमें जो ऊर्जा संचित हो जाती है, उसे स्थितिज ऊर्जा (Potential Energy) कहते हैं।
व्यंजक (mgh): माना m द्रव्यमान की एक वस्तु को पृथ्वी की सतह से h ऊँचाई तक उठाया जाता है।

वस्तु को उठाने के लिए आवश्यक न्यूनतम बल (F) वस्तु के भार के बराबर होगा, अर्थात F = mg (जहाँ g गुरुत्वीय त्वरण है)।

वस्तु को h ऊँचाई तक उठाने में गुरुत्व बल के विरुद्ध किया गया कार्य (W) = बल × विस्थापन

W = F × h

F का मान रखने पर, W = mg × h = mgh

वस्तु पर किया गया यह कार्य ही वस्तु में गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा (E_p) के रूप में संचित हो जाता है।

अतः E_p = mgh (सिद्ध हुआ)।

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