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कक्षा 12वीं गणित मॉडल पेपर सेट B 2026 | MP Board Maths Practice Paper (हिन्दी एवं अंग्रेजी माध्यम)

माध्यमिक शिक्षा मण्डल, भोपाल द्वारा आयोजित कक्षा 12वीं बोर्ड परीक्षा 2026 की तैयारी कर रहे विद्यार्थियों के लिए गणित (Mathematics) मॉडल पेपर सेट B अत्यंत उपयोगी है।

यह प्रश्नपत्र नवीनतम परीक्षा पैटर्न और ब्लूप्रिंट को ध्यान में रखकर तैयार किया गया है, जिससे विद्यार्थी अपनी तैयारी का सही आकलन कर सकें।

मॉडल पेपर सेट B क्यों महत्वपूर्ण है?

✅ अलग प्रश्न संयोजन (Different Question Pattern)

✅ परीक्षा स्तर के अनुरूप कठिनाई

✅ अधिक अभ्यास के लिए नया सेट

✅ समय प्रबंधन सुधारने में सहायक

✅ स्व-मूल्यांकन के लिए उपयुक्त

सेट B हल करने से विद्यार्थियों को प्रश्नों की विविधता समझने में मदद मिलती है।

प्रश्न पत्र की संरचना

खंड A – वस्तुनिष्ठ प्रश्न (MCQ)

खंड B – अति लघु उत्तरीय प्रश्न

खंड C – लघु उत्तरीय प्रश्न

खंड D – दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

⏱️ समय: 3 घंटे

📈 पूर्णांक: 80 अंक

📌 सेट B में कुछ प्रश्न अवधारणात्मक (Concept Based) भी हो सकते हैं, इसलिए केवल रटने की बजाय समझकर तैयारी करें।

Maths Model Paper 12th (Set-C) - Sandipani Vidyalaya

माध्यम (Medium):

खण्ड अ: वस्तुनिष्ठ प्रश्न (32 अंक)

Section A: Objective Type Questions (32 Marks)

प्र.1. सही विकल्प चुनकर लिखिए: (1×6 = 6 अंक)

Q.1. Choose the correct option: (1×6 = 6 Marks)

(i) यदि f: R → R, f(x) = 3x द्वारा परिभाषित है, तो f है:

(i) If f: R → R is defined by f(x) = 3x, then f is:

(अ) एकैकी आच्छादक / (a) One-one onto (ब) बहुएक आच्छादक / (b) Many-one onto (स) एकैकी लेकिन आच्छादक नहीं / (c) One-one but not onto (द) न तो एकैकी और न ही आच्छादक / (d) Neither one-one nor onto

👉 (अ) एकैकी आच्छादक

विवरण: f(x₁) = f(x₂) ⇒ 3x₁ = 3x₂ ⇒ x₁ = x₂ (एकैकी)। प्रत्येक y ∈ R के लिए x = y/3 ∈ R (आच्छादक)।

👉 (a) One-one onto

Description: f(x₁) = f(x₂) ⇒ x₁ = x₂ (One-one). For every y ∈ R, x = y/3 ∈ R (Onto).

(ii) cos^-1(cos 7π/6) का मान है:

(ii) The value of cos^-1(cos 7π/6) is:

(अ) 7π/6 / (a) 7π/6 (ब) 5π/6 / (b) 5π/6 (स) π/3 / (c) π/3 (द) π/6 / (d) π/6

👉 (ब) 5π/6

हल: cos 7π/6 = cos(2π - 5π/6) = cos 5π/6. सीमा [0, π] में है।

👉 (b) 5π/6

Solution: cos 7π/6 = cos(2π - 5π/6) = cos 5π/6. It is in the range [0, π].

(iii) यदि A और B समान कोटि के सममित आव्यूह हैं, तो AB - BA एक:

(iii) If A and B are symmetric matrices of same order, then AB - BA is a:

(अ) विषम सममित आव्यूह / (a) Skew-symmetric matrix (ब) सममित आव्यूह / (b) Symmetric matrix (स) शून्य आव्यूह / (c) Zero matrix (द) तत्समक आव्यूह / (d) Identity matrix

👉 (अ) विषम सममित आव्यूह

हल: (AB - BA)' = (AB)' - (BA)' = B'A' - A'B' = BA - AB = -(AB - BA).

👉 (a) Skew-symmetric matrix

Solution: (AB - BA)' = (AB)' - (BA)' = B'A' - A'B' = BA - AB = -(AB - BA).

(iv) x के सापेक्ष e^x³ का अवकलज है:

(iv) Derivative of e^x³ with respect to x is:

(अ) 3x²e^x³ / (a) 3x²e^x³ (ब) 3xe^x³ / (b) 3xe^x³ (स) 3x²e^x / (c) 3x²e^x (द) 3x²e^x² / (d) 3x²e^x²

👉 (अ) 3x²e^x³

हल: d/dx(e^x³) = e^x³ \cdot d/dx(x³) = 3x²e^x³

👉 (a) 3x²e^x³

Solution: d/dx(e^x³) = e^x³ \cdot d/dx(x³) = 3x²e^x³

(v) ∫ e^x sec x (1 + tan x) dx का मान है:

(v) The value of ∫ e^x sec x (1 + tan x) dx is:

(अ) e^x cos x + C / (a) e^x cos x + C (ब) e^x sec x + C / (b) e^x sec x + C (स) e^x sin x + C / (c) e^x sin x + C (द) e^x tan x + C / (d) e^x tan x + C

👉 (ब) e^x sec x + C

हल: ∫ e^x (sec x + sec x tan x) dx. यहाँ f(x) = sec x और f'(x) = sec x tan x है।

👉 (b) e^x sec x + C

Solution: ∫ e^x (sec x + sec x tan x) dx. Here f(x) = sec x and f'(x) = sec x tan x.

(vi) अवकल समीकरण dy/dx + y = e^-x का समाकलन गुणक (I.F.) है:

(vi) Integrating Factor (I.F.) of differential equation dy/dx + y = e^-x is:

(अ) e^x / (a) e^x (ब) e^-x / (b) e^-x (स) x / (c) x (द) -x / (d) -x

👉 (अ) e^x

हल: P = 1. I.F. = e^{∫P dx} = e^{∫1 dx} = e^x.

👉 (a) e^x

Solution: P = 1. I.F. = e^{∫P dx} = e^{∫1 dx} = e^x.

प्र.2. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए: (1×6 = 6 अंक)

Q.2. Fill in the blanks: (1×6 = 6 Marks)

(i) यदि f: R → R, f(x) = cos x और g: R → R, g(x) = x² हो, तो fog(x) = ________.

(i) If f: R → R, f(x) = cos x and g: R → R, g(x) = x², then fog(x) = ________.

cos(x²)

(ii) tan^-1x + cot^-1x = ________.

π/2

(iii) यदि y = sin(log x), तो dy/dx = ________.

(iii) If y = sin(log x), then dy/dx = ________.

cos(log x) / x

(iv) ∫ dx / (x² + a²) = ________.

(1/a) tan^-1(x/a) + C

(v) सदिश a = i + j - k और b = i - j + k के बीच का कोण ________ है।

(v) The angle between vectors a = i + j - k and b = i - j + k is ________.

cos^-1(-1/3)

cos θ = (aċb) / (|a||b|) = (1-1-1)/(√3√3) = -1/3.

cos^-1(-1/3)

cos θ = (aċb) / (|a||b|) = (1-1-1)/(√3√3) = -1/3.

(vi) दो घटनाओं E और F को स्वतंत्र कहते हैं यदि P(E ∩ F) = ________.

(vi) Two events E and F are said to be independent if P(E ∩ F) = ________.

P(E) \times P(F)

प्र.3. सत्य/असत्य लिखिए: (1×6 = 6 अंक)

Q.3. State True or False: (1×6 = 6 Marks)

(i) प्रत्येक सतत फलन अवकलनीय होता है।

(i) Every continuous function is differentiable.

असत्य (उदाहरण: |x|, x=0 पर)

False (Example: |x| at x=0)

(ii) सारणिक एक वर्ग आव्यूह से संबद्ध संख्या है।

(ii) Determinant is a number associated with a square matrix.

सत्य

True

(iii) ∫ f(x) dx = ∫ f(t) dt (निश्चित समाकलन में)।

(iii) ∫ f(x) dx = ∫ f(t) dt (in definite integral).

सत्य (चर परिवर्तन से मान नहीं बदलता)

True (Value doesn't change with change of variable)

(iv) a × b = b × a.

असत्य (a × b = -(b × a) होता है)

False (a × b = -(b × a))

(v) यदि रेखा की दिक्-कोसाइन l, m, n हैं, तो l² + m² + n² = 0.

(v) If l, m, n are direction cosines, then l² + m² + n² = 0.

असत्य (योग 1 होता है)

False (Sum is 1)

(vi) किसी घटना की प्रायिकता 1 से अधिक नहीं हो सकती।

(vi) Probability of an event cannot exceed 1.

सत्य

True

प्र.4. सही जोड़ी बनाइए: (1×7 = 7 अंक)

Q.4. Match the following: (1×7 = 7 Marks)

        (i) ∫ tan x dx       -> (क) ex + C

        (ii) ∫ cot x dx       -> (ख) 2√x + C

        (iii) ∫ 1/x dx         -> (ग) xn+1/(n+1) + C

        (iv) ∫ ex dx         -> (घ) log|sin x| + C

        (v) ∫ xn dx         -> (ङ) log|x| + C

        (vi) ∫ 1/√x dx        -> (च) 1

        (vii) P(E) + P(E')     -> (छ) log|sec x| + C

        Correct Match:

        (i) → (छ) log|sec x| + C

        (ii) → (घ) log|sin x| + C

        (iii) → (ङ) log|x| + C

        (iv) → (क) ex + C

        (v) → (ग) xn+1/(n+1) + C

        (vi) → (ख) 2√x + C

        (vii) → (च) 1

प्र.5. एक शब्द/वाक्य में उत्तर दीजिए: (1×7 = 7 अंक)

Q.5. Answer in one word/sentence: (1×7 = 7 Marks)

(i) यदि x + y = 10 और x - y = 4 हो, तो x का मान क्या होगा?

(i) If x + y = 10 and x - y = 4, find the value of x.

(ii) अवकल समीकरण y = x(dy/dx) + a √(1+(dy/dx)²) की घात क्या है?

(ii) What is the degree of the differential equation y = x(dy/dx) + a √(1+(dy/dx)²)?

वर्ग करने पर: (y - x y')² = a²(1 + (y')²). यहाँ (y')² की उच्चतम घात 2 है।

Squaring: (y - x y')² = a²(1 + (y')²). Highest power of derivative is 2.

(iii) |3a| का मान क्या होगा, यदि |a| = 2?

(iii) What is the value of |3a| if |a| = 2?

(iv) y = log x का द्वितीय अवकलज (d²y/dx²) ज्ञात कीजिए।

(iv) Find the second order derivative of y = log x.

-1/x²

(v) दो पासों को फेंकने पर योग 7 आने की प्रायिकता क्या है?

(v) What is the probability of getting a sum of 7 when two dice are thrown?

1/6 (अनुकूल परिणाम: 6, कुल: 36)

1/6 (Favorable outcomes: 6, Total: 36)

(vi) z = 3 समतल किसके समांतर है?

(vi) The plane z = 3 is parallel to which plane?

XY-समतल

XY-plane

(vii) यदि P(A) = 1/2, P(B) = 0, तो P(A|B) का मान क्या है?

(vii) If P(A) = 1/2, P(B) = 0, then what is the value of P(A|B)?

परिभाषित नहीं (Not defined)

Not defined

खण्ड ब: अति लघु उत्तरीय प्रश्न (2 अंक)

Section B: Very Short Answer Type Questions (2 Marks)

प्र.6. cot(tan^-1(√3)) का मान ज्ञात कीजिए।

Q.6. Evaluate cot(tan^-1(√3)).

अथवा / OR

सिद्ध कीजिए: 3sin^-1x = sin^-1(3x - 4x³), x ∈ [-1/2, 1/2].

Prove that: 3sin^-1x = sin^-1(3x - 4x³), x ∈ [-1/2, 1/2].

हल:
tan^-1(√3) = π/3
cot(π/3) = 1/√3.

Solution:
tan^-1(√3) = π/3
cot(π/3) = 1/√3.

हल:
माना x = sin θ ⇒ θ = sin^-1x
RHS = sin^-1(3sin θ - 4sin³θ)
= sin^-1(sin 3θ) = 3θ
= 3sin^-1x = LHS.

Solution:
Let x = sin θ ⇒ θ = sin^-1x
RHS = sin^-1(3sin θ - 4sin³θ)
= sin^-1(sin 3θ) = 3θ
= 3sin^-1x = LHS.

प्र.7. यदि X + Y = [5 2; 0 9] और X - Y = [3 6; 0 -1] हो, तो X ज्ञात कीजिए।

Q.7. If X + Y = [5 2; 0 9] and X - Y = [3 6; 0 -1], find X.

अथवा / OR

यदि A = [1 2; 3 4], तो 2A ज्ञात कीजिए।

If A = [1 2; 3 4], find 2A.

हल:
जोड़ने पर: 2X = [8 8; 0 8]
X = [4 4; 0 4].

Solution:
Adding: 2X = [8 8; 0 8]
X = [4 4; 0 4].

हल:
2A = [2(1) 2(2); 2(3) 2(4)] = [2 4; 6 8].

Solution:
2A = [2 4; 6 8].

प्र.8. x = 0 पर फलन f(x) = sin x / x (यदि x ≠ 0), 1 (यदि x = 0) की सांतत्यता की जाँच कीजिए।

Q.8. Check continuity of f(x) = sin x / x (if x ≠ 0), 1 (if x = 0) at x = 0.

अथवा / OR

y = sin(x² + 5) का अवकलज ज्ञात कीजिए।

Find the derivative of y = sin(x² + 5).

हल:
lim_x→0 (sin x / x) = 1
f(0) = 1
सीमा = फलन का मान, अतः फलन संतत है।

Solution:
lim_x→0 (sin x / x) = 1
f(0) = 1
Limit = Function Value, hence continuous.

हल:
dy/dx = cos(x² + 5) ċ d/dx(x² + 5)
= cos(x² + 5) ċ 2x
= 2x cos(x² + 5).

Solution:
dy/dx = 2x cos(x² + 5).

प्र.9. एक वृत्त की त्रिज्या 0.7 cm/s की दर से बढ़ रही है। इसकी परिधि की वृद्धि दर ज्ञात कीजिए।

Q.9. The radius of a circle is increasing at the rate of 0.7 cm/s. What is the rate of increase of its circumference?

अथवा / OR

वक्र y = x² - 2x + 7 की स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा 2x - y + 9 = 0 के समांतर है।

Find the equation of the tangent to the curve y = x² - 2x + 7 which is parallel to the line 2x - y + 9 = 0.

हल:
C = 2πr
dC/dt = 2π(dr/dt) = 2π(0.7) = 1.4π cm/s.

Solution:
C = 2πr
dC/dt = 2π(dr/dt) = 2π(0.7) = 1.4π cm/s.

हल (संक्षेप):
रेखा की प्रवणता m = 2. वक्र की प्रवणता dy/dx = 2x - 2.
2x - 2 = 2 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2. y = 4 - 4 + 7 = 7.
बिंदु (2, 7), ढाल 2. समीकरण: y - 7 = 2(x - 2) ⇒ y - 7 = 2x - 4 ⇒ 2x - y + 3 = 0.

Solution (Brief):
Slope m = 2. dy/dx = 2x - 2. Equating: 2x - 2 = 2 ⇒ x = 2. y = 7.
Equation: y - 7 = 2(x - 2) ⇒ 2x - y + 3 = 0.

प्र.10. मान ज्ञात कीजिए: ∫ sec x (sec x + tan x) dx

Q.10. Evaluate: ∫ sec x (sec x + tan x) dx

अथवा / OR

मान ज्ञात कीजिए: ∫₂³ x² dx

Evaluate: ∫₂³ x² dx

हल:
∫ (sec²x + sec x tan x) dx = tan x + sec x + C.

Solution:
tan x + sec x + C.

हल:
[x³/3]₂³ = (27/3) - (8/3) = 19/3.

Solution:
19/3.

प्र.11. सदिश a = i + j - 2k के दिक्-अनुपात और दिक्-कोसाइन ज्ञात कीजिए।

Q.11. Find the direction ratios and direction cosines of the vector a = i + j - 2k.

अथवा / OR

सदिश a = 2i + 3j + 2k का सदिश b = i + 2j + k पर प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।

Find the projection of vector a = 2i + 3j + 2k on vector b = i + 2j + k.

हल:
दिक्-अनुपात: 1, 1, -2.
परिमाण = √6.
दिक्-कोसाइन: 1/√6, 1/√6, -2/√6.

Solution:
DRs: 1, 1, -2. DCs: 1/√6, 1/√6, -2/√6.

हल:
प्रक्षेप = (a ċ b) / |b|
= (2+6+2) / √(1+4+1) = 10/√6.

Solution:
Projection = 10/√6.

प्र.12. रेखा (x-5)/3 = (y+4)/7 = (z-6)/2 का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।

Q.12. Find the vector equation of line (x-5)/3 = (y+4)/7 = (z-6)/2.

अथवा / OR

मूल बिंदु से समतल 2x - 3y + 4z - 6 = 0 की दूरी ज्ञात कीजिए।

Find the distance of the plane 2x - 3y + 4z - 6 = 0 from the origin.

हल:
a = 5i - 4j + 6k, b = 3i + 7j + 2k.
समीकरण: r = (5i - 4j + 6k) + λ(3i + 7j + 2k).

Solution:
Equation: r = (5i - 4j + 6k) + λ(3i + 7j + 2k).

हल:
दूरी d = |-6| / √(4+9+16) = 6/√29.

Solution:
Distance d = 6/√29.

प्र.13. यदि P(A) = 3/5, P(B) = 1/5 और A, B स्वतंत्र हैं, तो P(A ∩ B) ज्ञात कीजिए।

Q.13. If P(A) = 3/5, P(B) = 1/5 and A, B are independent, find P(A ∩ B).

अथवा / OR

एक पासे को दो बार फेंका गया। योग 9 आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

A die is thrown twice. Find probability of getting sum 9.

हल:
P(A ∩ B) = (3/5) \times (1/5) = 3/25.

Solution:
3/25.

हल:
अनुकूल परिणाम: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) = 4.
कुल परिणाम = 36. प्रायिकता = 4/36 = 1/9.

Solution:
Favorable: 4. Probability = 1/9.

प्र.14. अवकल समीकरण dy/dx = sec²x का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

Q.14. Find the general solution of dy/dx = sec²x.

अथवा / OR

समाकलन कीजिए: ∫ x e^x dx.

Integrate: ∫ x e^x dx.

हल: y = ∫ sec²x dx = tan x + C.

Solution: y = tan x + C.

हल: (खंडशः समाकलन से)
x e^x - ∫ 1 \cdot e^x dx = x e^x - e^x + C = e^x(x-1) + C.

Solution: e^x(x-1) + C.

प्र.15. रैखिक प्रोग्रामन समस्या में उद्देश्य फलन Z = 3x + 9y का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए, यदि कोणीय बिंदु (0,8), (4,10) और (6,0) हैं।

Q.15. Find minimum value of Z = 3x + 9y with corner points (0,8), (4,10), (6,0).

अथवा / OR

व्यवरोध x ≥ 0, y ≥ 0 क्या दर्शाते हैं?

What do constraints x ≥ 0, y ≥ 0 represent?

हल:
(0,8) ⇒ Z = 72
(4,10) ⇒ Z = 12 + 90 = 102
(6,0) ⇒ Z = 18
न्यूनतम मान: 18.

Solution: Minimum value: 18.

उत्तर: यह प्रथम चतुर्थांश (First Quadrant) को दर्शाता है (ऋणेत्तर प्रतिबंध)।

Answer: First Quadrant (Non-negative constraints).

खण्ड स: लघु उत्तरीय प्रश्न (3 अंक)

प्र.16. परवलय y² = 4x और रेखा x = 3 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Q.16. Find the area of the region bounded by y² = 4x and x = 3.

अथवा / OR

समाकलन विधि से वृत्त x² + y² = a² का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Find area of circle x² + y² = a² using integration.

हल:
क्षेत्रफल = 2 ∫₀³ y dx = 2 ∫₀³ 2√x dx
= 4 [ (2/3) x^3/2 ]₀³ = (8/3) [ 3√3 ] = 8√3 वर्ग इकाई।

Solution:
Area = 8√3 sq. units.

प्र.17. अवकल समीकरण x(dy/dx) - y = 2x² को हल कीजिए।

Q.17. Solve differential equation x(dy/dx) - y = 2x².

अथवा / OR

अवकल समीकरण dy/dx = (x+y)/x का हल ज्ञात कीजिए।

Solve dy/dx = (x+y)/x.

हल:
मानक रूप: dy/dx - (1/x)y = 2x.
I.F. = e^-∫dx/x = 1/x.
हल: y(1/x) = ∫ 2x(1/x) dx + C = 2x + C.
y = 2x² + Cx.

Solution: y = 2x² + Cx.

प्र.18. सदिश विधि से सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज के मध्यिकाएँ एक-संगामी होती हैं।

Q.18. Prove by vector method that medians of a triangle are concurrent.

अथवा / OR

यदि |a+b| = |a-b|, तो सिद्ध कीजिए कि a और b लंबवत हैं।

If |a+b| = |a-b|, prove a ⊥ b.

हल:
वर्ग करने पर: |a+b|² = |a-b|²
|a|² + |b|² + 2a.b = |a|² + |b|² - 2a.b
4a.b = 0 ⇒ a.b = 0. अतः a ⊥ b.

Solution:
Squaring both sides leads to 4a.b = 0, which implies a ⊥ b.

प्र.19. आलेखीय विधि से निम्न समस्या को हल कीजिए:
अधिकतम Z = x + y
व्यवरोध: x - y ≤ -1, -x + y ≤ 0, x, y ≥ 0.

Q.19. Maximize Z = x + y subject to x - y ≤ -1, -x + y ≤ 0, x, y ≥ 0 graphically.

अथवा / OR

न्यूनतम Z = 3x + 2y
व्यवरोध: x + y ≥ 8, 3x + 5y ≤ 15, x, y ≥ 0.

Minimize Z = 3x + 2y subject to constraints.

हल:
दी गई रेखाएं: x - y = -1 और -x + y = 0 (x=y).
इनका आलेख खींचने पर पता चलता है कि कोई भी उभयनिष्ठ सुसंगत क्षेत्र (Feasible Region) नहीं है।
अतः कोई हल नहीं (No Solution).

Solution:
Plotting the lines reveals there is no common feasible region satisfying all constraints.
Hence, No Solution.

खण्ड द: दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (4 अंक)

प्र.20. आव्यूह विधि से समीकरण निकाय को हल कीजिए:
x + y + z = 6
y + 3z = 11
x - 2y + z = 0

Q.20. Solve using matrix method: x + y + z = 6, y + 3z = 11, x - 2y + z = 0.

अथवा / OR

प्रारंभिक संक्रियाओं द्वारा आव्यूह A =

1	3
2	7

का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए।

Find inverse of matrix A using elementary operations.

हल:
1. |A| = 1(1+6) - 1(1-0) + 1(-2-0) = 7 - 1 - 2 = 4.
2. सहखंडज (Adjoint A) निकालें और A^-1 ज्ञात करें।
3. X = A^-1B.
उत्तर: x = 1, y = 2, z = 3.

Solution: x = 1, y = 2, z = 3.

प्र.21. फलन f(x) = sin x + cos x, 0 < x < π/2 का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।

Q.21. Find the maximum value of f(x) = sin x + cos x, 0 < x < π/2.

अथवा / OR

वक्र x² = 4y के बिंदु (2, 1) पर अभिलंब का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Find the equation of normal to the curve x² = 4y at (2, 1).

हल:
1. f'(x) = cos x - sin x. क्रांतिक बिंदु के लिए f'(x)=0 ⇒ tan x = 1 ⇒ x = π/4.
2. f''(x) = -sin x - cos x.
3. f''(π/4) = -(√2) < 0 (उच्चतम)।
4. अधिकतम मान f(π/4) = 1/√2 + 1/√2 = √2.

Solution: Maximum value is √2 at x = π/4.

प्र.22. सिद्ध कीजिए: ∫₀^π/2 √(sin x) / (√(sin x) + √(cos x)) dx = π/4.

Q.22. Prove that: ∫₀^π/2 √(sin x) / (√(sin x) + √(cos x)) dx = π/4.

अथवा / OR

मान ज्ञात कीजिए: ∫ x sin^-1x dx.

Evaluate: ∫ x sin^-1x dx.

हल:
1. माना I समाकलन है। गुणधर्म P4 (π/2 - x) लगाने पर यह ∫ √cos / (√cos + √sin) बन जाएगा।... (2)
2. (1) + (2) ⇒ 2I = ∫₀^π/2 1 dx = [x]₀^π/2 = π/2.
3. I = π/4.

Solution: Using property P4 and adding gives 2I = π/2, so I = π/4.

प्र.23. समतल x + y + z = 1 और 2x + 3y + 4z = 5 के प्रतिच्छेदन से होकर जाने वाले उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो x-y+z=0 के लंबवत है।

Q.23. Find the equation of the plane passing through the intersection of x + y + z = 1 and 2x + 3y + 4z = 5 and perpendicular to x-y+z=0.

अथवा / OR

बिंदु (1, 2, 3) से रेखा (x-6)/3 = (y-7)/2 = (z-7)/-2 की लंबवत दूरी ज्ञात कीजिए।

Find the perpendicular distance of the point (1, 2, 3) from the line (x-6)/3 = (y-7)/2 = (z-7)/-2.

हल:
1. समतल का समीकरण: (x+y+z-1) + λ(2x+3y+4z-5) = 0.
2. अभिलंब: (1+2λ)i + (1+3λ)j + (1+4λ)k.
3. लंबवत शर्त: 1(1+2λ) - 1(1+3λ) + 1(1+4λ) = 0 ⇒ 1 + 3λ = 0 ⇒ λ = -1/3.
4. मान रखने पर: x - z + 2 = 0.

Solution: x - z + 2 = 0.

📝 तैयारी कैसे करें?

✔️ पहले सेट A हल करें, फिर सेट B हल करें

✔️ निर्धारित समय में पूरा पेपर हल करने का अभ्यास करें

✔️ जिन प्रश्नों में गलती हो, उन्हें दोबारा हल करें

✔️ सूत्रों (Formulas) की अलग से पुनरावृत्ति करें

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कक्षा 12वीं गणित मॉडल पेपर सेट A 2026 | MP Board Class 12th Maths Model Paper (Hindi & English)

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✅ ब्लूप्रिंट के अनुसार प्रश्न वितरण

✅ वस्तुनिष्ठ, लघुउत्तर एवं दीर्घउत्तर प्रश्न शामिल

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✅ स्व-मूल्यांकन हेतु उपयोगी

प्रश्न पत्र की संरचना (Exam Pattern)

खंड A – वस्तुनिष्ठ प्रश्न (MCQ)

खंड B – अति लघु उत्तरीय प्रश्न

खंड C – लघु उत्तरीय प्रश्न

खंड D – दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

⏱️ समय: 3 घंटे

📊 पूर्णांक: 80 अंक

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📌 नोट: नियमित अभ्यास से ही गणित विषय में अच्छे अंक प्राप्त किए जा सकते हैं।

Maths Model Paper 12th (Set-A) - Sandipani Vidyalaya

माध्यम (Medium) चयन कीजिए

खण्ड अ: वस्तुनिष्ठ प्रश्न (32 अंक)

Section A: Objective Type Questions (32 Marks)

प्र.1. सही विकल्प चुनकर लिखिए: (1×6 = 6 अंक)

Q.1. Choose the correct option: (1×6 = 6 Marks)

(i) यदि समुच्चय A = {1, 2, 3} में R = {(1, 2), (2, 1)} एक संबंध है, तो R है:

(i) Let R be a relation in the set A = {1, 2, 3} given by R = {(1, 2), (2, 1)}. Then R is:

(अ) स्वतुल्य / (a) Reflexive (ब) सममित / (b) Symmetric (स) संक्रामक / (c) Transitive (द) तुल्यता / (d) Equivalence

👉 (ब) सममित

विवरण: चूँकि (1, 2) ∈ R और (2, 1) ∈ R है, लेकिन (1, 1) और (2, 2) R में नहीं हैं, इसलिए यह केवल सममित (Symmetric) है।

👉 (b) Symmetric

Description: Since (1, 2) ∈ R and (2, 1) ∈ R, but (1, 1) and (2, 2) are not in R, it is only symmetric.

(ii) tan^-1(√3) - sec^-1(-2) का मान है:

(ii) The value of tan^-1(√3) - sec^-1(-2) is:

(अ) π / (a) π (ब) -π/3 / (b) -π/3 (स) π/3 / (c) π/3 (द) 2π/3 / (d) 2π/3

👉 (ब) -π/3

हल: (π/3) - (π - π/3) = π/3 - 2π/3 = -π/3

👉 (b) -π/3

Solution: (π/3) - (π - π/3) = π/3 - 2π/3 = -π/3

(iii) 3×3 कोटि के ऐसे आव्यूहों की कुल संख्या कितनी होगी जिनकी प्रत्येक प्रविष्टि 0 या 1 है?

(iii) The number of all possible matrices of order 3×3 with each entry 0 or 1 is:

(अ) 27 / (a) 27 (ब) 18 / (b) 18 (स) 81 / (c) 81 (द) 512 / (d) 512

👉 (द) 512

हल: कुल अवयव = 9। प्रत्येक स्थान के लिए 2 विकल्प (0 या 1)। अतः 2⁹ = 512.

👉 (d) 512

Solution: Total elements = 9. 2 choices (0 or 1) for each element. Therefore, 2⁹ = 512.

(iv) यदि A एक वर्ग आव्यूह है तो A + A' एक ________ आव्यूह होगा।

(iv) If A is a square matrix, then A + A' will be a ________ matrix.

(अ) सममित / (a) Symmetric (ब) विषम सममित / (b) Skew-symmetric (स) इकाई / (c) Identity (द) शून्य / (d) Zero

👉 (अ) सममित (Symmetric)

हल: (A + A')' = A' + (A')' = A' + A = A + A'

👉 (a) Symmetric

Solution: (A + A')' = A' + (A')' = A' + A = A + A'

(v) ∫ e^x (1/x - 1/x²) dx का मान है:

(v) The value of ∫ e^x (1/x - 1/x²) dx is:

(अ) e^x/x + C / (a) e^x/x + C (ब) e^x/x² + C / (b) e^x/x² + C (स) -e^x/x + C / (c) -e^x/x + C (द) e^x log x + C / (d) e^x log x + C

👉 (अ) e^x/x + C

हल: यह ∫ e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) का रूप है। यहाँ f(x) = 1/x है।

👉 (a) e^x/x + C

Solution: This is of the form ∫ e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x). Here f(x) = 1/x.

(vi) अवकल समीकरण 2x²(d²y/dx²) - 3(dy/dx) + y = 0 की कोटि है:

(vi) The order of the differential equation 2x²(d²y/dx²) - 3(dy/dx) + y = 0 is:

(अ) 2 / (a) 2 (ब) 1 / (b) 1 (स) 0 / (c) 0 (द) परिभाषित नहीं / (d) Not defined

👉 (अ) 2

विवरण: उच्चतम अवकलज d²y/dx² है, अतः कोटि 2 है।

👉 (a) 2

Description: The highest order derivative is d²y/dx², so the order is 2.

प्र.2. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए: (1×6 = 6 अंक)

Q.2. Fill in the blanks: (1×6 = 6 Marks)

(i) फलन f(x) = |x|, x = 0 पर ________ है।

(i) The function f(x) = |x| is ________ at x = 0.

संतत (Continuous)

मापांक फलन हर जगह संतत होता है, लेकिन x=0 पर अवकलनीय नहीं होता।

Continuous

The modulus function is continuous everywhere but not differentiable at x=0.

(ii) वृत्त के क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर इसकी त्रिज्या r के सापेक्ष ________ होगी, जब r = 5 cm है।

(ii) The rate of change of the area of a circle with respect to its radius r when r = 5 cm is ________.

10π

dA/dr = d(πr²)/dr = 2πr. r=5 रखने पर 10π.

10π

dA/dr = d(πr²)/dr = 2πr. Putting r=5 gives 10π.

(iii) सदिश 3î - 4ĵ + 12k̂ की दिक्-कोसाइन (Direction Cosine) z-अक्ष के साथ ________ है।

(iii) The direction cosine of the vector 3î - 4ĵ + 12k̂ along the z-axis is ________.

12/13

परिमाण = √(9+16+144) = √169 = 13. z-अक्ष की दिक्-कोसाइन = 12/13.

12/13

Magnitude = √(9+16+144) = √169 = 13. Direction cosine along z-axis = 12/13.

(iv) यदि A और B स्वतंत्र घटनाएं हैं, तो P(A ∩ B) = ________।

(iv) If A and B are independent events, then P(A ∩ B) = ________.

P(A) · P(B)

स्वतंत्र घटनाओं के लिए प्रायिकता का गुणन नियम।

P(A) · P(B)

Multiplication rule of probability for independent events.

(v) सुसंगत क्षेत्र (Feasible Region) के कोणीय बिंदुओं पर उद्देश्य फलन का मान ________ होता है।

(v) The objective function takes ________ value at the corner points of the feasible region.

इष्टतम (Optimal) / अधिकतम या न्यूनतम

Optimal (Maximum or Minimum)

(vi) मूल बिंदु से समतल 2x - 3y + 4z - 6 = 0 की दूरी ________ है।

(vi) The distance of the plane 2x - 3y + 4z - 6 = 0 from the origin is ________.

6/√29

सूत्र: |d|/√(a²+b²+c²) = |-6|/√(4+9+16) = 6/√29

6/√29

Formula: |d|/√(a²+b²+c²) = |-6|/√(4+9+16) = 6/√29

प्र.3. सत्य/असत्य का चयन कीजिए: (1×6 = 6 अंक)

Q.3. State True or False: (1×6 = 6 Marks)

(i) सारणिक |A| = 0 हो तो आव्यूह A व्युत्क्रमणीय (Invertible) होता है।

(i) If determinant |A| = 0, then matrix A is invertible.

असत्य

यदि |A| = 0 है, तो आव्यूह अव्युत्क्रमणीय (Singular) होता है।

False

If |A| = 0, the matrix is singular and not invertible.

(ii) फलन f(x) = sin x, (0, π/2) में निरंतर वर्धमान है।

(ii) The function f(x) = sin x is strictly increasing in (0, π/2).

सत्य

प्रथम चतुर्थांश में f'(x) = cos x > 0 होता है।

True

In the first quadrant, f'(x) = cos x > 0.

(iii) ∫ (1/x) dx = log|x| + C.

सत्य

True

(iv) दो सदिशों का अदिश गुणनफल (Scalar product) एक सदिश राशि होती है।

(iv) The scalar product of two vectors is a vector quantity.

असत्य

अदिश गुणनफल (Dot Product) से अदिश (Scalar) राशि प्राप्त होती है।

False

Dot product results in a scalar quantity.

(v) यदि रेखा की दिक्-कोसाइन l, m, n हैं तो l² + m² + n² = 1 होता है।

(v) If l, m, n are direction cosines of a line, then l² + m² + n² = 1.

सत्य

True

(vi) P(E|F) = P(E ∩ F) / P(E) होता है।

(vi) P(E|F) = P(E ∩ F) / P(E).

असत्य

सही सूत्र P(E|F) = P(E ∩ F) / P(F) है।

False

The correct formula is P(E|F) = P(E ∩ F) / P(F).

प्र.4. सही जोड़ी मिलाइए: (1×7 = 7 अंक)

Q.4. Match the following: (1×7 = 7 Marks)

        (i) ∫ dx / (x2 - a2)       -> (a) sin-1(x/a)

        (ii) ∫ dx / (a2 - x2)      -> (b) log|x + √(x2-a2)|

        (iii) ∫ dx / (x2 + a2)      -> (c) (1/2a) log|(a+x)/(a-x)|

        (iv) ∫ dx / √(a2 - x2)     -> (d) (1/2a) log|(x-a)/(x+a)|

        (v) ∫ dx / √(x2 - a2)     -> (e) tan x - x

        (vi) ∫ dx / √(x2 + a2)     -> (f) (1/a) tan-1(x/a)

        (vii) ∫ tan2x dx            -> (g) log|x + √(x2+a2)|

        Correct Match:

        (i) ∫ dx / (x2 - a2) → (d) (1/2a) log|(x-a)/(x+a)|

        (ii) ∫ dx / (a2 - x2) → (c) (1/2a) log|(a+x)/(a-x)|

        (iii) ∫ dx / (x2 + a2) → (f) (1/a) tan-1(x/a)

        (iv) ∫ dx / √(a2 - x2) → (a) sin-1(x/a)

        (v) ∫ dx / √(x2 - a2) → (b) log|x + √(x2-a2)|

        (vi) ∫ dx / √(x2 + a2) → (g) log|x + √(x2+a2)|

        (vii) ∫ tan2x dx → (e) tan x - x

प्र.5. एक शब्द/वाक्य में उत्तर दीजिए: (1×7 = 7 अंक)

Q.5. Answer in one word/sentence: (1×7 = 7 Marks)

(i) यदि A = [a_ij] एक m×n आव्यूह है, तो A' (परिवर्त) की कोटि क्या होगी?

(i) If A = [a_ij] is an m×n matrix, what will be the order of its transpose A'?

n × m

(ii) x के किस मान के लिए सारणिक |2 4; 5 1| = |2x 4; 6 x| बराबर होंगे?

(ii) For what value of x, the determinants |2 4; 5 1| = |2x 4; 6 x| are equal?

x = ±√3

LHS = 2 - 20 = -18. RHS = 2x² - 24. अतः 2x² - 24 = -18 ⇒ 2x² = 6 ⇒ x² = 3.

x = ±√3

LHS = 2 - 20 = -18. RHS = 2x² - 24. So, 2x² - 24 = -18 ⇒ 2x² = 6 ⇒ x² = 3.

(iii) y = cos(√x) का अवकलज क्या है?

(iii) What is the derivative of y = cos(√x)?

-sin(√x) / 2√x

(iv) वक्र y = x³ - x की x = 2 पर स्पर्श रेखा की प्रवणता (Slope) ज्ञात कीजिए।

(iv) Find the slope of the tangent to the curve y = x³ - x at x = 2.

dy/dx = 3x² - 1. x=2 पर, 3(4) - 1 = 11.

dy/dx = 3x² - 1. At x=2, 3(4) - 1 = 11.

(v) सदिश â की दिशा में एकांक सदिश (Unit Vector) का सूत्र लिखिए।

(v) Write the formula for the unit vector in the direction of vector â.

â / |â|

(vi) यदि दो रेखाएं परस्पर लंबवत हों, तो उनकी दिक्-कोसाइन में क्या संबंध होता है?

(vi) If two lines are mutually perpendicular, what is the relation between their direction cosines?

l₁l₂ + m₁m₂ + n₁n₂ = 0

(vii) एक पासे को फेंकने पर सम संख्या आने की प्रायिकता क्या है?

(vii) What is the probability of getting an even number when a die is thrown?

1/2 (या 3/6)

खण्ड ब: अति लघु उत्तरीय प्रश्न (2 अंक)

Section B: Very Short Answer Type Questions (2 Marks)

प्र.6. sin^-1(sin 2π/3) का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।

Q.6. Find the principal value of sin^-1(sin 2π/3).

अथवा / OR

cot(tan^-1a + cot^-1a) का मान ज्ञात कीजिए।

Find the value of cot(tan^-1a + cot^-1a).

उत्तर:
sin 2π/3 = sin(π - π/3) = sin π/3.
चूंकि मुख्य मान शाखा [-π/2, π/2] है, अतः sin^-1(sin π/3) = π/3.

Answer:
sin 2π/3 = sin(π - π/3) = sin π/3.
Since the principal value branch is [-π/2, π/2], sin^-1(sin π/3) = π/3.

उत्तर:
tan^-1a + cot^-1a = π/2 (सूत्र से)
अतः cot(π/2) = 0.

Answer:
tan^-1a + cot^-1a = π/2 (By formula)
Hence, cot(π/2) = 0.

प्र.7. यदि X + Y = [7 0; 2 5] और X - Y = [3 0; 0 3] हो तो X ज्ञात कीजिए।

Q.7. If X + Y = [7 0; 2 5] and X - Y = [3 0; 0 3], find X.

अथवा / OR

आव्यूह A = [1 2; 3 4] का परिवर्त (Transpose) ज्ञात कीजिए।

Find the transpose of the matrix A = [1 2; 3 4].

उत्तर:
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: 2X = [10 0; 2 8]
X = [5 0; 1 4]

Answer:
Adding both equations: 2X = [10 0; 2 8]
X = [5 0; 1 4]

उत्तर:
A' = [1 3; 2 4] (पंक्तियों को स्तंभों में बदलने पर)

Answer:
A' = [1 3; 2 4] (By changing rows into columns)

प्र.8. क्या फलन f(x) = x², x = 0 पर संतत है? जाँच कीजिए।

Q.8. Is the function f(x) = x² continuous at x = 0? Check.

अथवा / OR

x के सापेक्ष log(sin x) का अवकलन कीजिए।

Differentiate log(sin x) with respect to x.

उत्तर:
LHL = lim(x→0) x² = 0, RHL = 0, f(0) = 0.
LHL = RHL = f(0), अतः फलन x=0 पर संतत है।

Answer:
LHL = lim(x→0) x² = 0, RHL = 0, f(0) = 0.
LHL = RHL = f(0), hence the function is continuous at x=0.

उत्तर:
d/dx [log(sin x)] = (1/sin x) · d/dx(sin x)
= (1/sin x) · cos x = cot x

Answer:
d/dx [log(sin x)] = (1/sin x) · d/dx(sin x)
= (1/sin x) · cos x = cot x

प्र.9. एक घन का आयतन 8 cm³/s की दर से बढ़ रहा है। पृष्ठ क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है जब किनारे की लंबाई 12 cm है?

Q.9. The volume of a cube is increasing at a rate of 8 cm³/s. How fast is the surface area increasing when the length of an edge is 12 cm?

अथवा / OR

वृत्त के क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर त्रिज्या r=3 cm पर ज्ञात कीजिए।

Find the rate of change of the area of a circle with respect to its radius r when r = 3 cm.

उत्तर:
dV/dt = 8. V = x³. dV/dt = 3x²(dx/dt) ⇒ 8 = 3(144)(dx/dt) ⇒ dx/dt = 8/432 = 1/54.
S = 6x². dS/dt = 12x(dx/dt) = 12(12)(1/54) = 144/54 = 8/3 cm²/s.

Answer:
dV/dt = 8. V = x³. dV/dt = 3x²(dx/dt) ⇒ 8 = 3(144)(dx/dt) ⇒ dx/dt = 8/432 = 1/54.
S = 6x². dS/dt = 12x(dx/dt) = 12(12)(1/54) = 144/54 = 8/3 cm²/s.

उत्तर:
A = πr² ⇒ dA/dr = 2πr = 2π(3) = 6π cm²/cm.

Answer:
A = πr² ⇒ dA/dr = 2πr = 2π(3) = 6π cm²/cm.

प्र.10. मान ज्ञात कीजिए: ∫ (sin x + cos x) dx

Q.10. Evaluate: ∫ (sin x + cos x) dx

अथवा / OR

मान ज्ञात कीजिए: ∫₀¹ dx / (1 + x²)

Evaluate: ∫₀¹ dx / (1 + x²)

उत्तर:
= -cos x + sin x + C

Answer:
= -cos x + sin x + C

उत्तर:
[tan^-1x]₀¹ = tan^-1(1) - tan^-1(0)
= π/4 - 0 = π/4

Answer:
[tan^-1x]₀¹ = tan^-1(1) - tan^-1(0)
= π/4 - 0 = π/4

प्र.11. सदिश â = î + ĵ + 2k̂ का परिमाण ज्ञात कीजिए।

Q.11. Find the magnitude of vector â = î + ĵ + 2k̂.

अथवा / OR

बिंदुओं P(2, 3, 4) और Q(4, 1, -2) को मिलाने वाले सदिश को ज्ञात कीजिए।

Find the vector joining the points P(2, 3, 4) and Q(4, 1, -2).

उत्तर:
|â| = √(1² + 1² + 2²) = √(1+1+4) = √6

Answer:
|â| = √(1² + 1² + 2²) = √(1+1+4) = √6

उत्तर:
PQ⃗ = (4-2)î + (1-3)ĵ + (-2-4)k̂ = 2î - 2ĵ - 6k̂

Answer:
PQ⃗ = (4-2)î + (1-3)ĵ + (-2-4)k̂ = 2î - 2ĵ - 6k̂

प्र.12. उस रेखा के दिक्-कोसाइन ज्ञात कीजिए जो अक्षों से समान कोण बनाती है।

Q.12. Find the direction cosines of a line which makes equal angles with the coordinate axes.

अथवा / OR

समतल 2x + 3y - z = 5 के अभिलंब के दिक्-अनुपात लिखिए।

Write the direction ratios of the normal to the plane 2x + 3y - z = 5.

उत्तर:
l = m = n. l² + m² + n² = 1 ⇒ 3l² = 1 ⇒ l = ±1/√3.
दिक्-कोसाइन: (±1/√3, ±1/√3, ±1/√3)

Answer:
l = m = n. l² + m² + n² = 1 ⇒ 3l² = 1 ⇒ l = ±1/√3.
Direction cosines: (±1/√3, ±1/√3, ±1/√3)

उत्तर:
समीकरण ax + by + cz = d से तुलना करने पर,
दिक्-अनुपात = (2, 3, -1)

Answer:
Comparing with equation ax + by + cz = d,
Direction ratios = (2, 3, -1)

प्र.13. यदि P(A) = 0.8, P(B) = 0.5 और P(B|A) = 0.4 हो, तो P(A ∩ B) ज्ञात कीजिए।

Q.13. If P(A) = 0.8, P(B) = 0.5 and P(B|A) = 0.4, find P(A ∩ B).

अथवा / OR

एक थैले में 4 लाल और 4 काली गेंदें हैं। यादृच्छया एक गेंद निकालने पर उसके लाल होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

A bag contains 4 red and 4 black balls. A ball is drawn at random. Find the probability that it is red.

उत्तर:
P(A ∩ B) = P(B|A) × P(A) = 0.4 × 0.8 = 0.32

Answer:
P(A ∩ B) = P(B|A) × P(A) = 0.4 × 0.8 = 0.32

उत्तर:
कुल गेंदें = 8, लाल = 4.
प्रायिकता = 4/8 = 1/2.

Answer:
Total balls = 8, Red = 4.
Probability = 4/8 = 1/2.

प्र.14. अवकल समीकरण dy/dx = (1 - cos x)/(1 + cos x) को हल कीजिए।

Q.14. Solve the differential equation dy/dx = (1 - cos x)/(1 + cos x).

अथवा / OR

अवकल समीकरण की कोटि और घात बताइए: (d²y/dx²)³ + (dy/dx)² + sin(dy/dx) + 1 = 0

State the order and degree of the differential equation: (d²y/dx²)³ + (dy/dx)² + sin(dy/dx) + 1 = 0.

उत्तर:
dy/dx = (2sin²x/2) / (2cos²x/2) = tan²(x/2) = sec²(x/2) - 1
समाकलन करने पर: y = ∫(sec²(x/2) - 1) dx = 2tan(x/2) - x + C

Answer:
dy/dx = (2sin²x/2) / (2cos²x/2) = tan²(x/2) = sec²(x/2) - 1
Integrating both sides: y = ∫(sec²(x/2) - 1) dx = 2tan(x/2) - x + C

उत्तर:
कोटि (Order) = 2 (उच्चतम अवकलज)।
घात (Degree) = परिभाषित नहीं (क्योंकि sin(dy/dx) के कारण यह अवकलजों में बहुपद नहीं है)।

Answer:
Order = 2 (highest derivative).
Degree = Not defined (because it is not a polynomial equation in its derivatives due to sin(dy/dx)).

प्र.15. जांच कीजिए कि क्या समुच्चय {1, 2, 3} में R = {(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,3)} स्वतुल्य है?

Q.15. Check whether the relation R = {(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,3)} in set {1, 2, 3} is reflexive?

अथवा / OR

फलन f(x) = 2x द्वारा प्रदत्त f: N → N एकैकी (One-one) है या नहीं?

Is the function f: N → N given by f(x) = 2x one-one or not?

उत्तर:
हाँ, स्वतुल्य है क्योंकि प्रत्येक a ∈ {1,2,3} के लिए (a,a) ∈ R है [(1,1), (2,2), और (3,3) सभी R में उपस्थित हैं]।

Answer:
Yes, it is reflexive because for every a ∈ {1,2,3}, (a,a) ∈ R [(1,1), (2,2), and (3,3) are present in R].

उत्तर:
हाँ, एकैकी है। यदि f(x₁) = f(x₂) ⇒ 2x₁ = 2x₂ ⇒ x₁ = x₂.

Answer:
Yes, it is one-one. If f(x₁) = f(x₂) ⇒ 2x₁ = 2x₂ ⇒ x₁ = x₂.

खण्ड स: लघु उत्तरीय प्रश्न (3 अंक)

Section C: Short Answer Type Questions (3 Marks)

प्र.16. दीर्घवृत्त x²/16 + y²/9 = 1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Q.16. Find the area of the region bounded by the ellipse x²/16 + y²/9 = 1.

अथवा / OR

वक्र y = x² एवं रेखा y = 4 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Find the area of the region bounded by the curve y = x² and the line y = 4.

उत्तर:

दीर्घवृत्त का मानक समीकरण x²/a² + y²/b² = 1 है। यहाँ a=4, b=3 है।

क्षेत्रफल = 4 × ∫₀^a y dx = 4 ∫₀⁴ (b/a)√(a²-x²) dx

= 4(3/4) ∫₀⁴ √(16-x²) dx = 3 [x/2 √(16-x²) + 16/2 sin^-1(x/4)]₀⁴

= 3 [0 + 8 sin^-1(1) - 0] = 3 × 8 × (π/2) = 12π वर्ग इकाई।

Answer:

Standard equation of ellipse is x²/a² + y²/b² = 1. Here a=4, b=3.

Area = 4 × ∫₀^a y dx = 4 ∫₀⁴ (b/a)√(a²-x²) dx

= 4(3/4) ∫₀⁴ √(16-x²) dx = 3 [x/2 √(16-x²) + 16/2 sin^-1(x/4)]₀⁴

= 3 [0 + 8 sin^-1(1) - 0] = 3 × 8 × (π/2) = 12π sq. units.

उत्तर:

वक्र y = x² (परवलय) y-अक्ष के सममित है। अभीष्ट क्षेत्रफल = 2 × ∫₀⁴ x dy

x = √y, अतः क्षेत्रफल = 2 ∫₀⁴ y^1/2 dy

= 2 [ (2/3) y^3/2 ]₀⁴ = (4/3) [4^3/2 - 0]

= (4/3) × 8 = 32/3 वर्ग इकाई।

Answer:

The curve y = x² (parabola) is symmetrical about the y-axis. Required area = 2 × ∫₀⁴ x dy

x = √y, thus area = 2 ∫₀⁴ y^1/2 dy

= 2 [ (2/3) y^3/2 ]₀⁴ = (4/3) [4^3/2 - 0]

= (4/3) × 8 = 32/3 sq. units.

प्र.17. आलेखीय विधि से निम्न रैखिक प्रोग्रामन समस्या को हल कीजिए:
अधिकतम Z = 3x + 4y
व्यवरोध: x + y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0.

Q.17. Solve the following linear programming problem graphically:
Maximize Z = 3x + 4y
Subject to constraints: x + y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0.

अथवा / OR

न्यूनतम Z = 200x + 500y
व्यवरोध: x + 2y ≥ 10, 3x + 4y ≤ 24, x ≥ 0, y ≥ 0.

Minimize Z = 200x + 500y
Subject to constraints: x + 2y ≥ 10, 3x + 4y ≤ 24, x ≥ 0, y ≥ 0.

उत्तर:

1. रेखा x + y = 4 खींचें जो (4,0) और (0,4) से गुजरती है।

2. सुसंगत क्षेत्र मूल बिंदु सहित त्रिभुज OAB है जहाँ O(0,0), A(4,0), B(0,4)।

3. कोणीय बिंदुओं पर Z का मान:

Z(0,0) = 0
Z(4,0) = 3(4) + 0 = 12
Z(0,4) = 0 + 4(4) = 16

अतः अधिकतम मान Z = 16 बिंदु (0,4) पर है।

Answer:

1. Draw the line x + y = 4 passing through (4,0) and (0,4).

2. The feasible region is the triangle OAB including the origin, where O(0,0), A(4,0), B(0,4).

3. Value of Z at corner points:

Z(0,0) = 0
Z(4,0) = 3(4) + 0 = 12
Z(0,4) = 0 + 4(4) = 16

Hence, the maximum value is Z = 16 at point (0,4).

उत्तर:

सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु (0,5), (4,3), और (0,6) होंगे।

Z(0,5) = 200(0) + 500(5) = 2500
Z(4,3) = 200(4) + 500(3) = 800 + 1500 = 2300
Z(0,6) = 200(0) + 500(6) = 3000

अतः न्यूनतम मान Z = 2300 बिंदु (4,3) पर है।

Answer:

The corner points of the feasible region will be (0,5), (4,3), and (0,6).

Z(0,5) = 200(0) + 500(5) = 2500
Z(4,3) = 200(4) + 500(3) = 800 + 1500 = 2300
Z(0,6) = 200(0) + 500(6) = 3000

Hence, the minimum value is Z = 2300 at point (4,3).

प्र.18. एक पासे को तीन बार फेंका जाता है, तो कम से कम एक बार विषम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

Q.18. A die is thrown three times. Find the probability of getting an odd number at least once.

अथवा / OR

दो पासे एक साथ फेंके जाते हैं। यदि यह ज्ञात है कि पासों पर आए अंकों का योग 8 है, तो कम से कम एक पासे पर 4 आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। (सप्रतिबंध प्रायिकता)

Two dice are thrown simultaneously. If it is known that the sum of the numbers on the dice is 8, find the probability that the number 4 appears on at least one die. (Conditional Probability)

उत्तर:

एक बार फेंकने पर विषम संख्या आने की प्रायिकता P(Odd) = 3/6 = 1/2। सम की प्रायिकता = 1/2।

P(कम से कम एक विषम) = 1 - P(तीनों बार सम)

= 1 - (1/2 × 1/2 × 1/2) = 1 - 1/8 = 7/8.

Answer:

Probability of getting an odd number in a single throw P(Odd) = 3/6 = 1/2. P(Even) = 1/2.

P(at least one odd) = 1 - P(all three are even)

= 1 - (1/2 × 1/2 × 1/2) = 1 - 1/8 = 7/8.

उत्तर:

माना E: कम से कम एक पर 4 आना = {(4,1)...(4,6), (1,4)...(6,4)} (11 परिणाम)।

F: योग 8 है = {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)} (5 परिणाम)।

E ∩ F = {(4,4)} (1 परिणाम)।

P(E|F) = P(E ∩ F) / P(F) = (1/36) / (5/36) = 1/5.

Answer:

Let E: 4 appears on at least one die = {(4,1)...(4,6), (1,4)...(6,4)} (11 outcomes).

F: Sum is 8 = {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)} (5 outcomes).

E ∩ F = {(4,4)} (1 outcome).

P(E|F) = P(E ∩ F) / P(F) = (1/36) / (5/36) = 1/5.

प्र.19. सदिशों î + ĵ - k̂ और î - ĵ + k̂ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

Q.19. Find the angle between the vectors î + ĵ - k̂ and î - ĵ + k̂.

अथवा / OR

उस समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी संलग्न भुजाएं सदिश â = 3î + ĵ + 4k̂ और b̄ = î - ĵ + k̂ द्वारा दी गई हैं।

Find the area of a parallelogram whose adjacent sides are given by the vectors â = 3î + ĵ + 4k̂ and b̄ = î - ĵ + k̂.

उत्तर:

â = (1, 1, -1), b̄ = (1, -1, 1).

cos θ = (â · b̄) / (|â| |b̄|)

â · b̄ = 1(1) + 1(-1) + (-1)(1) = 1 - 1 - 1 = -1.

|â| = √3, |b̄| = √3.

cos θ = -1 / (√3)(√3) = -1/3.

θ = cos^-1(-1/3).

Answer:

â = (1, 1, -1), b̄ = (1, -1, 1).

cos θ = (â · b̄) / (|â| |b̄|)

â · b̄ = 1(1) + 1(-1) + (-1)(1) = 1 - 1 - 1 = -1.

|â| = √3, |b̄| = √3.

cos θ = -1 / (√3)(√3) = -1/3.

θ = cos^-1(-1/3).

उत्तर:

क्षेत्रफल = |â × b̄|.

â × b̄ =
| i j k |
| 3 1 4 |
| 1 -1 1 |

= î(1 - (-4)) - ĵ(3 - 4) + k̂(-3 - 1) = 5î + ĵ - 4k̂.

क्षेत्रफल = √(25 + 1 + 16) = √42 वर्ग इकाई।

Answer:

Area = |â × b̄|.

â × b̄ =
| i j k |
| 3 1 4 |
| 1 -1 1 |

= î(1 - (-4)) - ĵ(3 - 4) + k̂(-3 - 1) = 5î + ĵ - 4k̂.

Area = √(25 + 1 + 16) = √42 sq. units.

खण्ड द: दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (4 अंक)

Section D: Long Answer Type Questions (4 Marks)

प्र.20. सिद्ध कीजिए कि f: R → R, f(x) = 3x द्वारा परिभाषित फलन एकैकी आच्छादक (Bijective) है।

Q.20. Prove that the function f: R → R, defined by f(x) = 3x, is bijective.

अथवा / OR

यदि f(x) = (4x + 3)/(6x - 4), x ≠ 2/3, तो सिद्ध कीजिए कि सभी x ≠ 2/3 के लिए fof(x) = x है। f का प्रतिलोम भी ज्ञात कीजिए।

If f(x) = (4x + 3)/(6x - 4), x ≠ 2/3, prove that fof(x) = x for all x ≠ 2/3. Also, find the inverse of f.

उत्तर (एकैकी आच्छादक):

एकैकी (One-one): माना f(x₁) = f(x₂).
⇒ 3x₁ = 3x₂ ⇒ x₁ = x₂.
अतः f एकैकी है।

आच्छादक (Onto): माना y ∈ R (सहप्रांत)।
y = 3x ⇒ x = y/3.
चूंकि y वास्तविक है, तो x = y/3 भी वास्तविक होगा और प्रांत R में होगा।
अतः f(x) = f(y/3) = 3(y/3) = y.
अतः f आच्छादक है।

अतः f एकैकी आच्छादक है।

Answer (Bijective):

One-one: Let f(x₁) = f(x₂).
⇒ 3x₁ = 3x₂ ⇒ x₁ = x₂.
Hence, f is one-one.

Onto: Let y ∈ R (codomain).
y = 3x ⇒ x = y/3.
Since y is real, x = y/3 will also be real and in domain R.
Thus, f(x) = f(y/3) = 3(y/3) = y.
Hence, f is onto.

Therefore, f is a bijective function.

उत्तर:

fof(x) = f(f(x)) = f((4x + 3)/(6x - 4))

= [4((4x + 3)/(6x - 4)) + 3] / [6((4x + 3)/(6x - 4)) - 4]

= [16x + 12 + 18x - 12] / [24x + 18 - 24x + 16]

= 34x / 34 = x.

चूँकि fof(x) = x है, इसका अर्थ है कि f स्वयं का प्रतिलोम है। अतः f^-1(x) = f(x) = (4x + 3)/(6x - 4).

Answer:

fof(x) = f(f(x)) = f((4x + 3)/(6x - 4))

= [4((4x + 3)/(6x - 4)) + 3] / [6((4x + 3)/(6x - 4)) - 4]

= [16x + 12 + 18x - 12] / [24x + 18 - 24x + 16]

= 34x / 34 = x.

Since fof(x) = x, it implies that f is the inverse of itself. Hence, f^-1(x) = f(x) = (4x + 3)/(6x - 4).

प्र.21. x के सापेक्ष अवकलन कीजिए: (log x)^{cos x}

Q.21. Differentiate with respect to x: (log x)^{cos x}

अथवा / OR

यदि x = a(θ + sin θ) और y = a(1 - cos θ) है, तो dy/dx ज्ञात कीजिए।

If x = a(θ + sin θ) and y = a(1 - cos θ), find dy/dx.

उत्तर:

माना y = (log x)^{cos x}. दोनों ओर log लेने पर:

log y = cos x · log(log x)

x के सापेक्ष अवकलन:

(1/y)(dy/dx) = cos x · d/dx(log(log x)) + log(log x) · d/dx(cos x)

= cos x · (1/log x) · (1/x) + log(log x) · (-sin x)

dy/dx = y [ (cos x / x log x) - sin x log(log x) ]

dy/dx = (log x)^{cos x} [ (cos x / x log x) - sin x log(log x) ]

Answer:

Let y = (log x)^{cos x}. Taking log on both sides:

log y = cos x · log(log x)

Differentiating w.r.t x:

(1/y)(dy/dx) = cos x · d/dx(log(log x)) + log(log x) · d/dx(cos x)

= cos x · (1/log x) · (1/x) + log(log x) · (-sin x)

dy/dx = y [ (cos x / x log x) - sin x log(log x) ]

dy/dx = (log x)^{cos x} [ (cos x / x log x) - sin x log(log x) ]

उत्तर:

dx/dθ = a(1 + cos θ), dy/dθ = a(0 - (-sin θ)) = a sin θ.

dy/dx = (dy/dθ) / (dx/dθ) = (a sin θ) / a(1 + cos θ)

= (2sin θ/2 cos θ/2) / (2cos² θ/2)

= tan(θ/2).

Answer:

dx/dθ = a(1 + cos θ), dy/dθ = a(0 - (-sin θ)) = a sin θ.

dy/dx = (dy/dθ) / (dx/dθ) = (a sin θ) / a(1 + cos θ)

= (2sin θ/2 cos θ/2) / (2cos² θ/2)

= tan(θ/2).

प्र.22. समाकलन कीजिए: ∫ dx / (x² - 6x + 13)

Q.22. Evaluate: ∫ dx / (x² - 6x + 13)

अथवा / OR

निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए: ∫₀^π/2 (sin⁴x / (sin⁴x + cos⁴x)) dx

Find the value of the definite integral: ∫₀^π/2 (sin⁴x / (sin⁴x + cos⁴x)) dx

उत्तर:

हर को पूर्ण वर्ग बनाने पर: x² - 6x + 9 + 4 = (x-3)² + 2².

∫ dx / [(x-3)² + 2²]

सूत्र ∫ dx/(x²+a²) = (1/a) tan^-1(x/a) का प्रयोग करने पर:

= (1/2) tan^-1((x-3)/2) + C.

Answer:

Completing the square in the denominator: x² - 6x + 9 + 4 = (x-3)² + 2².

∫ dx / [(x-3)² + 2²]

Using formula ∫ dx/(x²+a²) = (1/a) tan^-1(x/a):

= (1/2) tan^-1((x-3)/2) + C.

उत्तर:

माना I = ∫₀^π/2 (sin⁴x / (sin⁴x + cos⁴x)) dx ... (1)

गुणधर्म ∫₀^a f(x) dx = ∫₀^a f(a-x) dx से:

I = ∫₀^π/2 (cos⁴x / (cos⁴x + sin⁴x)) dx ... (2)

(1) और (2) को जोड़ने पर:

2I = ∫₀^π/2 1 dx = [x]₀^π/2 = π/2

I = π/4.

Answer:

Let I = ∫₀^π/2 (sin⁴x / (sin⁴x + cos⁴x)) dx ... (1)

Using property ∫₀^a f(x) dx = ∫₀^a f(a-x) dx:

I = ∫₀^π/2 (cos⁴x / (cos⁴x + sin⁴x)) dx ... (2)

Adding (1) and (2):

2I = ∫₀^π/2 1 dx = [x]₀^π/2 = π/2

I = π/4.

प्र.23. रेखाओं r̄ = (î + 2ĵ + k̂) + λ(î - ĵ + k̂) और r̄ = (2î - ĵ - k̂) + μ(2î + ĵ + 2k̂) के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।

Q.23. Find the shortest distance between the lines r̄ = (î + 2ĵ + k̂) + λ(î - ĵ + k̂) and r̄ = (2î - ĵ - k̂) + μ(2î + ĵ + 2k̂).

अथवा / OR

समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदुओं (1, 1, 0), (1, 2, 1) और (-2, 2, -1) से गुजरता है।

Find the equation of the plane passing through the points (1, 1, 0), (1, 2, 1) and (-2, 2, -1).

उत्तर (न्यूनतम दूरी):

a₁ = (1, 2, 1), b₁ = (1, -1, 1)
a₂ = (2, -1, -1), b₂ = (2, 1, 2)

a₂ - a₁ = (1, -3, -2)

b₁ × b₂ =
| i j k |
| 1 -1 1 |
| 2 1 2 |
= î(-2-1) - ĵ(2-2) + k̂(1+2) = -3î + 0ĵ + 3k̂.

|b₁ × b₂| = √((-3)² + 3²) = √18 = 3√2.

d = |(a₂ - a₁) · (b₁ × b₂)| / |b₁ × b₂|
= |1(-3) + (-3)(0) + (-2)(3)| / 3√2
= |-3 - 6| / 3√2 = 9 / 3√2 = 3/√2 = 3√2/2 इकाई।

Answer (Shortest Distance):

a₁ = (1, 2, 1), b₁ = (1, -1, 1)
a₂ = (2, -1, -1), b₂ = (2, 1, 2)

a₂ - a₁ = (1, -3, -2)

b₁ × b₂ =
| i j k |
| 1 -1 1 |
| 2 1 2 |
= î(-2-1) - ĵ(2-2) + k̂(1+2) = -3î + 0ĵ + 3k̂.

|b₁ × b₂| = √((-3)² + 3²) = √18 = 3√2.

d = |(a₂ - a₁) · (b₁ × b₂)| / |b₁ × b₂|
= |1(-3) + (-3)(0) + (-2)(3)| / 3√2
= |-3 - 6| / 3√2 = 9 / 3√2 = 3/√2 = 3√2/2 units.

उत्तर (समतल का समीकरण):

| x-1 y-1 z-0 |
| 0 1 1 | = 0
| -3 1 -1 |

(x-1)(-1-1) - (y-1)(0 - (-3)) + z(0 - (-3)) = 0

-2(x-1) - 3(y-1) + 3z = 0

-2x + 2 - 3y + 3 + 3z = 0

2x + 3y - 3z = 5.

Answer (Equation of plane):

| x-1 y-1 z-0 |
| 0 1 1 | = 0
| -3 1 -1 |

(x-1)(-1-1) - (y-1)(0 - (-3)) + z(0 - (-3)) = 0

-2(x-1) - 3(y-1) + 3z = 0

-2x + 2 - 3y + 3 + 3z = 0

2x + 3y - 3z = 5.

✍️ तैयारी के लिए महत्वपूर्ण सुझाव

🔹 प्रतिदिन कम से कम 2–3 प्रश्नपत्र हल करें।

🔹 समय सीमा का पालन करते हुए अभ्यास करें।

🔹 कठिन प्रश्नों को चिन्हित कर पुनः अभ्यास करें।

🔹 पिछले वर्षों के प्रश्नपत्र अवश्य देखें।

कक्षा 12वीं गणित मॉडल पेपर सेट A आपकी परीक्षा तैयारी को मजबूत बनाने में सहायक सिद्ध होगा। नियमित अभ्यास और सही रणनीति से आप गणित में उच्च अंक प्राप्त कर सकते हैं।

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